Módulo de Cálculo

Cálculo Diferencial
UNIDAD 1
2. Funciones y modelos
2.1. Relaciones y funciones
Los pares ordenados de números reales desempeñan un papel importante en el estudio que se
va a realizar.
Denición .1 Si a y b son dos elementos de un conjunto, el par ordenado con primera componente
a y segunda componente b se simboliza por (a; b) y es por denición ffag ; fa; bgg : Esto
es, (a; b) = ffag ; fa; bgg :
Nota .1 Nótese que los pares ordenados (a; b) y (c; d) son iguales si y sólo si a = c y c = d
Denición .2 El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, que se nota AB, es el conjunto
de todos los pares ordenados (a; b) con a 2 A y b 2 B; esto es,
A B = f(a; b) : a 2 A y b 2 Bg
Denición .3 Sean X y Y dos conjuntos. R es una relación de X a Y ó de X en Y sí y sólo sí
R X Y . Si la pareja (x; y) está en R se escribe (x; y) 2 R, y se dice que x está relación
por R o según R, con y.
Denición .4 El dominio de R, que se denota D R , es el conjunto de elementos de X que estan
relacionados por R con algún elemento de Y , esto es,
D R = fx 2 X : existe algún y 2 Y tal que (x; y) 2 R g
Denición .5 El recorrido de R, que se denota R R , es el conjunto de elementos de Y que
están relacionados por R con algún elemento de X, es decir,
R R = fy 2 Y : existe algún x 2 X tal que (x; y) 2 R g
Denición .6 Si X y Y son conjuntos de números reales, la graca de una relación R de X a
Y es el conjunto de todos los puntos (x; y) del plano coordenado para los cuales (x; y) 2 R.
2.2. Funciones
Denición .7 Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función f de A en B es una relación de
A en B que satisface la siguiente condición: Para todo elemento x de A existe un único elemento
y en B tal que (x; y) 2 f:
Esto signica que:
i). Todo elemento x de A es la primera componente de alguna pareja de f:
ii). Si (x; y 1 ) 2 f; y (x; y 2 ) 2 f; entonces y 1 = y 2 ; es decir, en f no hay dos parejas distintas
con la primera componente igual.
Arenas A. 6 Camargo B.