1º Derivación Parcial y Diferencial

Debe notarse que la derivada parcial ∂f
∂x (x0, y0) no es otra cosa que la
derivada con respecto a x, en el punto x0, de la función de x que resulta
cuando hacemos y = y0 en f(x, y). Es decir, es la derivada de f(x, y0) con
respecto a x.
Las funciones más simples, como las que son el resultado de realizar las
operaciones habituales entre funciones derivables elementales, poseen las dos
derivadas parciales en cada punto (x, y), En estos casos, ∂f
∂x
y ∂f
∂y
se obtienen
derivando f respecto de x e y, respectivamente, y suponiendo constante la
otra variable.
Ejemplos 1.3.2. a) f(x, y) = x sen(xy).
b) f(x, y) = xy
1+y 2 .
∂f
(x, y) = sen(xy) + xy cos(xy)
∂x
∂f
∂y (x, y) = x2 cos(xy).
∂f y
(x, y) =
∂x 1 + y2 ∂f
∂y = x1 + y2 − y2y
(1 + y2 ) 2
x(1 − y
= 2 )
(1 + y2 .
) 2
1.4. Derivadas de orden superior.
Sea f una función que posee derivadas parciales de primer orden en cada
punto de cierto conjunto D ⊂ R 2 . Las funciones
y
(x, y) ∈ D → f ′ x(x, y) ∈ R
(x, y) ∈ D → f ′ y(x, y) ∈ R
13