Aprenda Matlab 6.1 - Universidad Politécnica de Madrid

Aprenda Matlab 6.1 como si estuviera en Primero página 24
>> A*2
ans =
2 4
6 8
>> A-4
ans =
-3 -2
-1 0
Los operadores de división requieren una cierta explicación adicional. Considérese el
siguiente sistema de ecuaciones lineales,
Ax = b (1)
en donde x y b son vectores columna, y A una matriz cuadrada invertible. La resolución de este
sistema de ecuaciones se puede escribir en las 2 formas siguientes (¡Atención a la 2ª forma, basada
en la barra invertida (\), que puede resultar un poco extraña!):
x = inv(A)*b
x = A\b
Así pues, el operador división-izquierda por una matriz (barra invertida \) equivale a
premultiplicar por la inversa de esa matriz. En realidad este operador es más general y más
inteligente de lo que aparece en el ejemplo anterior: el operador división-izquierda es aplicable
aunque la matriz no tenga inversa e incluso no sea cuadrada, en cuyo caso la solución que se
obtiene (por lo general) es la que proporciona el método de los mínimos cuadrados. Cuando la
matriz es triangular o simétrica aprovecha esta circunstancia para reducir el número de operaciones
aritméticas. En algunos casos se obtiene una solución con no más de r elementos distintos de cero,
siendo r el rango de la matriz. Esto puede estar basado en que la matriz se reduce a forma de
escalón y se resuelve el sistema dando valor cero a las variables independientes. Por ejemplo,
considérese el siguiente ejemplo de matriz (1x2) que conduce a un sistema de infinitas soluciones:
>> A=[1 2], b=[2]
A =
1 2
b =
2
>> x=A\b
x =
0
1
que es la solución obtenida dando valor cero a la variable independiente x(1). Por otra parte, en el
caso de un sistema de ecuaciones redundante (o sobre-determinado) el resultado de MATLAB es el
punto más “cercano” -en el sentido de mínima norma del error- a las ecuaciones dadas (aunque no
cumpla exactamente ninguna de ellas). Véase el siguiente ejemplo de tres ecuaciones formadas por
una recta que no pasa por el origen y los dos ejes de coordenadas:
>> A=[1 2; 1 0; 0 1], b=[2 0 0]'
A =
1 2
1 0
0 1
b =
2
0
0
(2a)
(2b)