1º Derivación Parcial y Diferencial

f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0)
por df(x0, y0). Parece conveniente recordar el caso de funciones de una vari-
able y exigir un grado de aproximación análogo.
Si f es una función de una variable derivable en x0, hemos visto que
Es decir, la diferencia
f(x) − f(x0) − f
lím
x→x0
′ (x0)(x − x0)
x − x0
f(x) − f(x0) − df(x0)
= 0.
es un infinitésimo de orden superior a (x − x0). En el caso de varias variables
exigiremos análogamente que la diferencia
f(x, y) − f(x0, y0) − df(x0, y0)
sea un infinitésimo de orden superior al tamaño del incremento de la variable
(vectorial) independiente:
(x − x0) 2 + (y − y0) 2 .
Por todo ello, diremos quef es diferenciable en (x0, y0) si existe ∇f(x0, y0)
y se verifica
f(x, y) − f(x0, y0) − df(x0, y0)
lím
(x,y)→(x0,y0) (x − x0) 2 + (y − y0) 2
= 0. (1.3)
Destacamos seguidamente las tres características más importantes de las
funciones diferenciables:
mento
a) La diferencial total df(x0, y0; ∆x, ∆y) es una aproximación del incre-
f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0)
tanto mejor en cuanto que ∆x y ∆y sean pequeños.
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