Módulo de Cálculo

3.1 Límites laterales Cálculo Diferencial
Solución (2).
Empezamos con la ley 5, pero su aplicación sólo se justica plenamente en la etapa nal, cuando
vemos que los límites del numerador y del denominador existen, y este último no es 0.
x 3 + 2x 2 1
lm
x !2 5 3x
=
=
lm
x !2 x3 + 2x 2 1
lm 3x
x !2 5
lm
x !2 x3 + 2 lm x 2
x !2
lm 5
x !2
3 lm
x !2 x
= ( 2)3 + 2 ( 2) 2 1
5 3 ( 2)
lm 1
x !2
= 1 11
Si hacemos f (x) = 2x 2 3x + 4, entonces f (5) = 39. ( En otras palabras, habríamos obtenido
la respuesta correcta.) sustituyendo x con 5. De manera análoga, la sustitución directa da la
respuesta correcta en el inciso b). Las funciones del ejemploanterior son un polinomio y una
función racional, respectivamente, y el uso semejante de las leyes de los límites prueba que
la sustitución directa siempre funciona para ese tipo de funciones. Expresamos este hecho del
modo siguiente:
Ejemplo .10
Si f es un polinomio o una función racional y a está en el dominio de f,entonces:
Encuentre lm
x !1
x 2 1
x 1
lmf (x) = f (a)
x!a
Solución: Sea f (x) = (x2 1)
. No podemos hallar el límite al sustituir x = 1 porque f (1) no
(x 1)
está denido. Tampoco podemos aplicar la ley del cociente porque el límite del denominador es
0. En lugar de ello, necesitamos algo de álgebra preliminar. Factorizamos el número como una
diferencia de cuadrados:
(x 2 1) (x 1) (x + 1)
lm =
x !1 (x 1) (x 1)
El numerador y el denominador tienen un factor común de x 1. Cuando tomamos el límite
cuando x tiende a 1, tenemos x 6= 1, por tanto, x 1 6= 0. Por consiguiente, podemos cancelar
el factor común y calcular el límite como sigue:
(x 2 1)
lm
x !1 (x 1)
= lm
x !1
(x 1) (x + 1)
(x 1)
= lm
x !1
(x + 1)
= 1 + 1 = 2
Arenas A. 28 Camargo B.