1º Derivación Parcial y Diferencial

More documents

Recommendations

Info

fundamentales. Así, por ejemplo, la ley que establece para los gases perfectos que, si P , V y T son la presión, el volumen y la temperatura absoluta de 1 mol de un tal gas, se verifica la relación P V = RT, donde R es cierta constante (recibe el nombre de ecuación de estado). Si despejamos P en la igualdad anterior, resulta P = RT/V . La expresión anterior nos dice que la presión P es función de T y V y, por tanto, queda completamente determinada cuando conocemos T y V . Si mediante algún procedimiento hacemos que V y T sean cada vez más próximos a cero, ¿ha- cia qué valor se acerca la presión P ?, ¿cómo podemos determinar un valor aproximado del incremento de la presión en función de los incrementos (pe- queños) ∆V y ∆T ? Entre otras cuestiones, en este tema veremos cómo es la respuesta a estas preguntas. Una función de dos variables f es una regla o ley que asocia a cada par (x, y), perteneciente a cierto conjunto D ⊂ R 2 , un único número real f(x, y). D recibe el nombre de dominio de la función y x e y son las variables independientes. Es usual usar z para designar a la imagen f(x, y) y se dirá que z es la variable dependiente. Una función queda determinada cuando damos la ecuación z = f(x, y) y el dominio D donde se mueve el par (x, y). A veces, sólo se da la ecuación z = f(x, y), en cuyo caso se entiende que el dominio es todo el campo de existencia, es decir, el conjunto formado por todos los pares (x, y) para los que la ecuación en cuestión permite obtener la correspondiente imagen. Ejemplos 1.1.1. a) f(x, y) = log(x 2 + y 2 ) es una función cuyo dominio es todo R 2 menos el origen (0, 0). b) f(x, y) = √ x · y tiene por dominio la parte del plano que consta de los cuadrantes primero y tercero, pues sólo tienen imagen los puntos (x, y) con coordenadas de igual signo: D = {(x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0, y ≥ 0} ∪ {(x, y) ∈ R 2 : x ≤ 0, y ≤ 0}. 2
Las funciones de dos variables pueden representarse gráficamente en el espacio de la siguiente forma: Dada f : D ⊂ R 2 → R, escogemos un sistema de coordenadas cartesianas OXYZ en el espacio y en el plano OXY represen- tamos el dominio D. Para cada (x, y) ∈ D, dibujamos en el espacio el punto de coordenadas (x, y, f(x, y)). El conjunto formado por todos los puntos de la forma (x, y, f(x, y)), con (x, y) ∈ D, es una superficie. Se dirá que es la representación gráfica de la función f o que la superficie tiene por ecuación z = f(x, y). 5 4 3 2 1 0 0 1 2 Eje OY 3 4 4 3 2 Eje =X Ejemplos 1.1.2. a) f(x, y) = ax + by tiene por representación gráfica un plano. b) f(x, y) = x 2 + y 2 tiene por representación gráfica un paraboloide de revolución con vértice el punto (0, 0, 0). 3 1 0
Page 1: Capítulo 1 Derivadas parciales y d
Page 5 and 6: Es decir, las coordenadas de ambos
Page 7 and 8: 5 4 3 2 1 0 −2 5 4 3 2 1 0 −4
Page 9 and 10: es ( en general) una superficie S,
Page 11 and 12: 6 4 2 0 −2 −4 −4 −2 0 Eje O
Page 13 and 14: Debe notarse que la derivada parcia
Page 15 and 16: Derivando respecto de x, consideran
Page 17 and 18: O y o Y x o r v x = x o + t v 1 y =
Page 19 and 20: 1.6. La diferencial total. Las dife
Page 21 and 22: f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y
Page 23 and 24: Particularizando al punto (2, 2), r
Page 25 and 26: = lím y→0 0 y4 − 0 y 0 = lím
Page 27 and 28: Por tanto, resulta lím f(x, y)
Page 29 and 30: Ejemplo 1.8.1. Sea f(x, y) = x 2 +
Page 31 and 32: Por tanto, la diferencial vale 0, p
Page 33 and 34: Vemos que es una circunferencia de
Page 35 and 36: En nuestro caso, tiene la forma n
Page 37 and 38: PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Determinar
Page 39 and 40: Solución: Si el sistema de coorden
Page 41: 21. Si el potencial de un campo de

1º Derivación Parcial y Diferencial

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?