Aprenda Matlab 6.1 - Universidad Politécnica de Madrid

Capítulo 6: Programación de MATLAB página 81
presencia de componentes de alta frecuencia en la solución y tratan de adaptar a ellas su paso, que
se hace demasiado pequeño y termina por detener la integración.
Los integradores implícitos son mucho más apropiados para los problemas stiff. En lugar de
utilizar fórmulas del tipo de la ecuación (11) utilizan fórmulas del tipo:
( , , ,..., , , ,..., t)
y = f y y y y& y& y& (12)
t+∆ t t+∆t t t−∆ t t+∆t t t−∆t
El problema con la expresión (12) es que para calcular la función en t+Dt hace uso de la
derivada en ese mismo instante, que no puede ser conocida si no se conoce la función. Eso quiere
decir que el sistema (12) es un sistema de ecuaciones no lineal que hay que resolver iterativamente.
Los sistemas de ecuaciones no lineales se resuelven mucho más rápidamente si se conoce la
derivada de la función (un ejemplo es el método de Newton-Raphson). Los integradores stiff de
MATLAB son capaces de calcular esta derivada numéricamente (por diferencias finitas), pero son
mucho más eficientes si el usuario es capaz de escribir una segunda función que les dé esta
derivada. A esta derivada, que en realidad es una matriz de derivadas, se le suele llamar Jacobiano.
Los integradores stiff, además de la ecuación (7), permiten para el sistema de ecuaciones
diferenciales una forma algo más especializada:
My ( ,) t y-fy, & ( t)
=0
(13)
en cuyo caso el usuario también tiene que proporcionar una función que calcule la matriz M(y,t). La
ecuación (13) representa una gran número de casos prácticos, por ejemplo los que surgen de las
ecuaciones diferenciales del movimiento en Mecánica.
La forma más básica para todos los integradores de MATLAB es la siguiente:
[t, Y] = solvername(fh, tspan, y0)
donde fh es una referencia de la función que permite calcular la derivada según la expresión (7),
tspan puede ser un vector de dos elementos [tini, tfinal] que representan el comienzo y el fin de la
integración o un vector de tiempos [tini:tstep:tfinal] en los cuales se desea que MATLAB devuelva
resultados, e y0 es un vector columna con los valores iniciales. Como resultado se obtiene el vector
t de tiempos en los que se dan resultados y una matriz Y con tantas filas como tiempos de salida y
que representan cada una de ellas la salida en el correspondiente instante de tiempo.
Una forma más elaborada de llamar a los integradores de MATLAB es la siguiente:
[t, Y, s] = solvername(fh, tspan, y0, options)
donde s es un vector con ciertos resultados estadísticos de la integración (ver el Help para más
detalle) y options es una estructura similar a la vista en el Apartado anterior para el cálculo de raíces
y mínimos. En este caso la estructura options (que es diferente de la anterior, aunque se esté
utilizando el mismo nombre) se determina por medio de la función odeset, que admite las formas:
options = odeset('param1', val1,'param2', val2, ...);
options = odeset(oldopt, 'param1', val1,'param2', val2, ...);
Entre los parámetros u opciones más importantes se pueden citar los siguientes:
Para el error
Para el paso
Para la matriz M
Para el Jacobiano
Para la salida
RelTol , AbsTol
InitialStep, MaxStep
Mass, MassSingular
Jacobian, JConstant, JPattern, Vectorized
OutputFcn, OutputSel, Refine, Stats