1º Derivación Parcial y Diferencial

Ejemplo 1.8.1. Sea f(x, y) = x 2 + y 2 , vamos a determinar las direcciones
de crecimiento máximo y mínimo de f en un punto arbitrario (x0, y0).
Calculamos el gradiente:
∇f(x0, y0) = (2x0, 2y0).
Vemos que, salvo en el origen, es no nulo. Debemos asegurarnos de que la
función es diferenciable. Para ello, aplicamos la condición suficiente de dife-
renciabilidad, que en nuestro caso se cumple de sobra pues f tiene derivadas
parciales de primer orden continuas en todo R 2 . Entonces la dirección de
máximo crecimiento de f en el punto (x0, y0) viene dada por el vector unitario
en la dirección y sentido del gradiente
v1 =
1
4(x 2 0 + y 2 0) (2x0, 2y0) =
1
2 x0 + y2 (x0, y0).
0
Por tanto, si estamos en el punto (x0, y0) (distinto del origen) y queremos
pasar a un punto cercano pero con el mayor crecimiento de f posible, deber-
emos movernos en dirección radial y alejándonos del origen. Sin embargo, si
nos movemos en dirección radial y hacia el origen, entonces f experimenta
el mayor decrecimiento.
Las direcciones de crecimiento nulo vienen dadas por los vectores de la
√ x 2 0 +y 2 o
forma v = ± 1
(−y0, x0). Nótese que la recta que pasa por (x0, y0) y
es paralela a v es tangente a la curva de nivel x 2 + y 2 = x 2 0 + y 2 0 en el
punto (x0, y0). Por tanto, no es sorprendente que ésta sea la dirección de
crecimiento nulo, pues a lo largo de la curva de nivel f permanece constante
y esta curva y su tangente en (x0, y0) casi son idénticas en las proximidades
de ese punto.
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