1º Derivación Parcial y Diferencial

es ( en general) una superficie S, pues se trata de un conjunto de puntos
con dos grados de libertad. En efecto, pueden escogerse los valores de x e y
libremente y el valor de z queda determinado por la ecuación. Ésta recibe el
nombre de ecuación implícita de la superficie.
Terminamos el apartado deduciendo de forma razonada la ecuación de
una superficie cilíndrica. Denotemos por S la superficie cilíndrica de eje OZ
y radio R. Vamos a probar que su ecuación en forma implícita es x 2 +y 2 = R 2 .
−1
−0.5
0
Eje OX
0.5
Eje OZ
1
Con la ayuda de la figura, vemos que, si (x0, y0, z0) es un punto cualquiera
de la superficie S, su proyección sobre el plano z = 0 es el punto (x0, y0, 0), que
pertenece a la circunferencia C de centro el origen, radio R y contenida en el
plano OXY. Esta circunferencia tiene por ecuación x 2 + y 2 = R 2 (en el plano
OXY). Por tanto, debe ser también x 2 0 + y 2 0 = R 2 . Es decir, hemos probado
que, si (x0, y0, z0) es cualquier punto de S, entonces necesariamente se verifica
9
1.5
(x0,y0,0)
2
2.5
2.5
2
1.5
1
Eje OY
0
0.5
−0.5
−1
−1.5