1º Derivación Parcial y Diferencial

Vemos que es una circunferencia de centro el origen y radio √ c. Para que
pase por el punto pedido, el valor de la constante c debe ser c = x 2 0 + y 2 0.
Por tanto la curva de máxima pendiente sobre nuestra superficie es
z = Rx/y
x 2 + y 2 = x 2 0 + y 2 0
b) El estado actual del gas se representa en el plano OT V por el punto
(T0, V0). El apartado anterior nos dice que, si queremos reducir la presión,
la forma más conveniente consiste en modificar la temperatura T y el
volumen V de modo que T 2 + V 2 = T 2 0 + V 2
0 .
4. La temperatura en cada punto de una cierta región del plano OXY viene
dada por T (x, y) = 2x 2 − 4y 2 + 40. Si estamos en el punto (−1, 2), de-
terminar la trayectoria más conveniente que debe seguirse para acceder a
zonas de menor temperatura.
La curva ideal y = y(x) es aquella que, pasando por el punto (−1, 2),
tiene la propiedad de que el vector tangente (en cada punto) apunta en la
dirección y sentido opuesto del gradiente. Es decir, si (x0, y0) es un punto
cualquiera de la curva, deben ser paralelos el vector tangente (1, y ′ (x0)) y
∇T (x0, y0) = (4x0, −8y0). Por tanto, se verifica
para cada x0. Es decir,
4x0
1
= −8y0
y ′ ,
x0y ′ (x0) = −2y0.
Hemos encontrado una ecuación diferencial de primer orden que debe ver-
ificar la curva buscada:
xy ′ = −2y.
Se trata de una ecuación de variables separables que se resuelve fácilmente
si se expresa en la forma
y ′ /y = −2/x.
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