Conceptos Básicos del Procesamiento Digital de Imágenes Usando ...

Imagen 2: Red sinusoidal generada con
OrquideaJAI, empleando su módulo Generar
de la calculadora en el modo Armónico,
f x,
y
2
= 255sen
2π
0.
05x
+ 0.
05y
2
( ) [ ( ) ]
Modulación de la Imagen 1 con la Imagen 2:
Producto de la Imagen 1 con la Imagen 2. Se ha
normalizado a 1 la amplitud de la imagen 2.
f x y = f x,
y f x,
y
( ) ( ) ( )
, 1
2
Módulo de la transformada de Fourier de la imagen 2. Son
aproximadamente tres deltas de Dirac (están ensanchados por el
efecto de ventana)
F u,
v = 255π[
δ u − 2π
( 0.
05),
v − 2π
( 0.
05)
+
2
( ) ( )
+ 2δ
( u,
v)
+ δ ( u + 2π
( 0.
05),
v + 2π
( 0.
05)
)]
A la derecha se encuentra la “topografía” del Módulo de la
transformada
Convolución de la Transformadas de Fourier de la Imágenes 1 con la
de la Imagen 2.
F ( u,
v)
= F1
( u,
v)
⊗ F2
( u,
v)
F u v = π[
F u − 2π
( 0.
05,
) v − 2π
( 0.
05)
+
( , ) 1 ( )
+ 2F
( u,
v)
+ F(
u + 2π
( 0.
05),
v + 2π
( 0.
05)
)]
Figura 4.6: El producto de las imágenes (operación en el dominio espacial) corresponde a la convolución de los espectros
(Transformadas de Fourier) en el dominio de las frecuencias.
Propiedad de rotación
Figura 4.7
Si la imagen se rota un ángulo ϕ su transformada de Fourier
también rota un ángulo ϕ . Esto se debe a que si se introducen
las coordenadas polares,
x = r cosθ
rsenθ
si,
entonces,
f
y = u = wcosα
v = wsenα
( r,
θ ) F(
w,
α )
f ⇔
( r,
θ + ϕ)
⇔ F(
w,
α + ϕ)
En la Figura 4.7 se presenta en la columna de la izquierda las imágenes y en la de la derecha el
módulo de la transformada de Fourier; claramente se observa la propiedad de la rotación de la
transformada de Fourier.
Propiedad de traslación
Un desplazamiento en la imagen no afecta el módulo de la transformada de Fourier. Esto se debe a
que,
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