1º Derivación Parcial y Diferencial

= lím
y→0
0
y4 − 0
y
0
= lím
y→0 y
= lím 0 = 0.
y→0
Por tanto, hemos probado que existen todas las derivadas direccionales de
f en (0, 0) y ∇f(0, 0) = (0, 0).
existe
Sin embargo, f no es diferenciable en (0, 0), pues el límite siguiente no
f(x, y) − f(0, 0) − ∇f(0, 0) · (x, y)
lím
(x,y)→(0,0)
x2 + y2 xy
= lím
(x,y)→(0,0)
2
,
x2 + y2 (x2 + y4 )
pues los límites a través de las rectas que pasan por el origen, y = mx,
dependen del valor de m.
El teorema siguiente nos ofrece una condición suficiente y de fácil apli-
cación para que una función de dos variables que tiene gradiente en un punto
sea diferenciable en dicho punto.
Teorema 1.7.2. (Condición suficiente de diferenciabilidad). Sean f : D ⊂
R 2 → R y (x0, y0) un punto interior de D. Si existe ∇f(x0, y0) y, además,
existe una de las dos derivadas parciales, ∂f
∂x
=
∂f
o , en cada punto de un
∂y
entorno Er(x0, y0) y es continua en (x0, y0), entonces f es diferenciable en
(x0, y0).
Sigue del teorema anterior que toda función de clase uno en un abierto
D (f ∈ C 1 (D)) es diferenciable en cada punto de D.
Ejemplo 1.7.3. Las funciones f(x, y) = x 2 + y 2 y g(x, y) = e x sen y son
diferenciables en cada punto de R 2 , pues sus derivadas parciales de primer
orden son obviamente continuas en R 2 .
25