1º Derivación Parcial y Diferencial

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17. Un insecto está en un medio tóxico. El nivel de toxicidad viene dado por T (x, y) = 50 + 2x 2 + 3y 2 . Si el insecto se encuentra en el punto (1, 2), encontrar la trayectoria más conveniente que deberá tomar. Solución: Debe seguir la dirección contraria al gradiente de T (x, y) a lo largo de la curva y = 2 |x| 3 . 18. La ladera de una montaña tiene la forma de la superficie z = xy (x, y ≥ 0). Si estamos en el punto (10, 20, 200), determinar la trayectoria más conveniente para descender de la montaña. Solución: La trayectoria está determinada por el sistema y = √ 300 + x 2 y z = xy, recorrida desde el punto de coordenadas (10, 20, 200) hasta (0, 10 √ 3, 0). 19. La forma de una montaña está dada por la superficie z = h 2 − (x 2 + y 2 ). Si nos encontramos en el punto ( h h , 2 2 , h √ ), encontrar la trayectoria más 2 conveniente que debería tomarse para bajar de la montaña. Solución: Sea f(x, y) = h 2 − (x 2 + y 2 ). Para que z = f(x, y) decrezca más rápidamente en el punto en cuestión, debemos seguir la dirección contraria a ∇f. La trayectoria es una curva sobre la montaña cuya proyecciób sobre OXY es la curva xy = h 2 /4. La trayectoria está determinada por el sistema z 2 = h 2 − x 2 − y 2 e 4xy = h 2 . 20. Calcular el plano tangente en un punto arbitrario de la superficie de ecuación z = x 2 + y 2 y comprobar que dicho plano contiene la generatriz que pasa por el punto de contacto. Solución: La ecuación del plano tangente en el punto (x0, y0, x 2 0 + y 2 0) tiene la forma z = (xx0 + yy0)/ x 2 0 + y 2 0. Para probar que se cortan superficie y plano según una recta, se estudia el sistema formado por las ecuaciones respectivas. Igualando las expresiones de z, obtenemos (xy0 − yx0) 2 = 0. xy0 − yx0 = 0 es la ecuación de un plano vertical que, al cortar al plano tangente determina una recta que también pertenece a la superficie. 40
21. Si el potencial de un campo de fuerzas plano viene dado por V (x, y) = log(x 2 + y 2 ), determinar las líneas de fuerza. Solución: y(c + (3/2) log x) = 1. 22. Consideramos la función f(x, y, z) = x 2 −y 2 +z 2 y la curva de ecuaciones paramétricas x = cos(t), y = sen(t), z = t (t ∈ [0, π]). Calcular la derivada de f en cada punto de la curva y en la dirección de la tangente. Determinar su valor máximo. Solución: La derivada direccional vale 2(t − sen 2t) y su valor máximo es 5π/3 + √ 3 que lo alcanza para t = 5π/6. 41
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