1º Derivación Parcial y Diferencial

PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Determinar las curvas de nivel de la función
a)f(x, y) = x2 + y2 , b)f(x, y) = xy.
x + y
2. Comprobar que las rectas y = mx son curvas de nivel de la función
f(x, y) = xy
x2 .
+ y2 Deducir que no existe el límite doble en el origen de la función f.
3. Comprobar que las parábolas x = y 2 son curvas de nivel de la función
f(x, y) = xy2
x2 .
+ y4 Deducir que no existe el límite doble en el origen de la función f.
4. Determinar las curvas de nivel de f(x, y) = xy
x+y 2 . Deducir que no existe el
límite doble en el origen.
5. Calcular el límite doble en el origen de
a)f(x, y) = x3
x2 + y2 , b)f(x, y) = sen x2y2 x2 + y
6. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de las funciones sigu-
ientes:
a) f(x, y) = x 2 +y 2 cos(xy), b) f(x, y) = log
2 .
x+y
, c) f(x, y) =
x−y
√x
x
2 +y2 .
Soluciones: a) f ′′
xx(x, y) = 2 − y4 cos xy, f ′′
yy(x, y) = 2 cos xy − 4xy sen xy −
x2y2 cos xy, f ′′
xy(x, y) = −3y2 sen xy − y3x cos xy. b) f ′′
xx(x, y) = 4xy/(x2 −
y2 ) 2 = f ′′
yy(x, y) y f ′′
xy(x, y) = −2(x2 + y2 )/(x2 − y2 ) 2 . c) f ′′
xx(x, y) =
−3y 2 x/(x 2 + y 2 ) (5/2) , f ′′
yy(x, y) = x(x 2 + y 2 ) −(3/2) − 3xy 2 (x 2 + y 2 ) −(5/2)
yf ′′
xy(x, y) = 2y(x 2 + y 2 ) −(3/2) − 3y 3 (x 2 + y 2 ) −(5/2) .
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