1º Derivación Parcial y Diferencial

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se denotan por f ′ x y f ′ y, respectivamente, y reciben el nombre de funciones derivadas parciales de primer orden de f. Sus derivadas parciales de primer orden se denominan derivadas parciales de segundo orden de f. Así, por ejemplo, el siguiente límite f lím x→x0 ′ x(x, y0) − f ′ x(x0, y0) x − x0 es la derivada parcial de primer orden con respecto a x de la función f ′ x en el punto (x0, y0). Se denota por f ′′ xx(x0, y0) (derivada parcial de segundo orden de f con respecto a x dos veces). Las derivadas parciales cruzadas, f ′′ xy(x0, y0) y f ′′ yx(x0, y0), en general son diferentes. Sus definiciones precisas son f ′′ f yx(x0, y0) = lím x→x0 ′ y(x, y0) − f ′ y(x0, y0) x − x0 f ′′ xy(x0, y0) = lím y→y0 f ′ x(x0, y) − f ′ x(x0, y0) . y − y0 Nótese que f ′′ yx(x0, y0) es la derivada parcial de f ′ y con respecto a x en el punto (x0, y0). Esta notación para las derivadas de orden superior es más cómoda que la notación clásica siguiente ∂2f ∂x∂y (x0, y0) = ∂ ∂f (x0, y0), ∂x ∂y Vamos a ver un ejemplo de una función f para la que f ′ xy(0, 0) = −1 y f ′ yx(0, 0) = 1. Ejemplo 1.4.1. Calcular las derivadas cruzadas en el origen de la función y f(0, 0) = 0. f(x, y) = xy x2 − y2 x2 + y2 , si (x, y) = (0, 0) 14
Derivando respecto de x, considerando y constante, obtenemos para (x, y) = (0, 0). f ′ x(x, y) = (3x2 y − y 3 )(x 2 + y 2 ) − (x 3 y − xy 3 )2x (x 2 + y 2 ) 2 = y(x4 + 4x2y2 − y4 ) (x2 + y2 ) 2 , Derivando ahora respecto de y, considerando x constante, resulta para (x, y) = (0, 0). f ′ y(x, y) = (x3 − 3xy 2 )(x 2 + y 2 ) − (x 3 y − xy 3 )2y (x 2 + y 2 ) 2 = x(x4 − 4x2y2 − y4 ) (x2 + y2 ) 2 , Para calcular las derivadas parciales en el origen debemos acudir a la definición: f ′ f(x, 0) − f(0, 0) x(0, 0) = lím x→0 x − 0 0 = lím x→0 x = lím 0 = 0 x→0 f ′ f(0, y) − f(0, 0) y(0, 0) = lím x→0 y − 0 0 = lím y→0 y = lím 0 = 0. y→0 = lím x→0 = lím y→0 0 x2 − 0 x − 0 = 0 y2 − 0 y − 0 = Ahora estamos en condiciones de proceder a calcular las derivadas parciales de segundo orden en el origen: f ′′ f yx(0, 0) = lím x→0 ′ y(x, 0) − f ′ y(0, 0) x − 0 x − 0 = lím x→0 x − 0 15 = 1 = = =
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