1º Derivación Parcial y Diferencial

Por tanto, resulta
lím f(x, y) − f(x0, y0)
(x,y)→(x0,y0)
= 0.
b) La suma, producto y cociente de funciones diferenciables es diferencia-
ble (si el divisor no se anula en el punto en cuestión, en el caso del cociente),
y el gradiente verifica las siguientes relaciones que son consecuencia directa
de las propiedades de la derivada parcial:
1) ∇(f + g)(x0, y0) =
2) ∇(f · g)(x0, y0) =
3) ∇(f/g)(x0, y0) =
= ∇f(x0, y0) + ∇g(x0, y0).
= g(x0, y0) · ∇f(x0, y0) + f(x0, y0) · ∇g(x0, y0).
= g(x0, y0) · ∇f(x0, y0) − f(x0, y0) · ∇g(x0, y0)
g(x0, y0) 2
.
c) Si f es diferenciable en (x0, y0), entonces existe cualquier derivada di-
reccional de f en (x0, y0) y se verifica
si v = (cos α, sen α).
Dvf(x0, y0) = ∇f(x0, y0) · v =
cos α ∂f
∂x f(x0, y0) + sen α ∂f
∂y (x0, y0),
La demostración es muy simple. Sabemos que el límite doble (1.2) es 0.
Entonces también vale 0 el límite a través de la recta (x, y) = (x0, y0) + tv.
Es decir, se tiene que es nulo el límite cuando t → 0 del cociente
f(x0 + tv1, y0 + tv2 − f(x0, y0) − ∇f(x0, y0) · tv
,
|t|
lo que implica que también es nulo el límite cuando t → 0 + de
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