1º Derivación Parcial y Diferencial

Solución: Si el sistema de coordenadas tiene su origen en el centro de
la esfera, entonces su ecuación es z = R 2 − x 2 − y 2 , siendo R el ra-
dio. Un vector perpendicular al plano tangente en el punto (x0, y0, z0) es
(z ′ x(x0, y0), z ′ −x0
y(x0, y0), −1) = ( √
R2−x02−y 2 0
,
−y0 √
R2−x2−y 2 , −1) y (x0, y0, z0) es
el radio vector que pasa por el punto de contacto. Nótese que son propor-
cionales, pues z0 = R 2 − x 2 0 − y 2 0
13. Calcular aproximadamente:
a) (0.92) 3 + (2.09) 3
b) log(0.09 3 + 0.99 3 ).
Soluciones: a) (0.92) 3 + (2.09) 3 ≈ 3.14. b) log(0.09 3 + 0.99 3 ) ≈ −0.03.
14. Para medir el área de un triángulo ABC se usa la expresión:
Área =
bc sen A.
(a) Mediante el cálculo diferencial, determinar un valor aproximado
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del error absoluto que se comete en la medición del área, si ∆b, ∆c y
∆A son los errores absolutos en las medidas de b, c y A. (b) Usar el
resultado obtenido en el apartado anterior para determinar el error relativo
en la medida del área en función de los errores relativos de b, c y A. (c)
Suponiendo que A es casi un ángulo recto, deducir razonadamente, a partir
de la expresión encontrada en (b), que el error relativo en la medida del
área depende fundamentalmente de los errores en las medidas de b y c.
15. El periodo de un péndulo simple viene dado por T = 2π ℓ/g. Si ∆ℓ y
∆g son los errores absolutos en las medidas de ℓ y g, usar la diferencial
para determinar los errores absoluto y relativo cometidos en la medida de
T .
16. Se considera un rectángulo de dimensiones 12 cm y 16 cm. Si el la-
do menor se incrementa en 2 mm y el mayor se reduce 1.5 mm, usar
la diferencial para calcular aproximadamente la variación en el área del
rectángulo.
Solución: El área aumenta aproximadamente 1.4cm 2 .
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