Módulo de Cálculo

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2.2 Funciones Cálculo Diferencial Funciones exponenciales La función f (x) = 2 x se llama función exponencial porque la variable, x, es el exponente. No debe confundirse con la función ppotencia g (x) = x 2 , en la cual la variable es la base. En general, una función exponencial es una función de la forma f (x) = a x donde a es una constante positiva. Recordemos qué signica esto. Si x = n, un entero positivo, entonces a n = a a a n factores Si x = 0, entonces a 0 = 1 y, si x = n, donde n es un entero positivo, entonces a n = 1 a n Si x es un número racional, x = p , donde p y q son enteros y q > 0, entonces q a d = a p q = q p a p En la gura 3 se presentan las gracas de los miembros de la familia de funciones y = a x para varios valores de la base a. Note que todas estas gracas pasan por el mismo punto (0;1) porque a 0 = 1 para a 6= 0. Note también que a medida que la base a se vuelve más grande, la función exponencial crece con mayor rapidez (para x > 0) Leyes de los exponentes: Si a y b son números positivos y x y y son cualesquieras números reales, entonces 1. a x+y = a x + a y 2. a x y = ax a y 3. (a x ) y = a xy 4. (ab) x = a x b x Ejemplo .2 Graque la funcion y = 3 2 x y determine su dominio y su rango. Solución: En primer lugar, reejamos la gráca de y = 2 x (g. a) respecto al eje x, para obtener la gráca de y = 2 x gura b. Luego, desplacemos la gura de y = 2 x tres unidades hacia arriba para obtener la graca de y = 3 2 x gura c. El dominio es R y el rango es ( 1; 3). Arenas A. 16 Camargo B.
2.2 Funciones Cálculo Diferencial Fig. (a) Fig. (b) Fig. (c) Ejemplo .3 La vida maedia del estroncio 90, 90 Sr, es de 25 años. Esto signica que la mitad de cualquier cantidad dada de 90 Sr se desintegrará en 25 años. Si una muestra de 90 Sr tiene una masa de 24 mg, encuentre una expresión para la masa m(t) que queda despues de t años. Encuentre la masa restante después de 40 años, correcta hasta el miligramo más cercano. Use un gracador para trazar la graca de m(t) y utilice está última a n de estimar el tiempo requerido para que la masa se reduzca hasta 5 mg. Solución: En un inicio la masa de 24 mg y se reduce a la mitad durante cada 25 años, por tanto m (0) = 24 m (25) = 1 2 (24) m (50) = 1 2 1 2 (24) = 1 2 2 (24) m (75) = 1 2 1 2 2 (24) = 1 2 3 (24) m (100) = 1 2 1 2 3 (24) = 1 2 4 (24) Con la base en este patrón, parece que la masa restante despues de t años es: m (t) = 1 2 t 25 (24) = 24 2 t 25 Esto es una función exponencial con base a = 2 1 25 = 1 2 1 25 : La masa que queda después de los 40 años es m (40) = 24 2 40 25 7;9mg Arenas A. 17 Camargo B.
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