1º Derivación Parcial y Diferencial

∂A 1
(12, 9) = · 12 = 6.
∂y 2
Por tanto, el valor aproximado del incremento de área que nos ofrece la
diferencial es
∆A ≈ 4.5 · 0.15 + 6 · 0.2 = 1.875 cm 2 .
Si se hace el cálculo exacto, el incremento de área vale ∆A = 1.890,
luego, el error cometido al aproximar con la diferencial es igual a 0.015.
Señalamos que el cálculo de la derivada direccional mediante la expresión
Dnf(x0, y0) = ∇f(x0, y0) · n,
sólo es posible si la función f es diferenciable en el punto (x0, y0). Lo que
en este caso es obvio, pues f tiene derivadas parciales de primer orden
continuas en todo el plano.
3. Se considera la superficie de ecuación z = Rx/y (y > 0), siendo R una
constante positiva.
a) Determinar la curva de máxima pendiente que pasa por el punto (x0, y0, z(x0, y0)).
b) La presión de un mol de un gas ideal viene dada por P = RT/V .
Interpretar el resultado obtenido en el apartado anterior, considerando
que el gas ocupa un volumen V0 y su temperatura absoluta es T0.
a) Buscamos una curva y = y(x) con la propiedad de que, en cada uno de
sus puntos, el vector tangente (1, y ′ (x)) es paralelo a ∇z = (R/y, −Rx/y 2 ).
Por tanto, se tiene
Simplificando, obtenemos
R/y
1
−Rx/y2
=
y ′ .
(x)
1 = −x
,
yy ′
lo que conduce a la ecuación diferencial yy ′ = −x. Integrando respecto de
x ambos miembros, resulta
y 2 = −x 2 + c.
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