1º Derivación Parcial y Diferencial

En nuestro caso, tiene la forma
n = 1 − x2 0(
−x0
, −1) =
2 1 − x0
= (−x0, − 1 − x2 0).
Ahora necsitamos calcular el gradiente de f(x, y) en el punto (x0, y0):
∇f(x0, y0) = (2x0, 2y0).
Finalmente, obtenemos la derivada direccional pedida
Dnf(x0, y0) = ∇f(x0, y0) · n =
= (2x0, 2y0) · (−x0, − 1 − x2 0) =
1 − x2 0.
= −2x 2 0 − 2y0
Ahora basta tener en cuenta que x 2 0 + y 2 0 = 1, o lo que es lo mismo, y0 =
1 − x 2 0, para deducir que Dnf(x0, y0) = −2. De nuevo señalamos que
el cálculo de la derivada direccional mediante la expresión Dnf(x0, y0) =
∇f(x0, y0) · n, sólo es posible si la función f es diferenciable en el punto
(x0, y0). Lo que en este caso es obvio, pues f tiene derivadas parciales de
primer orden continuas en todo el plano.
6. Sea u(x, y, z) =
√ 1 . Demostrar que se verifica la identidad
x2 +y2 +z2 ∂ 2 T
∂x 2 + ∂2 u
∂y2 + ∂2u = 0.
∂z2 Para la derivación, escribimos u en la forma más conveniente siguiente:
u(x, y, z) = (x2 + y2 + z2 1
− ) 2 . Calculamos la derivada parcial de u respecto
de x
∂u
∂x
= −1
2 (x2 + y 2 + z 2 3
−
) 2 2x =
= −x(x 2 + y 2 + z 2 3
−
) 2 .
35