Módulo de Cálculo

Módulo de Cálculo
Amaury Camargo y favián Arenas A.
Índice
1. Generalidades. 3
1.1. Nombre del curso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Programa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Area: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Semestre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5. Créditos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6. Prerrequisitos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Funciones y modelos 6
2.1. Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1. Funciones seccionalmente continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2. Simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.3. Funciones nuevas a partir de funciones antiguas: . . . . . . . . . . . . 8
2.2.4. Tipos de funciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.5. Transformación de funciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Límite y Continuidad de funciones Reales 23
3.1. Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1. Cálculo de límites utilizando Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2. Propiedades de los límites: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4. Continuidad 34
4.1. Propiedades de la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.1. Límites innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5. Derivada y Continuidad. 52
5.1. Recta tengente y recta normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.1. Denición de derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.2. Derivadas laterales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2. Función derivada y Reglas de derivación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.1. Función derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1

ÍNDICE
Cálculo Diferencial
5.2.2. Reglas de derivación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2.3. Formas indeterminadas Y Reglas de L'Hopital. . . . . . . . . . . . . 78
6. Aplicaciones de la derivada 90
6.1. Máximos y mínimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1.1. Máximos y mínimos relativos o locales . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1.2. Concavidad y el criterio de la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . 98
Arenas A. 2 Camargo B.

Cálculo Diferencial
1. Generalidades.
1.1. Nombre del curso:
1.2. Programa:
1.3. Area:
1.4. Semestre:
1.5. Créditos:
1.6. Prerrequisitos:
Arenas A. 3 Camargo B.

1.6 Prerrequisitos: Cálculo Diferencial
Introducción.
Las Matemáticas son una ciencia cuyo objeto de estudio no está en el mundo material pero que
sin embargo tiene aplicaciones innitas en él. Son consideradas como uno de los más poderosos
lenguajes de la ciencia y sin ésta herramienta las posibilidades de aprendizaje y conocimiento
de otras ciencias se limitarían enormemente.
Su utilidad se demuestra al emplear sus leyes y principios para interpretar fenómenos a través
de modelos matemáticos, es por eso que tiene aplicaciones en la explicación de los fenómenos
naturales y sociales, por lo cual es importante en Física, Química, Sociología, Psicología,
Economía, Ecología, Biología, Medicina, y por supuesto en la ingeniería de sistemas.
Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entre dos cantidades variables, entramos en
los dominios del Cálculo Diferencial. Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial
temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla)
de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las
ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráca
en un punto dado de ésta, etc.
Arenas A. 4 Camargo B.

1.6 Prerrequisitos: Cálculo Diferencial
Objetivos del curso.
Estudiar los conceptos básicos de límite, continuidad y derivada para funciones de una variable
real y utilizar estas ideas en la solución de problemas de optimización, trazado de curvas y razón
de cambio.
Justicación.
Con este curso se pretende, dar soporte a otras asignaturas de la carrera y a la vez iniciar al
estudiante en la comprensión, formulación y solución de algunos problemas prácticos mediante
el empleo de ciertas herramientas del cálculo diferencial.
Competencias.
Al terminar el curso, el estudiante estará en capacidad de:
Dene los conceptos de límite, continuidad y diferenciación de funciones reales.
Interpreta geométricamente el signicado de la derivada.
Calcula derivadas de funciones reales usando correctamente las propiedades.
Resuelve problemas de tipo práctico mediante el uso de la diferenciación.
Arenas A. 5 Camargo B.

Cálculo Diferencial
UNIDAD 1
2. Funciones y modelos
2.1. Relaciones y funciones
Los pares ordenados de números reales desempeñan un papel importante en el estudio que se
va a realizar.
Denición .1 Si a y b son dos elementos de un conjunto, el par ordenado con primera componente
a y segunda componente b se simboliza por (a; b) y es por denición ffag ; fa; bgg : Esto
es, (a; b) = ffag ; fa; bgg :
Nota .1 Nótese que los pares ordenados (a; b) y (c; d) son iguales si y sólo si a = c y c = d
Denición .2 El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, que se nota AB, es el conjunto
de todos los pares ordenados (a; b) con a 2 A y b 2 B; esto es,
A B = f(a; b) : a 2 A y b 2 Bg
Denición .3 Sean X y Y dos conjuntos. R es una relación de X a Y ó de X en Y sí y sólo sí
R X Y . Si la pareja (x; y) está en R se escribe (x; y) 2 R, y se dice que x está relación
por R o según R, con y.
Denición .4 El dominio de R, que se denota D R , es el conjunto de elementos de X que estan
relacionados por R con algún elemento de Y , esto es,
D R = fx 2 X : existe algún y 2 Y tal que (x; y) 2 R g
Denición .5 El recorrido de R, que se denota R R , es el conjunto de elementos de Y que
están relacionados por R con algún elemento de X, es decir,
R R = fy 2 Y : existe algún x 2 X tal que (x; y) 2 R g
Denición .6 Si X y Y son conjuntos de números reales, la graca de una relación R de X a
Y es el conjunto de todos los puntos (x; y) del plano coordenado para los cuales (x; y) 2 R.
2.2. Funciones
Denición .7 Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función f de A en B es una relación de
A en B que satisface la siguiente condición: Para todo elemento x de A existe un único elemento
y en B tal que (x; y) 2 f:
Esto signica que:
i). Todo elemento x de A es la primera componente de alguna pareja de f:
ii). Si (x; y 1 ) 2 f; y (x; y 2 ) 2 f; entonces y 1 = y 2 ; es decir, en f no hay dos parejas distintas
con la primera componente igual.
Arenas A. 6 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
Prueba de la recta vertical: Una curva en el plano xy es la gráca de una función de x
si y sólo si ninguna recta vertical se interseca con la curva más de una vez.
Función No es función Función
2.2.1. Funciones seccionalmente continuas
La función del ejemplo siguiente está denida por fórmulas diferentes en diferentes partes de
sus dominios.
Ejemplo .1 Una función f se dene por
8
< x 2 1 if x 1
1 x 2 if 1 < x 1
:
2x 2 + 1 if 1 < x
Evalúe f( 5); f(0); f(5) y trace la gráca.
Solución: Para esta función en particular, la regla es: primero se considera el valor de la entrada
x: Si sucede que x 1; entonces f(x) = x 2 1: Por otra parte, si x > 1; entonces f(x) =
2x 2 + 1:
Como 5 1; se tiene que f( 5) = ( 5) 2 1 = 24
Como 1 < 0 1; se tiene que f(0) = 1 (0) 2 = 1
Como 5 > 1; se tiene que f(5) = 2(5) 2 + 1 = 51
Figura 1
Arenas A. 7 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
2.2.2. Simetría
Si una función f satisface f( x) = f(x); para todo número x en su dominio, entonces f se
denomina función par. Por ejemplo, la función f(x) = x 2 1 es par porque
f( x) = ( x) 2 1 = x 2 1 = f(x)
Si una función f satisface f( x) = f(x); para todo número x en su dominio, entonces f se
denomina función impar. Por ejemplo, la función f(x) = x 3 x es impar porque
f( x) = ( x) 3 ( x) = x 3 + x = x 3 x = f(x)
El signicado geométrico de una función par es que su gráca es simétrica con respecto al eje
y: (ver gura 2a), mientras que el signicado geométrico de una función impar es que su gráca
es simétrica con respecto origen de coordenadas (ver gura 2b)
Figura 2a
Figura 2b
2.2.3. Funciones nuevas a partir de funciones antiguas:
Al resolver problemas de cálculo, encontrará que resulta útil familiarizarse con las grácas de
algunas funciones cuya presencia es frecuente. En esta sección clasicaremos varios tipos
de funciones y, enseguida , mostraremos cómo se les transforma por el desplazamiento, el
alargamiento y la reexión de sus grácas. También mostraremos cómo combinar pares de
funciones por medio de operaciones aritméticas estandar o por composición.
2.2.4. Tipos de funciones:
Funciones constantes: La función constante f (x) = c tiene el dominio R y su rango el
único valor c. Su gráca es una recta horizontal.
Funciones potencia: Una función de la forma f (x) = x a , donde a es una constante, se
llama función potencia. Considaremos varios casos.
a = n, un entero positivo:
Arenas A. 8 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
En la gura que sigue, se muestran las grácas de f (x) = x n , para n = 1; 2; 3; 4 y 5. Ya
conocemos la forma de las grácas de y = x (una recta que pasa por el origen con pendiente 1
y y = x 2 una parábola.).
La forma general de la gráca f (x) = x n depende de si n es par o impar. Si n es par,entonces
f (x) = x n es una función par y su gráca es similar a la parábola y = x 2 . Si n es impar,
entoces f (x) = x n es una función impar y su gráca es similar a la de y = x 3 . Sin embargo,
observe la gura y advierta que, conforme n crece, la graca de y = x n se vuelve más plana
cerca de 0 y más empinada cuando jxj 1. Si x es pequeña, entonces x 2 es más pequeña, x 3
incluso es más pequeña, x 4 todavía es más pequeña y así sucesivamente.
y = x y = x 2 y = x 3 y = x 4 y = x 5
a = 1:
En la gura siguiente se muestra la gráca de la función reciproca f (x) = x 1 = 1 . Su gráca
x
tiene la ecuación y = 1 , o bien, xy = 1. Es una hipérbola equilátera con los ejes de coordenadas
x
como asíntotas.
a = 1 , n un entero positivo:
n
La función f (x) = x 1 n = np x es una función raíz. Para n = 2, es la función raíz cuadrada
f (x) = p x, cuyo dominio es [0; 1) y cuya graca es la mitad superior de la parábola x =
y 2 [ver g]. Para otros valores pares de n, la gráca de y = np x es similar a la de y = p x. Para
n = 3, tenemos la función raíz cubica f (x) = 3p x, cuyo dominio es R (recuérdese que todo
número real tiene una raíz cubica y cuya gráca se muestra a continuación. La gráca de y =
np p x para n es impar (n > 3) es similar a la de y =
3
x.
Arenas A. 9 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
y = p x
y = 3p x
Polinomios: Una función P recibe el nombre de polinomio si
P (x) = a x x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0
donde n es un cociente es un entero no negativop y los números a 0; a 1; a 2 ; ::::::; a n son constantes
llamadas coecientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es R = ( 1; 1). Si
el primer coeciente a n 6= 0, entonces el grado del polinomio es n. Por ejemplo, la función
P (x) = 2x 6 x 4 + 2 5 x3 + p 2
es un plinomio de grado 6 (o sexto grado).
Un polinomio de primer grado es de la forma P (x) = ax + b y se llama función lineal porque
su gráca es la recta y = ax + b (pendiente a, ordenada al origen b). Un rasgo característico de
las funciones lineales es que crecen con una razón constante. Por ejemplo, en la gura siguiente
se muestra una gráca de la función lineal f (x) = 2x + 1 y una tabla de valores muestras. Note
que, siempre que x se incrementa en 1, el valor de y = f (x) aumenta en 2. Por tanto, f (x)
crece dos veces más rapido que x. De este modo, la pendiente de la gráca y = 2x + 1, a saber,
2, se puede interpretar como la razón de cambio de y con respecto a x:
x -2 -1 0 1 2
y = f(x) -3 -1 1 3 5
Un polinomio de segundo grado es de al forma P (x) = ax 2 + bc + c y se llama función
cuadrática. La gráca de P siempre es la parábola que se obtiene desplazando la parábola
y = ax 2 . Un polinomio de la forma
P (x) = ax 2 + bc + cx + d
Arenas A. 10 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
se llama función cúbica. A continuación se muestra la gráca de una función cúbica, en la parte
a, y las grácas de polinomios de cuarto y quinto grado en las partes b y c.
y = x 3 (a) y = x 4 (b) y = x 5 (c)
Comúnmente, los polinomios se usan para modelar diversas cantidades que se presentan en
las ciencias naturales y sociales. Más adelante, explicaremos por qué los economistas usan a
menudo un polinomio P (x) para representar el costo de producir x unidades de un artículo.
Funciones racionales: Una Funcion racional f es una razón de dos polinomios.
f (x) = P (x)
Q (x)
donde P y Q son polinomios. El dominio consta de todos los valores de x tales que Q (x) 6= 0.
Por ejemplo, la función
f (x) = 2x x2 + 1
x 2 4
y = f(x)
es una función racional con dominio fx j x 6= 2g. En la gura anterior se muestra su graca.
Funciones algebraicas: Una función f recibe el nombre de Función algebraica sí puede
construirse usando operaciones algebraicas (adición, sustracción, multiplicación, división
Arenas A. 11 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
y extracción de raíz) a partir de polinomios. Automáticamente, cualquier función racional
es una función algebraica. Aquí se tienen dos ejemplos más:
f (x) = p x 2 + 1
g (x) = x4 16x 2
x p x
+ (x 2) 3p x + 1
Cuando tracemos las grácas de las funciones algebraicas, veremos que esas grácas pueden
tomar diversas formas.
Funciones trigonométricas:En cálculo, la convención es usar la medida radián (excepto
cuando se indica lo contrario). Por ejemplo, cuando utilizamos la función f (x) = sin x,
se entiende que sin x signica el seno del ángulo cuya madida en radianes es x. De este
modo, las grácas de las funciones seno y coseno son como las que muestran en la gura
Siguiente.
Sen(x)
Cos(x)
Nota .2 Nótese que tanto para la función seno como para la coseno, el dominio es ( 1; 1) y
el rango es el intervalo cerrado[ 1; 1]. Por tanto, para todos los valores de x, tenemos
1 sin x 1 1 cos x 1
Asímismo, los ceros de la función senose tienen en los multiplos enteros de , es decir,
sin(x) = 0 cuando x = n n un entero
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son periodicas y tienen un
periodo 2. Esto signica que, para todos los valores de x,
sin (x + 2) = sin x
cos (x + 2) = cos x
La naturaleza periódica de estas funciones las hace apropiadas para modelar fenómenos repetitivos,
como mareas, resortes vibrantes y las ondas sonoras. La función tangente esta relacionada
con las funciones seno y coseno por la ecuación
Arenas A. 12 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
tan x = sin x
cos x
y su gráca no está denida cuando cos x = 0, es decir, cuando x = 2 ; 3 2
( 1; 1).
; :::Su rango es
y = tan x
Note que la función tangente tiene período .
Las tres funciones trigonometricas restantes(cosecante, secante y cotangente) son las recíprocas
de las funciones seno, coseno y tangente.
Funciones exponenciales: Son las funciones de la forma f (x) = a x , donde la base a es
una constante positiva. En la gura que sigue se presentan las grácas de y = 2 x ; y =
2 x y y = 2 x . En los dos casos, el dominio es ( 1; 1) y el rango es (0; 1).
2 x 2 x 2 x
Funciones logarítmicas: Son las funciones f (x) = log a x, donde la base a es una constante
positiva. Son las funciones inversas de las funciones exponenciales y se estudiaran
en la otra sección En la gura siguiente se encuentran las grácas de cuatro funciones
logarítmicas con diversas bases. En cada caso, el dominio es (0; 1), y el rango ( 1; 1)
Arenas A. 13 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
y la función crece con lentitud cuando x > 1.
Funciones trascendentes: Se trata de las funciones que no son algebraicas. El conjunto
de las funciones trascendentes incluye las trigonométricas, las trigonométricas inversas,
las exponenciales y las logarítmicas., así como un vasto número de otras funciones que
nunca han sido nombradas.
2.2.5. Transformación de funciones:
Al aplicar ciertas transformaciones a la graca de una función dada podemos obtener las gracas
de ciertas funciones relacionadas y, de este modo, reducir el trabajo al trazar esas gracas. En
primer lugar, consideraremos las traslaciones. Si c es un número positivo, entonces la graca
de y = f (x) + c es precisamente la de y = f (x) desplazada hacia arriba una distancia de c
unidades(debido a que cada coordenada y se incrementa el mismo número c). Del mismo modo
, si g (x) = f (x c), donde c > 0, entonces el valor de g en x es el mismo que el valor de f en
x c(c unidades a la izquierda de x). Por lo tanto, la graca de y = f (x c) es precisamente
la de y = f (x) desplazada c unidades a la derecha(véase la g. 14)
Desplazamientos verticales y horizontales:
de
Supóngase que c > 0. Para obtener la graca
1. y = f(x)+c, se desplaza la graca de y = f (x) una distancia de unidades c hacia arriba.
2. y = f(x) c, se desplaza la graca de y = f (x) una distancia de unidades c hacia abajo.
3. y = f (x c), se desplaza la graca de y = f (x) una distancia de unidades c hacia la
derecha.
4. y = f (x + c), se desplaza la graca de y = f (x) una distancia de unidades c hacia la
izquierda.
Arenas A. 14 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
y = p x y = p x 2 y = p x 2 y = p x y = p x
Consideremos ahora las transformaciones de alargamiento y reexión. Si c > 1, entonces la
graca de y = cf (x) es la de y = f (x) alargada al factor de c en la dirección vertical(porque
cada coordenadad y se multiplica por el mismo número c ). La graca de y = f (x) es la de
y = f (x) reejada respecto al eje x, porque el punto (x; y) remplaza al punto (x; y). (Véase
la lista y la gura a continuación, donde también se dan los resultados de otras transformaciones
de alargamiento, comprensión y reexión).
Alargamientos y reexiones verticales y horizontales: Supóngase que c > 1. Para obtener
la graca de
1. y = cf(x), alárguese la graca de y = f (x) verticalmente en un factor de c.
2. y = c 1 f(x), comprímase la graca de y = f (x) verticalmente en un factor de c
3. y = f (cx), comprímase la graca de y = f (x) horizontalmente en un factor de c.
4. y = f
x
c , alárguese la graca de y = f (x) horizontalmente en un factor de c.
5. y = f (x), reéjese la graca de y = f (x) respecto al eje x.
6. y = f ( x), reéjese la graca de y = f (x) respecto al eje y.
Arenas A. 15 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
Funciones exponenciales
La función f (x) = 2 x se llama función exponencial porque la variable, x, es el exponente.
No debe confundirse con la función ppotencia g (x) = x 2 , en la cual la variable es la base. En
general, una función exponencial es una función de la forma
f (x) = a x
donde a es una constante positiva. Recordemos qué signica esto. Si x = n, un entero positivo,
entonces
a n = a a a
n factores
Si x = 0, entonces a 0 = 1 y, si x = n, donde n es un entero positivo, entonces
a n = 1 a n
Si x es un número racional, x = p , donde p y q son enteros y q > 0, entonces
q
a d = a p q
=
q p a p
En la gura 3 se presentan las gracas de los miembros de la familia de funciones y = a x para
varios valores de la base a. Note que todas estas gracas pasan por el mismo punto (0;1) porque
a 0 = 1 para a 6= 0. Note también que a medida que la base a se vuelve más grande, la función
exponencial crece con mayor rapidez (para x > 0)
Leyes de los exponentes:
Si a y b son números positivos y x y y son cualesquieras números reales, entonces
1. a x+y = a x + a y
2. a x y = ax
a y
3. (a x ) y = a xy
4. (ab) x = a x b x
Ejemplo .2 Graque la funcion y = 3
2 x y determine su dominio y su rango.
Solución: En primer lugar, reejamos la gráca de y = 2 x (g. a) respecto al eje x, para obtener
la gráca de y = 2 x gura b. Luego, desplacemos la gura de y = 2 x tres unidades hacia
arriba para obtener la graca de y = 3 2 x gura c. El dominio es R y el rango es ( 1; 3).
Arenas A. 16 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
Fig. (a) Fig. (b) Fig. (c)
Ejemplo .3 La vida maedia del estroncio 90, 90 Sr, es de 25 años. Esto signica que la mitad
de cualquier cantidad dada de 90 Sr se desintegrará en 25 años.
Si una muestra de 90 Sr tiene una masa de 24 mg, encuentre una expresión para la masa
m(t) que queda despues de t años.
Encuentre la masa restante después de 40 años, correcta hasta el miligramo más cercano.
Use un gracador para trazar la graca de m(t) y utilice está última a n de estimar el
tiempo requerido para que la masa se reduzca hasta 5 mg.
Solución: En un inicio la masa de 24 mg y se reduce a la mitad durante cada 25 años, por tanto
m (0) = 24
m (25) = 1 2 (24)
m (50) = 1 2 1 2 (24) = 1 2 2 (24)
m (75) = 1 2 1 2 2 (24) = 1 2 3 (24)
m (100) = 1 2 1 2 3 (24) = 1 2 4 (24)
Con la base en este patrón, parece que la masa restante despues de t años es:
m (t) = 1
2 t
25
(24) = 24 2 t
25
Esto es una función exponencial con base a = 2 1
25 = 1
2 1 25
:
La masa que queda después de los 40 años es
m (40) = 24 2 40
25 7;9mg
Arenas A. 17 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
Usamos una calculadora gracadora o una computadora para trazar la gráca de la función
m (t) = 24 2 t
25 . También trazamos la gráca de la recta m = 5 y utilizamos el
cursor para estimar que m(t) = 5 cuando t 57. Por tanto, la masa de la muestra de
reducirá hasta 5mg después de alrededor de 57 años.
m(t) = 24(2 t
25 )
El número e
De todas las bases posibles para una función exponencial existe una que es la más conveniente
para los nes del cálculo, se trata del número irracional e = 2;71828::.
Ejemplo .4 Graque la función y = 1 2 e x
1 y dé el dominio y el rango.
y = e x y = 1 2 e x y = 1 2 e x 1
Solución: Partimos de la gráca de y = e x , y la reejamos respecto al eje y para obtener la
graca de y = e x , (Nótese que la gráca cruza el eje y con una pendiente m = 1 ) Luego,
comprimimos, verticalmente la gráca, un factor de 2 para obtener la graca de y = 1e x . Por
2
último, la desplazamos hacia abajo una unidad para lograr la gráca deseada; el dominio es R
y el rango es ( 1; 1).
Funciones inversas y logarítmicas
Denición .8 Se dice que una función f es una función uno a uno si nunca toma el mismo
valor dos veces; es decir,
Arenas A. 18 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
f (x 1 ) 6= f (x 2 ) siempre que x 1 6= x 2
Prueba de la recta horizontal: Una función es uno a uno si sólo si ninguna recta horizontal
interseca su graca más de una vez.
No es 1-1 Es 1-1 No es 1-1
Denición .9 : Sea f una función uno a uno, con dominio A y rango B. Entonces su función
inversa f 1 tiene dominio B y rango A y la dene
f 1 (y) = x () f (x) = y (1)
para cualquier y en B.
Esta denición expresa que si f mapea x en y, entonces f 1 mapea y de regreso a x. (Si f no
fuera uno a uno, entonces f 1 no estaría denida de manera única). Note que
dominio de f 1 = rango de f
rango de f = dominio de f 1
Tradicionalmente, la letra x se usa la como variable independiente, de modo que cuando nos
concentramos en f 1 , en lugar de f,solemos invertir los papeles de x y y en la ecuación (1) y
escribimos
f 1 (x) = y () f (y) = x (2)
Si en la misma ecuación (1) se sustituye y, así como en (2), se obtienen las siguientes ecuaciones
de cancelación:
f 1 (f (x)) = x para toda x en A
f(f 1 (x)) = x para toda x en B
Cómo hallar la función inversa de una función f uno a uno
Arenas A. 19 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
Paso 1: Escribimos y = f (x)
Paso 2: Resolvemos esta ecuación para x en terminos de y (si es posible)
Paso 3: Para expresar f 1 como función de x, intercambiamos x y y. La ecuación resultante es
y = f 1 (x)
Ejemplo .5 Encuentre la función inversa de f (x) = x 3 + 2.
Solución: Primero escribimos
Luego resolvemos esta ecuación para x:
y = x 3 + 2:
x 3 = y 2
x = 3p y 2
Por último, intercambiamos x y y:
Por lo tanto, la función inversa es:
y = 3p x 2
f 1 (x) = 3p x 2
f(x) = x 3 + 2 f 1 (x) = 3p x 2 f(x) y f 1 (x)
El principio de intercambiar x y y a n de hallar la función inversa también nos proporciona
el método para obtener la gráca de f 1 , a partir de la de f. Dado que f (a) = b si sólo si
f (b) = a, el punto (a; b) está en la gráca de f 1 . Pero obtenemos el punto (a; b) por reexión
respecto de la recta y = x (g. 8).
Por lo tanto, como se ilustra en la gura siguiente:
Se obtiene la graca de f 1 al reejar la graca de f respecto a la recta y = x.
Ejemplo .6 Trace la graca de f (x) = p 1 x y de su función inversa, usando los mismos
ejes de coordenadas.
Arenas A. 20 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
Solución: Primeo gracamos la curva y = p 1 x (La mitad superior de la parábola y 2 =
1 x, o bien, x = y 2 1) y luego la reejamos respecto a la recta y = x para lograr la
gráca de f 1 (g. 10). Como comprobación de la graca, note que la expresión para f 1 es
f 1 (x) = x 2 1; x > 0. De modo que la graca de f 1 es la mitad derecha de la parábola
y = x 2 1 y, a partir de la gura , esto parece razonable.
f(x) = p 1 x f 1 (x) = x 2 1 f(x) y f 1 (x)
Funciones logarítmicas
Si a > 0 y a 6= 1, la función exponencial f (x) = a x está creciendo o decreciendo y, por tanto,
es uno a uno. Por consiguiente, tiene una función inversa f 1 , la cual se conoce como función
logaritmica con base a y se denota con log a . Si usamos la formulación de función inversa que
da ,
f 1 (x) = y () f (y) = x
entonces tenemos
log a x = y () a y = x
Por tanto, si a > 0, entonces log a x es el exponente al que debe elvarse la base para a para dar
x. Por ejemplo, log 10 0;001 = 3, porque 10 3 = 0;001. Cuando las ecuaciones de cancelación
se aplican a f (x) = a x y f 1 (x) = log a x, quedan como
log a (x) = x para toda x 2 R
a log a
= x para toda x > 0
La función logarítmica log a tiene dominio (0; 1) y rango R. Su graca es la reexión de la
graca de y = a x respècto a la recta y = x.
En la gura se muestra el caso en dondea > 1(Las funciones logarítimicas más importantes
tienen base a > 1). El hecho de que y = a x sea una función que aumenta con mucha rapidez
para x > 0 se reeja en que y = log a x es una función que aumenta con mucha lentitud para
x > 1.
Leyes de los logaritmos: Si x y y son números positivos, entonces:
Arenas A. 21 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
1. log a (xy) = log a x + log a y
x
2. log a = log
y a x log a y
3. log a (x r ) = r log a x (en donde r es cualquier número real)
Logaritmos naturales
De todas las bases a para los logaritmos, veremos que la elección más conveniente de una base
es el número e, el cual ya se denió anteriormente. El logaritmo con base e se conoce como
logaritmo natural y tiene una notación especial:
log e x = ln x
Si en las ecuaciones anteriores ponemos a = e y log e
denición de la función logaritmo natural quedan
= ln, entonces las propiedades de
ln x = y () e y = x
ln (e x ) = x x 2 R
e ln x = x x > 0
En particular, si se hace x = 1, obtenemos
ln e = 1
Arenas A. 22 Camargo B.

Cálculo Diferencial
UNIDAD 2
3. Límite y Continuidad de funciones Reales
Denición .10 Escribimos
lm f (x) = L
x!a
y decimos ”el límite de f (x), cuando x tiende a a, es igual a L”
si podemos acercar arbitrariamente los valores de f (x) a L(tanto como deseemos) escogiendo
una x lo bastante cerca de a, pero no igual a a.
En términos generales, esto arma que los valores de f (x) se aproximan cada vez más al
número L cuando x se acerca a a(desde cualquiera de los dos lados de a), pero x 6= a. Una
notación alternativa es:
lm
x!a f (x) = L
f (x) ! L conforme x ! a
que suele leerse ”f (x) tiende a L cuando x tiende a a”.
Advierta la frase ”pero x 6= a” en la denición de límite. Esto signica que al hallar el límite de
f (x) cuando x tiende a a, nunca consideramos x = a. De hecho, incluso no es necesario que
f (x) esté denida cuando x = a. Lo único que importa es cómo esta denida f cerca de a.
Ejemplo .7 Encuentre el valor de lm
x!1
x 1
x 2 1
y = f(x)
Solución: Note en la gráca que la función f (x) = x 1 no está denida cuando x = 1, pero
x 2 1
eso no importa porque la denición de lmf (x) dice que consideremos valores de x próximos
x!a
a a pero diferentes de a. En las tablas de la izquierda se dan los valores de f (x)(correctos hasta
Arenas A. 23 Camargo B.

3.1 Límites laterales Cálculo Diferencial
seis cifras decimales) para valores de x que tienden a 1(pero no son iguales a 1). Con base en
los valores de las tablas, conjeturamos que
x 1
lm
x!1x 2 1 = 0;5
El ejemplo 1 se ilustra mediante la gráca de f de la gura 3. Cambiemos ahora ligeramente el
valor de f, dádole el valor de 2 cuando x = 1 y según la función resultante como g.
( x 1
si x 6= 1
g (x) = x 2 1
2 si x = 1
Esta nueva función g todavía tiene el mismo límite cuando x tiende a 1 (ver fig:)
y = g(x)
3.1. Límites laterales
En el ejemplo 6 hicimos ver que H (t) tiende a 0 cuando t lo hace a 0 desde la izquierda y que
esa función tiende a 1 cuando t lo hace a 0 desde la derecha. Indicamos simbólicamente esta
situación escribiendo
lm
x!t
0H
(t) = 0 y lm
x!t +0H
(t) = 1
El símbolo ”t ! 0 ”indica que sóllo consideramos valores de t menores que 0. Del mismo
modo, ”t ! 0 + ” indica que sólo consideramos valores de t mayores que 0.
Denición .11 Escribimos
lm
x!a
f (x) = L
y decimos que el límite izquierdo de f (x) cuando x tiende a a (o el límite de f (x) cuando
x se acerca a a desde la izquierda) es igual a L, si podemos aproximar los valores de f (x) a
L tanto como queramos, escogiendo una x lo bastante cerca de a pero pero menor que a.
Arenas A. 24 Camargo B.

3.1 Límites laterales Cálculo Diferencial
Advierta que la denición 2 diere de la 1 sólo en que x debe ser menor que a. De manera
análoga, si requerimos que x sea mayor que a, obtenemos ”el límite por la derecha de f (x)
cuando x tiende a a es igual a L” y escribimos
lm
x!a +f
(x) = L
Por lo tanto, el símbolo ”x ! a + ” signica que consideremos sólo x > a. en la gura
siguiente se ilustran estas deniciones.
Al comparar la denición 1 con las deniciones de los límites laterales, vemos que se cumple
lo siguiente
lmf (x) = L si sólo si lm
x!a +f
(x) = L y lm
x!a
x!a
f (x) = L
1
Ejemplo .8 Encuentre lm
x!0 x , si existe. 2 Y = 1 x 2
Arenas A. 25 Camargo B.

3.1 Límites laterales Cálculo Diferencial
Solución: Conforme x se aproxima a 0; x 2 también se aproxima a 0 y 1 x 2
se hace muy grande.
(Ver gráco anterior.) De hecho, en la gráca de la función f (x) = 1 , parece que los valores
x2 de f (x) se puede aumentar arbitrariamente, si se escoge una x lo bastante cerca de 0. De este
1
modo, los valores de f (x) no tienden a un número, de modo que lm no existe.
x!0 x 2
Al iniciar esta sección, consideramos la función f (x) = x 2
numérica y gráca, vimos que
lm
x!1 x2 x + 2 = 4
x + 2 y, con base en evidencia
Según la denición 1, esto signica que los valores de f (x) pueden acercarse a 4 tanto como
deseemos, siempre que escojamos una x sucientemente cerca de 2.
3.1.1. Cálculo de límites utilizando Propiedades
3.1.2. Propiedades de los límites:
Supóngase que c es una constante y que los límites
lmf (x) y lm g (x)
x!a x!a
Existen.
Entonces
1. lm
x!a
[f (x) + g (x)] = lm
x!a
f (x) + lm
x!a
g (x)
2. lm
x!a
[f (x)
g (x)] = lm
x!a
f (x)
3. lm
x!a
[c f (x)] = c lm
x!a f (x)
lmg (x)
x!a
4. lm
x!a
[f (x) g (x)] = lm
x!a
f (x) lm
x!a
g (x)
f (x)
lmf (x)
5. lm
x!a g (x) = x!a
si lmg (x) 6= 0
lmg (x) x!a
x!a
Estas leyes se pueden expresar verbalmente como sigue:
El límite de una suma es la suma de los límites.
El límite de una diferencia es la diferencia de los límites.
Arenas A. 26 Camargo B.

3.1 Límites laterales Cálculo Diferencial
El límite de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por
el límite de la función.
h i n
lm [ f
x!a (x)]n = lm f (x)
x!a
donde n es un entero positivo
En la aplicación de estas seis leyes de los límites, necesitamos usar dos límites especiales:
lm c = c
x!a
lmx
= a
x!a
Estos límites son obvios desde un punto de vista intuitivo(establézcalo verbalmente o
graque y = c y y = x). Si en la propiedad 6 ponemos ahora f (x) = x y aplicamos la
propiedad 8, obtenemos otro útil límite especial.
lm
x!a xn = a n
donde n es un entero positivo.
Se cumple un límite similar para las raíces, como sigue:
lm np p x =
n
a donde n es un entero positivo
x!a
(Si n es par, consideramos que a > 0)
De modo más general, tenemos la siguiente ley:
p q p
n
lm f(x) =
n n
lm f(x) donde n es un entero positivo
x!a
x!a
h
i
Si n es par, suponemos que lmf (x) > 0
x!a
Ejemplo .9 Evalúe los límites siguientes y justique cada paso.
1. lm
x !5
2x 2 3x + 4
x
2. lm
3 +2x 2 1
x !2 5 3x
Solución (1).
lm
x !5 2x2 3x + 4 = lm 2x 2 lm (3x) + lm 4
x !5 x !5 x !5
= 2 lm x 2 3 lm x + lm
x !5 x !5
= 2 5 2 3 (5) + 4
= 39
x !5
4
Arenas A. 27 Camargo B.

3.1 Límites laterales Cálculo Diferencial
Solución (2).
Empezamos con la ley 5, pero su aplicación sólo se justica plenamente en la etapa nal, cuando
vemos que los límites del numerador y del denominador existen, y este último no es 0.
x 3 + 2x 2 1
lm
x !2 5 3x
=
=
lm
x !2 x3 + 2x 2 1
lm 3x
x !2 5
lm
x !2 x3 + 2 lm x 2
x !2
lm 5
x !2
3 lm
x !2 x
= ( 2)3 + 2 ( 2) 2 1
5 3 ( 2)
lm 1
x !2
= 1 11
Si hacemos f (x) = 2x 2 3x + 4, entonces f (5) = 39. ( En otras palabras, habríamos obtenido
la respuesta correcta.) sustituyendo x con 5. De manera análoga, la sustitución directa da la
respuesta correcta en el inciso b). Las funciones del ejemploanterior son un polinomio y una
función racional, respectivamente, y el uso semejante de las leyes de los límites prueba que
la sustitución directa siempre funciona para ese tipo de funciones. Expresamos este hecho del
modo siguiente:
Ejemplo .10
Si f es un polinomio o una función racional y a está en el dominio de f,entonces:
Encuentre lm
x !1
x 2 1
x 1
lmf (x) = f (a)
x!a
Solución: Sea f (x) = (x2 1)
. No podemos hallar el límite al sustituir x = 1 porque f (1) no
(x 1)
está denido. Tampoco podemos aplicar la ley del cociente porque el límite del denominador es
0. En lugar de ello, necesitamos algo de álgebra preliminar. Factorizamos el número como una
diferencia de cuadrados:
(x 2 1) (x 1) (x + 1)
lm =
x !1 (x 1) (x 1)
El numerador y el denominador tienen un factor común de x 1. Cuando tomamos el límite
cuando x tiende a 1, tenemos x 6= 1, por tanto, x 1 6= 0. Por consiguiente, podemos cancelar
el factor común y calcular el límite como sigue:
(x 2 1)
lm
x !1 (x 1)
= lm
x !1
(x 1) (x + 1)
(x 1)
= lm
x !1
(x + 1)
= 1 + 1 = 2
Arenas A. 28 Camargo B.

3.1 Límites laterales Cálculo Diferencial
Ejemplo .11 Encuentre lm g (x), donde
x !1
g (x) =
x + 1 si x 6= 1
si x = 1
Solución: En este caso, g está denida en x = 1 y g (1) = , pero el valor de un límite cuando
x tiende a 1 no depende del valor de la función en 1. Como g (x) = x + 1 para x 6= 1, tenemos
lm g (x) = lm (x + 1) = 2
x !1 x !1
Note que los valores de las funciones de los dos ejemplos anteriores son idénticos, excepto
cuando x = 1 , de modo que tienen el mismo límite cuando x tiende a 1.
(3 + h) 2 9
Ejemplo .12 Evalúe lm
h !0 h
Solución: Si denimos
F (h) = (3 + h)2 9
h
entonces, como en el ejemplo 3, no podemos calcular lm F (h) haciendo h = 0, ya que F (0)
h !0
no está denido. Pero si simplicamos F (h) algebraicamente, encontramos
F (h) = (9 + 6h + h2 ) 9
= 6 + h2
= 6 + h
h
h
(Recuerde que sólo consideramos h 6= 0 cuando se hace que h tienda a 0.) De este modo,
(3 + h) 2 9
lm
h !0 h
= lm
h !0
(6 + h) = 6
Ejemplo .13 Encuentre lm
t !0
p
t2 + 9 3
t 2
Solución: No podemos aplicar la ley del cociente de inmediato, puesto que el límite del denominador
es 0. En el presente caso, el álgebra preliminar conciste en la racionalización del
numerador:
p
t2 + 9 3
lm
t !0
p
t 2
t2 + 9 3
= lm
t !0 t 2
= lm
t !0
p
t2 + 9 + 3
p
t2 + 9 + 3
(t 2
= lm p + 9) 9
t !0 t 2 + 9 + 3 = lm
t 2
= lm
t !0
1
p
t2 + 9 + 3
=
1
3 + 3 = 1 6
t !0t 2
t 2
p
t 2 + 9 + 3
= lm q
lm (t 2 + 9) + 3
t !0
t !0
1
Arenas A. 29 Camargo B.

3.1 Límites laterales Cálculo Diferencial
Este cálculo conrma lo que se conjeturó en el ejemplo 2 de la sección 2.
Teorema .1 lmf (x) = L si y sólo si lm
x!a x!a
f (x) = L = lm f (x) = L
x!a+
Teorema .2 Si f (x) g (x), cuando x está cerca de a(excepto posiblemente en a), y los
límites de f y g existen cuando x tiende a a, entonces
lmf (x) lm g (x)
x!a x!a
Teorema .3 (Teorema de la compresíon) Si f (x) g (x) h (x), cuando x está cerca de
a(excepto quizá en a), y
lmf (x) = lm h (x) = L
x!a x!a
entonces:
lm g (x) = L
x!a
EJERCICIOS .1
I Dado que:
lmf (x) = 3; lm g (x) = 0
x!a x!a
lm f (x) = 8
x!a
encuentre los límites que existan. Si el
límite no existe, explique por qué:
1. lm
x!a
f (x)
h (x)
2. lm
x!a
f (x)
g (x)
y
3. lm
x!a
[f (x)] 2
4. lm
x!a
[f (x)] 2
5. lm
x!a
g (x)
f (x)
2f (x)
6. lm
x!a h (x) f (x)
7. lm
x!a
[f (x) + h (x)]
8. lm
x!a
3 p h (x)
Se dan las grácas de f y g. Úselas para evaluar cada límite, si existe. Si el límite no existe,
explique por qué:
Arenas A. 30 Camargo B.

3.1 Límites laterales Cálculo Diferencial
1. lm
x!2
[f (x) + g (x)]
2. lm
x!1
[f (x) + h (x)]
3. lm
x!0
[f (x) + h (x)]
4. lm
x! 1
f (x)
g (x)
5. lm
x!2
x 3 f (x)
6. lm
x!1
p
3 + f (x)
III Evalúe el límite y justique cada paso
indicando la(s) leye(s) de los límites
apropiada(s):
1. lm
x !4
(5x 2 2x + 3)
2. lm (t +
x ! 2 1)9 (t 2 1)
p
3. lm 16 x
2
x!4
x 2
4. lm
x ! 1x 2 + 4x 3
p
5. lm x3 + 2x + 7
x! 1
IV
a). ¿Qué está mal en la siguiente
ecuación
x 2 + x 6
x 2
= x + 3
b). En vista del inciso a), explique por
qué la ecuación:
x 2 + x 6
lm
x!2 x 2
es correcta.
= lm
x!2
(x + 3)
V Evalúe el límite, si existe:
1.
x 2 x + 12
lm
x! 3 x + 3
2.
x 2 x 12
lm
x! 3 x + 3
3.
(h 5) 2 25
lm
h!0 h
4.
x 3 1
lm
x!1 x 2 1
5.
9 t
lm p
t!9 3 t
6.
x 2 + x 2
lm
x!1 x 2 3x + 2
7. lm
t !0
p 2 t
p
2
t
8. lm
x !2
x 4 16
x 2
1
9. lm
x !1 x 1
2
x 2 1
(3 + h) 1 3 1
10. lm
h!0 h
11. Aplique el teorema de la compresión
para demostrar que lm x 2 cos x =
x!10
0. Ilustre gracando las funciones
f (x) = x 2 ; g (x) = x 2 cos 20x
y h (x) = x 2 en la misma pantalla.
Arenas A. 31 Camargo B.

3.1 Límites laterales Cálculo Diferencial
12. Aplique el teorema de la compresión
para demostrar que
p
lm x3 + x 2 sin = 0. Ilustre
x
vi. lm
x!10
gracando las funciones f; g y h(en
la notación de ese teorema)en la misma
pantalla.
lm i. lm
x !1
x ! 1
ii.
!
x = 0
ii.
jx 2j
iii.
x !2 x 2
1 1
x jxj
1
ii.
jxj
8
< x si x < 0
h (x) = x 2 si 0 < x 2
:
8 x si x > 2
i. lm
x !n
ii.
lm h (x)
x !0
lm h (x)
x !1
lm h (x)
x !2
13. Si 1 f (x) x 2 +2x+2, encuentre
14. Si 3x f (x) x 3 + 2 para 0 x
2, evalúe lm
x !1
f (x)
15. Pruebe que lm
x !0
x 4 cos 2 x = 0
p sin
16. Pruebe que lm xe
x !0 +
VI Encuentre el límite, si existe. Si no lo
hay, explique por qué:
17. lm jx 4j
x ! 4
18. lm
19. lm
x !0
20. lm
x !0 + 1
x
21. Sea
22. Evalúe cada uno de los límites siguientes,
si existe:
i. lm
x !0 +h
(x)
ii.
iii.
iv.
v. lm
x !2
h (x)
b) Trace la gráca de h.
25. Sea F (x) = x2 1
jx 1j
a) Encuentre:
+F
(x)
lm
x !1 +F
(x)
b) ¿Existe lm
x !1
F (x)
c) Trace la gráca de F .
26. Si el simbolo bc denota la función
mayor entero denida en el ejemplo
9, evalúe:
i. lm bxc
x ! 2 +
lm bxc
x ! 2
lm bxc
x ! 2;4
b) Si n es un entero, evalúe:
i. lm
x ! n
bxc
lm bxc
x ! n +
c) ¿Para cúales valores de a existe lm bxc
x ! a
27. Sea f (x) = x bxc
a) Trace la gráca de f.
b) Si n es un entero, evalúe:
f(x)
lm
x !n +f(x)
c) ¿Para cuáles valores de a existe
lm
x !a f(x)
28. Si f (x) = bxc + b xc, demuestre
que lm f(x) existe pero no es igual
x !2
a f (2).
Arenas A. 32 Camargo B.

3.1 Límites laterales Cálculo Diferencial
29. En la teoria de la rela tividad, la formula
de la contracción de lorenz
L = L 0
r1
para todo número a en el dominio de
r.
v 2
32. Muestre por medio de un ejemplo
que lm [f (x) + g (x)] pùede
c 2
x!a
exixtir aunque lm f (x) ni
x !a
lm g (x) existan.
x !a
33. Muestre por medio de un ejemplo que
lm [f (x) g (x)] pùede exixtir aunque
x!a
lm f (x) ni lm g (x) existan.
x !a x !a
34. ¿Hay un número a tal que
3x 2 + ax + a + 3
lm
x! 2 x 2 + x 2
exista Si es así, encuentre los valores de a
y del límite.
lm r (x) = r (a),
x !a
expresa la longitud L de un objeto como
función de su velocidad v respecto a un observador,
donde L 0 es la longitud del objeto
en reposo y c es la velocidad de la luz.
Encuentre lm
v !c
L e interprete el resultado.¿Por
qué se necesita un límite en la
izquierda
30. Si p es un polinomio, demestrue que
lm p (x) = p (a).
x !a
31. Si r es una función racional, aplique
el resultado del ejercicio 35 para
demostrar que
Arenas A. 33 Camargo B.

Cálculo Diferencial
4. Continuidad
El término continuo tiene el mismo sentido en matemáticas que en el lenguaje cotidiano. Decir
que una función f es continua en x = c signica que su gráca no sufre interrupción en c, que
ni se rompe ni tiene saltos o huecos. Por ejemplo, (ver fig) muestra tres valores de x en los que
f no es continua. En los demás puntos del intervalo (a; b) la gráca no se interrumpe y decimos
que f es continua en ellos. Así pues, la continuidad de una función en x = c se destruye por
alguna de estas causas:
1. La función no está denida en x = c.
2. El límite de f (x) en x = c no existe.
3. El límite de f (x) en x = c existe, pero no coincide con f (c).
Todo ello conduce a la siguiente denición.
Denición .12 ( continuidad ) Continuidad en un punto: Una función f se dice continua en
c si se verican las condiciones:
1. f (c) está denido.
2. lm f (x) existe.
x !c
3. lm f (x) = f (c).
x !c
Continuidad en un intervalo abierto: Una función f se dice continua en un intervalo (a; b) si
lo es en todo los puntos de ese intervalo.
Ejemplo .14 Determinar si las siguientes funciones son continuas en el intervalo dado.
1. f (x) = 1 x
; (0; 1)
2. f (x) = x2 1
; (0; 2)
x 1
3. f (x) = x 3 1; ( 1; 1)
Solución: Sus grácas se recogen en la gura 2.16.
1. Puesto que f es racional y su denominador no se anula en el intervalo (0; 1), podemos
aplicar el Teorema 2.5 que nos garantiza su continuidad en (0; 1) :
2. Al no estar denida f en x = 1, concluimos que esdiscontinua en x = 1. Es continua en
todos los demás valores de x en el intervalo (0; 2).
3. Como las funciones polinómicas están denidas sobre toda la recta real, se puede aplicar
el Teorema 2.4 para llegar a la conclusión de que f es continua en ( 1; 1).
Arenas A. 34 Camargo B.

Cálculo Diferencial
Nota .3 En la parte b) del ejemplo precedente, la discontinuidad en x = 1 es evitable. Más
concretamente, bastaría denir f (1) = 2 para obtener con ello una función continua ya en
todo el intervalo (0; 2).
y = x 2
x
y = x2 1
x 1
y = 1 x
Denición .13 ( continuidad en un intervalo cerrado) una función f es continua en el intervalo
cerrado [a; b] si es continua en el intervalo abierto (a; b) y ademas
lm
x !a +f
(x) = f (a) y lm
x !b
f (x) = f (b)
La función f se dice que es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.
Ejemplo .15 Discutir la continuidad de
5 x if 1 x 2
g (x) =
x 2 1 if 2 < x 3
Solución: Por la sección anterior sabemos que los polinomios 5 x y x 2 1 son continuos
para todo x real. Luego para ver que g es continua en [ 1; 3] basta estudiar el comportamiento
de g en x = 2. Tomando laterales para x = 2, vemos que
lm
x !2
g (x) =
lm
x !2
(5 x) = 3 (por la izquierda)
y
lm
x !2 +g
(x) = lm (x2 1) = 3 (por la derecha)
x !2 +
Arenas A. 35 Camargo B.

4.1 Propiedades de la continuidad Cálculo Diferencial
Como esos dos límites coinciden, el Teorema 2.8 prmite concluir que
lm g (x) = g (2) = 3
x !2
Luego g es continua en x = 2, y en consecuencia en el intervalo [
en la gura anterior.
1; 3]. Su gráca se presenta
4.1. Propiedades de la continuidad
En la sección anterior analizamos varias propiedades de los límites. Cada una de ellas proporciona
una propiedad asociada para la continuidad de una función.
Teorema .4 Propiedades de las funciones continuas: Si b es un número real y f, g continuas
en x = c, también son continuas en c, las funciones:
1. Múltiplo escalar:bf.
2. Suma y diferencia :f g.
3. Producto:fg.
4. Cociente: f , si g (c) 6= 0.
g
Resumimos a continuación algunos tipos comunes de funciones que son continuas en todo punto
de su dominio.
1. Funciones polinómicas: p (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0
2. Funciones racionales: r (x) = p (x) ; q (x) 6= 0
q (x)
3. Funciones radicales(o raices): f (x) = np x
Este resumen, junto con el Teorema 2.9, permiten probar que una gran cantidad de funciones
elementales son continuas en todos los puntos de sus dominios. A titulo de ejemplo, la función
siguiente es continua en todo su dominio:
f (x) = x2 + 1
p x
El próximo Teorema, demostrará la continuidad de una función compuesta , tal como f (x) =
p
x2 + 1.
Teorema .5 (Continuidad de una función compuesta ): Si g es continua en c y f lo es en g (c),
la función compuesta dada por f = g (x) = f (g (x)) es continua en c.
Nota .4 Obsérvese que, como consecuencia del teorema, si f y gsatisfacen las condiciones
impuestas, podemos determinar el límite f (g (x)), cuando x tiende a c, así:
lm f (g (x)) = f( lm g(x)) = f(g(c))
x !c x !c
Arenas A. 36 Camargo B.

4.1 Propiedades de la continuidad Cálculo Diferencial
Ejemplo .16 Hallar los intervalos en los que las tres funciones de la gura son continuas.
y = p 1 x 2 y =
1
p
1 x
2 y = jx 2 1j
Solución:
1. La función f (x) = p 1 x 2 es continua en el intervalo cerrado[ 1; 1].
2. La función f (x) = 1 p
1 x 2
es continua en el intervalo abierto ( 1; 1).(Notese que f está
sin denir en todo x tal que [x] 1.)
3. En x = 1, los límites laterales son cero. Así pues, f (x) = [x 2 1] es continua en toda
recta real, o sea en el intervalo ( 1; 1).
Teorema .6 (El teorema del valor intermedio): Si f es continua en [a; b] y N es cualquier
número entre f (a) y f (b), existe al menos un número c en [a; b] para el que f (c) = N.
El teorema del valor intermedio arma que una función continua toma todos los valores intermedios
entre los valores de la función f(a) y f(b): Este hecho se ilustra en la siguiente gura.
Nótese que el valor N se puede tomar una vez [como en la primera gura] o más de una vez
[como en la segunda gura].
En términos geométricos, el teorema dice que si se da cualquier recta horizontal y = N entre
y = f(a) y y = f(b) [ver gura siguiente], entonces la gráca de f no puede saltar sobre la
recta. Debe intersecar y = N en alguna parte. Es importante que la función f a la cual se reere
Arenas A. 37 Camargo B.

4.1 Propiedades de la continuidad Cálculo Diferencial
el teorema del valor intermedio sea continua. En general, el teorema del valor intermedio no se
cumple para funciones discontinuas.
EJERCICIOS .2 : Realice la gráca de
cada función y halle los puntos de discontinuidad
(si los hay).
1. f (x) = x3
2
2. f (x) = x2 1
x
3. f (x) = x2 1
x + 1
4. f (x) = 1
x 2 4
x si x < 1
5. f (x) =
2x 1 si x > 1
6. f (x) = bxc
2 + x
Hallar las discontinuidades (si las
hay) de la función dada.¿cúales son
evitables
7. f (x) = x 2 2x + 1
8. f (x) = 1
x 1
9. f (x) = x
x 2 + 1
10. f (x) =
x + 2
x 2 3x 10
11. f (x) = 1
x 2 + 1
12. f (x) = x
x 2 1
13. f (x) = x 3
x 2 9
14. f (x) = x 1
x 2 + x 2
x x 1
15. f (x) =
x 2 x > 1
2x + 3 x < 1
16. f (x) =
x 2 x 1
x
17. f (x) =
+ 1 x 2
2
3 x x > 2
2x x 2
18. f (x) =
x 2 4x + 1 x > 2
19. f (x) =
[x + 2]
x + 2
[x 3]
20. f (x) =
x 3
[x 2] + 3 x < 0
21. f (x) =
x + 5 x 0
3 + x x 2
22. f (x) =
x 2 + 1 x > 2
23. f (x) = kx 1k
24. f (x) = x kxk
Arenas A. 38 Camargo B.

4.1 Propiedades de la continuidad Cálculo Diferencial
Discutir la continuidad de la función
compuesta h (x) = f (g (x)).
25. f (x) = x 2 ; g (x) = x 1
26. f (x) = 1 p x
; g (x) = x 1
27. f (x) = 1
x 1 ; g (x) = x2 + 5
28. f (x) = p x; g (x) = x 2
29. f (x) = 1 x ; g (x) = 1
x 1
30. f (x) = 1 p x
; g (x) = 1 x
Esbozar la gráca de la función dada
para localizar sus puntos de discontinuidad.
31. f (x) = x2 16
x 4
32. f (x) = x3 8
x 2
33. f (x) = [x2 1]
x
34. f (x) = kxk x
Graque la función y halle el intervalo
(o intervalos) donde la función es
continua
35. f (x) = x2
x 2 36
36. f (x) = x p x + 3
37. f (x) = x
x 2 + 1
38. f (x) = x + 1 p x
Demostrar que la función dada tiene un
cero en el punto indicado.
39. f( x) = x 2 4x + 3 ; [2; 4]
40. f (x) = x 3 + 3x 2 ; [0; 1]
Usar el teorema del valor intermedio
para aproximar el cero de la función
dada en el intervalo [0; 1]. a) Empezar
localizando el cero en un subintervalo
de longitud 0; 1. b) Renar la
aproximación localizando el cero en
un subintervalo de longitud 0; 01.
41. f (x) = x 3 + x 1
42. f (x) = x 3 + 3x 2
Comprobar que es aplicable el teorema
del valor intermedio en el intervalo
que se indica y hallar el valor c
garantizado pór el.
43. f (x) = x 2 +x 1; [0; 5] ; f (c) =
11
44. f (x) = x 2 6x+8; [0; 3] ; f (c) =
0
45. f (x) = x 3 x 2 + x
2; [0; 3] ; f (c) = 4
46. f (x) = x2 + x 5
x 1 ; 2 ; 4 ; f (c) =
6
47. Hallar un valor para la constante a
de modo que la siguiente función sea
continua en toda la recta real.
x
3
x 2
f (x) =
ax 2 x > 2
48. Hallar valores para las constantes a y
b de modo que la siguiente función
sea continua en toda la recta real.
8
<
f (x) =
:
2 x 1
ax + b 1 < x < 3
2 x 3
49. ¿Es continua en x = 1 la función
f (x) = p 1 x 2 Razonar la respuesta.
Arenas A. 39 Camargo B.

4.1 Propiedades de la continuidad Cálculo Diferencial
50. Un convenio laboral garantiza un incremento
salarial del 9 por 100 durante
5 años. Para un salario inicial de
$28500, el salario viene dado por
de una pequeña empresa es:
t + 2
N (t) = 25 2
2
t
S = 28500 (1; 09) btc
donde t = 0 corresponde a 1985. Esbozar
una gráca de la fución y discutir la
continuidad.
51. Una conferencia telefónica interurbana
cuesta 104 pesetas los dos
primeros minutos y 36 pesetas cada
minuto adicional o fracción. Usar la
función parte entera para escribir el
coste C de una llamada en términos
del tiempo t (en minutos). Dibujar la
gráca de esa función y discutir su
continuidad.
52. El número de unidades en el almacén
donde el tiempo t se mide en meses. Esbozar
la gráca de la función y discutir la
continuidad. ¿Cada cuánto tiempo debe reponer
su mercancía esa empresa
53. Con ayuda de una calculadora gráca,
representar la función f y determinar
si es continua en toda recta real.
2x 4 x 3
f (x) =
x 2 2x x > 3
54. Probar que si f es continua y no tiene
ceros en [a; b], entonces es:
f (x) > 0 para todo x en [a; b]
y
f (x) < 0 para todo x en [a; b]
4.1.1. Límites innitos
En esta función analizamos otra causa importante de inexistencia de límite. Empezaremos por
un ejemplo. Sea la función:
f (x) = 3
x 2
La tabla y la gura que se observan a continuación nos dicen que la función f (x) decrece sin
tope cuando x tiende a 2 (2 ) por la izquierda, y crece sin tope cuando x tiende a 2 por la
derecha (2 + ). Simbolicamente, escribimos
lm
x !2
3
x 2 = 1 y lm 3
x !2 + x 2 = 1
x tiende a 2 por la izquierda
=)
x tiende a 2 por la derecha
(=
x 1 1; 5 1; 9 1; 99 1; 999 2 2; 001 2; 01 2; 1 2; 5 3; 0
f(x) 3 6 30 300 3000 3000 300 30 6 3
f (x) Decrece sin tope
=)
f (x) Crece sin tope
(=
Arenas A. 40 Camargo B.

4.1 Propiedades de la continuidad Cálculo Diferencial
y = 3
x 2
Denición .14 (Límites innitos)
La armación
lm f (x) = 1
x !c
signica que f (x) crece sintope cuando x tiende a c, la armación
lm f (x) = 1
x !c
signica que f (x) decrece sin tope cuando x tiende a c.
f(x) = 1 x 2
El signo de igualdad en lm
x !c
f (x) = 1 ¡no signica que el límite existe!. Por el contrario,
nos explica cómo falla la existencia del límite, poniendo de maniesto el comportamiento no
acotado de f (x) cuando x tiende a c. Así pues, al decir el límite de f (x) es innito cuando
x tiende a c , queremos decir de hecho que el límite no existe y f tiene una discontinuidad
innita en x = c . Armar que crece sin tope cuando signica que para cada existe
un intervalo abierto , que contiene a , tal que para todo en (distinto de ), como ilustra la
gura 2.24. Una interpretación similar dene lo que se entiende al decir que decrece sin tope.
Arenas A. 41 Camargo B.

4.1 Propiedades de la continuidad Cálculo Diferencial
Los límites infnitos por la izquierda y por la derecha se denen análogamente. Los cuatro
posibles límites laterales innitos son:
lm f (x) = 1 lm f (x) = 1
x !c
x !c
lm
x !c +f
(x) = 1 lm
x !c +f
(x) = 1
Límites innitos por la izquierda
Límites innitos por la derecha
Si f (x) ! 1 (o si f (x) ! 1 )por la izquierda o por la derecha, decimos que f tiene en
x = c una discontinuidad innita.
Ejemplo .17 Usando la guras hallar el límite de cada función cuando x
lados.
! 1 por ambos
Solución:
1. lm
x !1
1
x 1 = 1 y lm 3
x !1 + x 1 = 1
3
2. lm
x !2
2
= 1 y El límite por ambos lados es 1
(x 1)
3. lm
x !1
1
x 1 = 1 y lm 1
x !1 + x 1 = 1
1
4. lm
x !1
2
= 1 y El límite por ambos lados es 1
(x 1)
f (x) = 1
x 1 f (x) = 3
(x 1) 2 f (x) = 1
x 1 f (x) = 1
(x 1) 2
Si fuese posible extender las grácas de la gura 2.25 hacia el innito, veríamos que son más
próximas a la recta vertical x = 1. Llamaremos a esta recta una asíntota vertical de la gráca
de f.
Asintota vertical Si f (x) tiende hacia +1 (o 1) cuando x tiende a c por la izquierda o
por la derecha, diremos que la recta x = c es una asintota vertical de la gráca de f.
Teorema .7 : Asintotas verticales: Sean f y g continuas en un intervalo abierto conteniendo a
c. Si f(c) 6= 0, g(c) = 0, y existe uun intervalo abierto conteniendo a c tal queg(x) 6= 0 para
todo x 6= c en el intervalo, entonces la gráca de la función dada por:
Arenas A. 42 Camargo B.

4.1 Propiedades de la continuidad Cálculo Diferencial
tiene una asíntota vertical en x = c.
h (x) = f (x)
g (x)
Ejemplo .18 Determinar todas las asíntotas verticales de las grácas de estas funciones:
1. f (x) =
1
2 (x + 1)
2. f (x) = x2 + 1
x 2 1
Solución:
1. Cuando x = 1, el denominador es cero y el numerador no es cero. Por tanto, el Teorema
2.12 nos dice que x = 1 es una asíntota vertical, como lo conrma la gura 2.26 a).
2. Factorizando el denominador como (x 2 1) = (x 1) (x + 1) , vemos que el denominador
es cero en x = 1 y en x = 1. Además, como el numerador no es cero en esos dos
puntos, el Teorema 2.12 vuelve a decir que la gráca de f tiene las dos asíntotas verticales
que myestra la gura 2.2 b).
f (x) =
1
2 (x + 1)
f (x) = x2 + 1
x 2 1
El Teorema 2.12 requiere que el numerador no se anule en x = c. Si tanto el denominador como
el numerador se anulan en x = c, estamos ante una forma indeterminada 0 y no podemos conocer
el comportamiento límite sin más investigación. Ahora bien, en el caso en que numerador
0
y denominador sean polinomios, si podemos calcular ese límite. Lo conseguiremos cancelando
factores comunes, como enseña el proximo ejemplo.
Ejemplo .19 Hallar las asíntotas verticales de la gráca de
f (x) = x2 + 2x 8
x 2 4
Arenas A. 43 Camargo B.

4.1 Propiedades de la continuidad Cálculo Diferencial
Solución: Factorizando numerador y denominador, tenemos:
f (x) = x2 + 2x 8
x 2 4
=
(x + 4) (x 2)
(x + 2) (x 2)
=
(x + 4)
(x + 2) ; x 6= 2
(x + 4)
Salvo en x = 2, la gráca de f coincide con la de g = (x) = . Asi pues, aplicando el
(x + 2)
Teorema 2.12 a g deducimos que hay una asíntota vertical en x = 2, como se ilustra en la
gura 2.27. Observese que x = 2 no es una asíntota vertical.
f(x) = x2 + 2x 8
x 2 4
Ya que la gráca de fen el ejemplo 3 tiene una asíntota vertical en x = 2, sabemos que el
límite cuando x ! 2 por la derecha (o por la izquierda) es 1 o 1. Pero, sin mirar a la
gráca, ¿como podemos calcular los siguientes límites
lm
x !2
x 2 + 2x 8
x 2 4
= 1 y lm
x !2 + x 2 + 2x 8
x 2 4
= 1
Una vez cocnocida la gráca tiene uuna asíntota verticalen un valor particular de x, sugerimos
plantearse la cuestión de si f (x) va hacia un innito positivo o negativo, buscando la respuesta
en el método gráco esbozado en el proximo ejemplo.
Ejemplo .20 Hallar los siguientes límites:
Solución:
lm
x !1
x 2
3x
x 1
y
x 2 3x
lm
x !1 + x 1
1. Factorizamos, cancelando cualquier factor común, numerador y denominador.
f (x) = x2 3x
x 1
=
x (x 3)
x 1
2. Los restantes factores del numerador dan las x-intersecciones de la función. En este caso,
son x = 0 y x = 3.
Arenas A. 44 Camargo B.

4.1 Propiedades de la continuidad Cálculo Diferencial
3. Los restantes factores del denominador dan las asíntotas verticales. En este caso hay una
en x = 1.
4. Determinar unos pocos puntos adicionales de la gráca, escogiendo al menos uno entre
cada intersección y asíntota. Entonces anotamos la información obtenida en los primeros
cuatro pasos, como muestra
1
x 2 2 4
2
10
5
4
f (x)
2
2 3
3
5. Finalmente, completamos el análisis y concluimos que:
x 2 3x
lm
x !1 x 1 = 1
y
x 2 3x
lm
x !1 + x 1 = 1
Terminamos esta sección con un teorema acerca de límites de sumas, productos y cocientes de
funciones.
y = x2 3x
x 1
Teorema .8 Propiedades de los límites innitos
Si c, L son números reales y f; g son funciones tales que
lm f (x) = 1 y lm f (x) = L
x !c x !c
entonces las siguientes propiedades son validas:
1. Suma o diferencia: lm [f (x) g (x)] = 1
x !c
2. Producto: lm [f (x) g (x)] = 1; L < 0
x !c
g (x)
3. Cociente: lm
x !c f (x) = 0
Arenas A. 45 Camargo B.

4.1 Propiedades de la continuidad Cálculo Diferencial
Propiedades similares son válidas para límites laterales y para funciones para las cuales el límite
de f (x) cuando x tiende a c es 1.
EJERCICIOS .3 : Determinar si f (x) tiende hacia 1 o 1 cuando x tiende a 2 por la
izquierda y por la derecha.
1. f (x) =
1
(x + 2) 2 y =
1
(x + 2) 2
2. f (x) = 1
x + 2
y = 1
x + 2
: Comprobar si f (x) tiende a 1 o a 1 cuando x tiende a 3 por la izquierda y por la derecha.
3. f (x) = 1
x 2 9
4. f (x) = x3
x 2 9
5. f (x) = x
x 2 9
6. f (x) = x2
x 2 9
: Hallar la asíntotas verticales de la función dada.
Arenas A. 46 Camargo B.

4.1 Propiedades de la continuidad Cálculo Diferencial
7. f (x) = x2 1
x 2 x 2
8. f (x) = x3
x 2 1
y = x2 1
x 2 x 2
y =
x3
x 2 1
: Hallar las asíntotas verticales (si las hay) de cada función.
9. f (x) = 1 x 2
10. f (x) =
x 2
x 2 + x 2
11. f (x) = x3
x 2 4
4
12. f (x) = 1
x 2
x
13. f (x) =
x 2 + x 2
4
14. f (x) =
(x 2) 3
15. f (x) = 2 + x
x 2 + 4
4x
16. f (x) =
x 2 + 4
2
17. f (x) =
(x 2) 2
Arenas A. 47 Camargo B.

4.1 Propiedades de la continuidad Cálculo Diferencial
18. f (x) =
1
(x + 3) 4
: Determinar si la función dada tiene una asíntota vertical o una discontinuidad evitable en
x = 1.
19. f (x) = x2 1
x 2 + 1
20. f (x) = x2 + 1
x + 1
21. f (x) = x2 6x 7
x + 1
22. f (x) = x 1
x + 1
: Calcular el límite propuesto
23. lm
x !2 + x 3
x 2
24. lm
x !4 + x 2
25. lm
x !0
26. lm
x !1 +
x 16
1 + 1
x
2x
1 x
27. lm
x 2 + 16
x !4
x 2
28. lm
x !0
x 2 1
x
29. lm
x !1
x 2 x
(x 2 + 1) (x 1)
x 2 + x + 1
30. lm
x !1 + x 3 1
x 3 1
31. lm
x !1 x 2 + x + 1
32. lm
x !0
x 2
x 3
2x
: Calcular el límite que se indica(si existe), siendo
33. lm
x !4
f (x)
f (x) =
1
(x 4) 2 y g (x) = x 2 5x
Arenas A. 48 Camargo B.

4.1 Propiedades de la continuidad Cálculo Diferencial
34. lm [f (x) g (x)]
x !4
f (x)
35. lm
x !4 g (x)
36. lm g (x)
x !4
37. lm [f (x) g (x)]
x !4
38. lm
x !4
g (x)
f (x)
39. El coste en dólares de reducir en un p por ciento la polución del vertido de una central
térmica que quema carbón es
C = 80000p
100 p ; 0 p < 100
a) Calcular el coste de reducción de un 15 por 100.
b) Idem de un 50 por 100.
c) Idem de un 90 por 100.
d) Calcular el coste C para x ! 100 .
40. El coste de millones de dólares para el gobierno de aprehender un x por 100 de cierta
droga ilegal, a su entrada por las fronteras, viene dado por
C =
528x
100 x ; 0 x < 100
a) Calcular el coste de aprehender el 25 por 100.
b) Idem para el 50 por 100.
c) Idem para el 75 por 100.
d) Hallar el límite de C cuando x ! 100 .
: Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de cada curva. Compruebe su respuesta graficando
la curva y estimando las asíntotas.
41. y = x2 + 4
x 2 1
x 9
42. y = p
4x2 + 3x + 2
43. Haga corresponder cada función dada en los incisos a) a f) con su gráca (marcada del I
al VI), dé las razones para las elecciones que haga.
a) y = 1
x 1
b) y = x
x 1
Arenas A. 49 Camargo B.

4.1 Propiedades de la continuidad Cálculo Diferencial
1
c) y =
(x 1) 2
d) y = 1
x 2 1
x
e) y =
(x 1) 2
f ) y = x
x 2 1
I. y = 1
x 1
1. y = x
x 1
y = 1
x 1
2 a) y =
1
y =
x
x 1
(x 1) 2 y =
1
(x 1) 2
Arenas A. 50 Camargo B.

4.1 Propiedades de la continuidad Cálculo Diferencial
3 y = 1
x 2 1
4 y =
x
y = 1
x 2 1
(x 1) 2 y =
5 y = x
x 2 1
x
(x 1) 2
y =
x
x 2 1
Arenas A. 51 Camargo B.

Cálculo Diferencial
UNIDAD 3
5. Derivada y Continuidad.
5.1. Recta tengente y recta normal.
Idea intuitiva de recta tangente. Todo el mundo tiene una idea clara de lo que es la recta
tangente a una circunferencias en uno de sus puntos, pero si tratamos de generalizar esa idea a
otras curvas nos encontramos con cuestiones que esa idea no resuelve.
-¿Puede la recta tangente cortar a la curva en más de un punto
-¿Puede atravesar la recta tangente a la curva por el punto de tangencia
Denición .15 Se llama tangente a una curva en un punto P a la recta que pasa por P con la
misma dirección que la curva.
En un punto de inexión la tangente atraviesa la curva. Pudiéndose distinguir tres tipos
de puntos de inexión: De tangente vertical, horizontal y oblicua.
En un punto anguloso, de desvío brusco o de retroceso, la curva o bien no tiene tangente o la
tangente es vertical ( ver gura de recta vertical). La tangente no puede ser oblicua, ya que este
Arenas A. 52 Camargo B.

5.1 Recta tengente y recta normal. Cálculo Diferencial
caso la correspondencia no sería función.
En los puntos de discontinuidad no se dene la recta tangente
El valor aproximado de la pendiente de la recta tan-
La pendiente de la recta tangente.
gente sería:
Y su valor exacto:
tan w f (x) f (x 0)
x x 0
tan w lm
x !x 0
f (x) f (x 0 )
x x 0
5.1.1. Denición de derivada.
Denición .16
es nito.
Se llama derivada de la función f en el punto x 0 al siguiente límite si existe y
f (x) f (x 0 )
lm
x !x 0 x x 0
Observaciones:
Arenas A. 53 Camargo B.

5.1 Recta tengente y recta normal. Cálculo Diferencial
Cuando dicho límite sea innito se dice que la función no es derivable, aunque tiene una
derivada innita. (grácamente signica que la recta tangente en ese punto es vertical)
Para que la derivada exista, la función tiene que estar denida en un entorno del punto.
No olvidar que la derivada es un límite, aunque buscaremos reglas para calcular derivadas
sin tener que hacer dicho límite.
A la expresión f (x) f (x 0)
x x 0
, se llama cociente incremental y se expresa de la forma:
f
x = y
x = f (x) f (x 0)
x x 0
Con lo cual la derivada no es más aue el límite del cociente incremental cuando el incremento
de x tiende a cero.
f 0 f (x 0 )
(x 0 ) = lm
x !0 x
Otra forma de la derivada.
De la gura tenemos que :
Llamando x
f 0 (x 0 ) = lm
x !x 0
f (x) f (x 0 )
x x 0
x 0 = h, será x = x 0 + h, con lo cual resulta:
f 0 f (x 0 + h) f (x 0 )
(x 0 ) = lm
h !0 h
Ejemplo .21 Calcular, aplicando la denición en las dos formas, la derivada de la función
f (x) = 3x 2 , en el punto x = 2.
Arenas A. 54 Camargo B.

5.1 Recta tengente y recta normal. Cálculo Diferencial
Solución:
f 0 f (x) f (2)
(2) = lm
x !2 x 2
12
f 0 f (2 + h) f (2)
(2) = lm
h !0 h
= lm
h !0
12 + 12h + 3h 2 12
h
= lm
x !2
3x 2 12
x 2
= lm
x !2
3 (x 2 4)
x 2
= lm
h !0
3 (2 + h) 2 12
h
= lm
h !0
(12 + 12h) = 12 + 0 = 12
= lm
x !x 0
3 (x + 2) (x 2)
x 2
= lm
h !0
3 (4 + 4h h 2 ) 12
h
=
5.1.2. Derivadas laterales.
Si el límite que dene la derivada lo tomamos sólamente por la derecha o por la izquierda,
obtemnemos las derivadas laterales.
Denición .17 Se llaman derivada por la derecha y derivada por la izquierda, respectivamente,
a los siguientes límites, si existen y son nitos:
f 0 (x 0 +) =
f 0 (x 0 ) = lm
x !0
f (x) f (x 0 )
lm
x !0+ x
f (x) f (x 0 )
x
f (x 0 + h) f (x 0 )
= lm
h !0+ h
= lm
h !0
f (x 0 + h) f (x 0 )
h
Para que la función sea derivable las dos derivadas laterales tienen que coincidir.
Ejemplo .22
coordenadas.
Solución:
Calcular las derivadas laterales de la función valor absoluto, en el origen de
y = jxj
f (x) = jxj
f 0 (x 0 +) =
f (x) f (0)
lm
x !0+ x 0
f 0 (x 0 ) = lm
x !0
f (x) f (0)
x 0
jxj
= lm
x !0+
= lm
x !0
x =
jxj
x =
lm
x !0+
lm
x !0
x
x = 1
x
x = 1
Arenas A. 55 Camargo B.

5.1 Recta tengente y recta normal. Cálculo Diferencial
Derivada y continuidad.
Teorema .9 Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto. Sin
embargo, existen funciones que son continuas pero que no son derivables.
Ejemplo .23 Comprobar que la función f (x) = jx 2 4j es continua en el punto x = 2, pero
no es derivable en dicho punto. Comprobar el resultado grácamente. ¿En qué otro punto será
derivable
Solución: f (x) = jx 2
4j
y = jx 2
4j
1. f es continua en x = 2 ; lm f (x) = lm jx 2
x !2 x !2
4j = j0j = 0 = f (0)
2. f no es derivable en x = 2
f (x) f (2)
lm
x !2 x 2
= lm
=
x !2
jx 2
8
><
>:
4j 0
x 2 = 0
jx 2 4j
lm
x !2+
lm
x !2
x 2 = lm
x !2+
4j
jx 2
) lm f(x) 6= lm
x !2+
x 2 = lm
x !2
x !2
f(x)
(x + 2) (x 2)
= 4
x 2
(x + 2) (x 2)
x 2
= 4
Luego la función no es derivable en x = 2.
Ejemplo .24 Comprobar que la función f (x) = 3p x es continua en el punto x = 0, pero no es
derivable en ese punto. Comprueba el resultado grácamente.
Solución:
Arenas A. 56 Camargo B.

5.1 Recta tengente y recta normal. Cálculo Diferencial
1. f es continua en x = 0; lm
x !0
f (x) = lm
x !2
p x = 0 = f (0)
f (x) f (0)
2. f no es derivable en x = 0; lm
x !0 x 0
p 3
x 0
= lm
x !2 x
= 0
f (x) f (2)
0
= lm
x !2 x 2
Luego la función no es derivable en x = 0.
3
= lm
x !2
r x
x 2 =
lm
3
x !2
r
1
x 2 = +1
y = 3p x
Signicado gráco de la derivada: Suavidad.
Ejemplo .25 Estudiese cuál de las tres funciones siguientes atraviesa el origen con más suavidad.
(
sin 1 (
si x 6= 0
x sin 1 (
si x 6= 0
x
f (x) = x g (x) = x h (x) =
2 sin 1 si x 6= 0
x
0 si x = 0
0 si x = 0
0 si x = 0
Solución: La función f no es continua en 0, por lo tanto no lo atraviesa. La función g es continua
en 0, luego lo atraviesa, pero sin suavidad. La función h es continua y derivable en el origen,
luego lo atraviesa con suavidad.
y = sin 1 x
y = sin 1 x
Arenas A. 57 Camargo B.

5.1 Recta tengente y recta normal. Cálculo Diferencial
y = x sin 1 x
y = x sin 1 x
y = x 2 sin 1 x
y = x 2 sin 1 x
La ecuación de la recta tangente La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada
de la función, con lo cual; tenemos que:
de todo resulta la siguiente:
Ecuación de la recta tangente:
9
tan = f 0 (x 0 ) =
tan = y f (x y f (x 0 )
0)
= f 0 (x 0 )
; x x
x x 0
0
y f (x 0 ) = f 0 (x 0 ) (x x 0 )
Ejemplo .26 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = p x en el punto x = 1.
Comprobar el resultado grácamente.
Solución: Tenemos que:
f (x) = p x =) f (1) = 1
f 0 (x) = 1 p x
=) f 0 (1) = 1 2
9
=
; y 1 = 1 2
(x 1) =) y =
x + 1
2
Arenas A. 58 Camargo B.

5.1 Recta tengente y recta normal. Cálculo Diferencial
Ejemplo .27 Demostrar que la recta y =
y = x 3
x es tangente a la cueva dada por la ecuación:
6x 2 + 8x
Hallar el punto de tangencia.
Solución: La pendiente de la recta tangente ha de ser y 0 = 1. Como y 0 = 3x 2 12x + 8.
Resulta, 3x 2 12x + 8 = 1, de donde, 3x 2 12x + 9 = 0, con lo que, simplicando, resulta:
x 2 4x + 3 = 0 =) x = 4 p 16 12
2
= 4 2
2
=
3 =) y = 3 =) P (3; 3)
1 =) y = 3 =) Q (1; 3)
Comprobamos las posibles soluciones:
P (3; 3) =) y + 3 = (x 3) =) y + 3 = x + 3 =) y = x
Q (1; 3) =) y 3 = (x 1) =) y 3 = x + 1 =) y = x + 4 No
Las dos soluciones de la ecuación obedecen a que la curva tiene dos rectas tangentes con la
misma pendiente y 0 = 1, una en el punto P (3; 3) y otra en el punto Q (1; 3).
La ecuación de la recta normal.
Ejemplo .28 Hallar grácamente, un vector perpendicualr al vector ! v = (2; 3) e indicar la
relación que existe entre sus componentes y sus pendientes.
Solución: Tenemos que:
)
!
v = (2; 3)
!
Las componentes se cambian de orden y una de ellas de signo.
v p = ( 3; 2)
Y para las pendientes:
m = 3 2
m 0 = 3 2
9
>=
>; m0 = 1
m
la inversa cambiada de signo.
Proposición .1 Dos rectas perpendiculares tienen pendientes inversas y cambiadas de signo.
Denición .18 Se llama recta normal a una curva, en un punto de la misma, a la pertendicula
a la recta tangente en dicho punto.
La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la función, y la de la recta normal
con su inversa cambiada de signo, con lo cual resulta lo siguiente:
Ecuación de la recta tangente:
y f (x 0 ) = f 0 (x 0 ) (x x 0 )
Ecuación de la recta normal:
y f (x 0 ) =
1
f 0 (x 0 ) (x x 0)
Arenas A. 59 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical. Cuando la derivada se hace
cero en un punto, entonces la tangente es una recta horizontal y = y 0 , y la recta normal es la
recta vertical que pasa por el punto x = x 0 . Cuando la derivada se hace innita en un punto,
entonces la tangente es la recta vertical que pasa por el punto x = x 0 , y la recta horizontal que
pasa por el punto y = y 0 .
5.2. Función derivada y Reglas de derivación.
5.2.1. Función derivada.
Dada una función y = f (x), si hallamos la derivada en cada uno de los puntos en los que sea
derivable se obtiene una nueva función llamada función derivada de la anterior.
Para hallar la fórmula de la función derivada basta con aplicar la denición de derivada en un
punto genérico:
f 0 f (x + h)
(x) = lm
h !0 h
f (x)
f 0 (x) =
lm
4x !0
4f
4x
y 0 =
lm
4x !0
4f
4x = dy
dx
Ejemplo .29 Hallar, aplicando la denición, la derivada de la función: f (x) = x 2
Solución: Podemos aplicar la denición de derivada en cualquiera de sus formas:
f (c)
c
f 0 f (x + h)
(x) = lm
h !0 h
=) lm = x2 + 2hx + h 2 x 2
h !0 h
f 0 f (x)
(c) = lm
x !c x
x 2 c 2
= lm
x !c
x c = lm
f (x)
x !c
(x + c) (x c)
x c
= lm
h !0
(x + h) 2 x 2
h
= lm= (2x + h) = 2x
h !0
= 2c =)
Ejemplo .30 Hallar, aplicando la denición, la derivada de la función: f (x) = p x
Solución: Podemos aplicar la denición de derivada en acualquiera de sus dos formas:
p p
f 0 f (x) f (c) x c ( p p p p
x c) ( x + c)
(c) = lm
= lm = lm
x !c x c x !c x c x !c (x c) ( p x + p c)
x c
= lm
x !c (x c) ( p x + p c) = lm 1
p p = 1
x !c x + c 2 p c =) f 0 (c) = 1
2 p x
p p p p p p
f 0 f (x + h) f (x) x + h x x + h x x + h + x
(c) = lm
= lm
= lm
h !0 h
h !0 h
h !0 h p x + h + p x
x + h x
= lm
h !0h (x + h p x) = lm 1
p p = 1
h !0 x + h + x 2 p c
Arenas A. 60 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
5.2.2. Reglas de derivación.
Derivada y operaciones:
Función Derivada
rf rf 0
f g f 0 g 0
f g f 0 g + fg 0
1 g 0
g g 2
f f 0 g fg 0
g
g 2
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena:
h (x) = g [f (x)] =) h 0 (x) = g 0 [f (x)] f 0 (x) =) dh
dx = dg df
df dx
Derivada de una función recíproca o inversa:
y = f (x) = dx
dy = 1
dy
dx
Ejemplo .31 Derivar las siguientes funciones:
1. y = x p 2
2. y = p 2 x
3. y = e 3x
4. y = 2 3x+1
5. y = x 2 3 x
Solución:
1. y 0 = p 2x p 2 1
2. y 0 = p 2 x
ln
p
2
3. y 0 = 3e 3x
4. y 0 = 3 2 3x+1 ln 2
5. y 0 = 2x3 x x 2 3 x ln 3 = (2x x 2 ln 3) 3 x
Ejemplo .32 Derivar las siguientes funciones:
1. y = (4x + 7x 2 ) 10
2. y = sin 3 2x cos 3x
=) x 0 y = 1 y 0 x
dz
=)
dx = dz dy
dy dx
Arenas A. 61 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
3. y = sin 2 (x + sin x) 2
Solución:
1. y 0 = 10 (4x 3 + 7x 2 ) 9 (12x 2 + 14x)
2. y 0 = 3 sin 2 2x 2 cos 2x cos 3x 3 sin 3 2x sin 3x
3. y 0 = 2 sin (x + sin x) 2 cos (x sin x) 2 2 (x + sin x) (1 + cos x)
Ejemplo .33 Derivar f (x) = ln sin2 3x
x 3
Solución: Aplicamos las propiedades de los logaritmos, antes de derivar, con lo cual,
f (x) = 2 ln (sin 3x)
3 ln x
de donde,
f 0 3 cos 3x
(x) = 2
sin 3x
3
x = 6 cot 3x 3
x
Derivada de funciones con un punto aparte. Supongamos una función denida con un
punto aparte
g (x) si x 6= a
f (x) =
k si x = a
se nos presenta la duda de cuál será el valor de f 0 (a), es decir,
g
f 0 (x) =
0 (x) si x 6= a
si x = a
Derivada de funciones elementales:
Función Derivada Función Derivada
k 0
u 0
u u 0
lg b u
u ln b = u0 lg u b e
u r ru r 1 a u
a u u
0 ln a
p u 0
u
2 p f g
f g g 0 ln f + g f 0
f
u sin u u 0 cos u
np u 0
u
n np cos u
u 0 sin u
u n 1
u 0
u 0
tan u
ln u
cos 2 xu = u0 sec 2 u
u
e u e u u 0 sec u = 1 sin u
cos u cos 2 u = u0 sec u tan u
Arenas A. 62 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Función
csc u = 1
sin u
cot u
arcsin u
arc cos u
arctan u
Derivada
cos u
sin 2 u = u0 csc u cot u
1 + u 2 tanh u
Función Derivada
arcsec u
u 0
u 0
u 0 csc 2 u
u
arccsc u
sin u
u 0
arccot u
1 + u 2
sinh u u 0 cosh u
u 0
cosh u u 0 sinh u
u 0
p
1 u
2
u 0
p
1 u
2
juj p u 2 1
juj p u 2 1
u 0
cosh 2 u
si la función tiene, en la fórmula, un punto aparte, la derivada es ese punto no tiene porqué
ser cero, ya que la derivada depende de los valores que tome la función en los alrededores del
punto. Además, a cualquier función le podemos un punto de su fórmula, sin que por ello se haga
su derivada cero en dicho punto. Por ejemplo,
f (x) = x 2 =
x 2 si x 6= 3
9 si x = 3
=) f 0 (x) = 2x =
2x si x 6= 3
6 si x = 3
o bien:
f (x) = x =
x si x 6= 2
1 si x 6= 2
2 si x = 2 =) f 0 (x) = 1 =
1 si x = 2
Si la función tiene un punto aparte, para derivarla, podemos seguir dos caminos:
1. Aplicar la denición de derivada.
2. Comprobar si es continua, si no es continua no es derivable, y si es continua podemos
calcular la derivada en ese punto mediante el límite, en ese punto, de la derivada en los
demás, en el caso que exista. Si el límite no existe habrá que aplicar la denición.
Es decir:
f (x) =
g 0 (x) si x 6= a
k si x = a
f 0 (x) = lm
x !a g0 (x)
(
g 0 (x) si x 6= a
=) f 0 (x) =
lm
x !a g0 (x) si x = a
Bien entendido que si dicho límite no existe entonces hay que aplicar la denición.
Ejemplo .34 Hallar la derivada de la función:
( sin x
si x 6= 0
f (x) = x
1 si x = 0
Arenas A. 63 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Solución: La derivada para x 6= 0 no tiene ningún problema,
g (x) = sin x
x =) x cos x sin x
g0 (x) =
x 2
Para hallar la derivada en el origen procedemos de la siguiente forma:
1. Estudiamos la continuidad en el origen:
sin x
lm f (x) = lm
x !0 x !0 x
= 1 = f (0) =) f es continua en x = 0
2. Calculamos la derivada en x = 0, aplicando la denición:
sin x
f 0 f (x) f (0)
1
x
sin x x 0
(0) = lm
= lm = lm = =
x !0 x 0 x !0 x x !0 x 0
2
aplicando L'Hopital, dos veces resulta,
= lm
x !0
cos x 1
2x
Con lo cual la función derivada es:
f 0 (x) =
0
=
0
= lm
x !0
sin x
2
( x cos x sin x
x 2 si x 6= 0
0 si x = 0
En este caso, la derivada en el punto x = 0 también se podía haber calmado a partir de la
derivada en los puntos x 6= 0, en efecto,
f 0 x cos x sin x 0
(0) = lm
=
x !0 x 0
2
cos x x sin x cos x 0
= lm
=
x !0 2x
0
x sin x sin x
= lm = lm = 0
x !0 2x x !0 2
El hecho de que f 0 (0) = 0, signica que la gráca tiene tangente horizontal en el punto x = 0,
si hubiéramos inclinado la curva habriámos obtenido otro resultado.
= 0
y = sin x
x
Arenas A. 64 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
EJERCICIOS .4 En cada caso halle la derivada de la función que se da; el lector deberá
tener en cuenta que: a; b; c; m; n; '; y son constantes reales.
1. y = sin (x 2 5x) + tan p x
r
3 sin (x) 2 cos (x)
2. y =
x
3. x = csc 2 t + sec 2 t
4. y = 3p 2e x 2 x + 1 + ln 5 x
5. y = 2x + 5 cos 3 x
1
6. y =
(1 3 cos x) 2
7. y = p tan 1 x sin 1 x 3
8. y = p ln x + 1 + ln ( p x + 1)
9. y = tan 1 (ln x) + ln (tan 1 x)
10. y = ln e x + 5 sin x 4 sin 1 x
11.
1
y =
tan 1 x
12. y = 2x + 5 cos 3 x
13. x = cos sec 2 t + sec 2 t
1
14. y =
6 (1 3 cos x) 2
1 1
15. y =
3 cos 3 x cos x
r
3 sin x 2 cos x
16. y =
5
17. y = 3p sin 2 x + 1
cos 2 x
18. y = p 1 + sin 1 (x)
q
19. y = sin 1 tan (x) sin 1 (x) 3
20. y =
1
tan 1 (x)
21. y = p xe x + x
22. y = 3p 2e x 2x + 1 + ln 5 x
23. y = sin 3x + cos x 5 + tan p x
24. y = sin (x 2 5x + 1) + tan a x
25. y = cos (x + )
26. f (t) = sin t sin (t + ')
27. y =
1 + cos 2x
1 cos 2x
28. y = a cot x a ;
29. y = 1 20 cos (5x2 )
30. y = sin 1 2x
31. y = sin 1 1 x 2
32. y = cos 1 ( p x)
1
cos x2
4
33. y = tan 1 1 x
34. y = tan 1 1 + x
1 x
35. y = ln e x + 5 sin x 4 sin 1 (x)
36. y = cot 1 (ln x) ln cot 1 (x)
37. y = p ln x + 1 + ln p x + 1
38. y = cos 1 e x
39. y = ln (2x + 7)
40. y = lg sin x
41. y = ln (1 x 2 )
42. y = ln 2 x ln (ln x)
43. y = sin 3 5x cos 2 x 3
44.
11 4
y =
2 (x 2) 2 x 2
15 10
45. y =
4 (x 3) 4 3 (x 3) 3
1
2 (x 2) 2
46. y =
x 8
8 (1 x 2 ) 4
Arenas A. 65 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
p
2x
2
2x + 1
47. y =
68. y = sin 1 x
p
x
1 + x
2
x 3
48. y = q
69. y = cos 1 (x)
p
3 (1 + x 2 ) 3
1 x
2
49. y = 3 3p
x2 + 18
2 7 x 6p x + 9 5 x 3p x 2 70. y = 1 r
b
p sin
+
1 x
b a!
6 6p 13 x2 x
71. y = p x
a 2 x 2 + a sin 1
50. y = 1 q
q
a
3
(1 + x
8
3 ) 8 1 3
(1 + x
5
3 ) 5
72. y = x p x
a 2 x 2 + a 2 sin 1
51. y = 4 r a
4 x 1
73. y = sin 1 (1 x) + p 2x x 2
3 x + 2
1
74. y = x
2
75. y = ln sin 1 (5x)
76. y = sin 1 (ln x)
x sin x
77. y = tan 1 1 x cos x
55. y = (a + x) p a x
78. y = 2 5 tan x
56. y = p 3 cot 1 2 + 4
3
r
(x + a) (x + b) (x + c);
x
57. x = 3p y + p 79. y = cot 1
y
58. y = ln p 1 + e x 1
-(3b + 2x) p bx x 2
ln p 1 + e x + 1
80. y = p 2 cot 1 tan p x x 2
59. y = (tan2 x 1) (tan 4 x + 10 tan 2 x + 1)
3 tan 3 x
81. y = p e ax
60. y = tan 2 (5x)
82. y = e sins x
61. y = 3 sin x cos 2 x + sin 3 x
62. y = 1 83. y = 1 10 e x (3 sin 3x cos 3x)
3 tan3 x tan x + x
84. y = x n a x2
cos x
63. y =
3 sin 3 x + 4 3 cot x
85. y = p cos xa p cos x
64. y = p 86. y = ln (ax 2 + bx + c)
sin 2 x + cos 2 x
87. y = ln x + p a 2 + x 2
65. y = sin 1 (x 2 ) + cos 1 (x 2 )
66. y = 1 2 sin 1 (x) 88. y = x 2 p x + 2 ln (1 + p x)
2
cos 1 (x) 89. y = ln a + x + p 2ax + x 2
67. y = sin 1 x2 1
90. y = 1
x 2 ln 2 x
52. y = x 4 (a 2x 3 ) 2
a + bx
n m
53. y =
a bx n 9
3
54. y =
5 (x + 2) 5 (x + 2) 4 +
2 1
(x + 2) 3 2 (x + 2) 2
sin 1 p x + 1 2p
x x
2
Arenas A. 66 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
91. y = ln cos x 1
x
(x 2)5
92. y = ln
(x + 1) 3
93. y = ln (x 1)3 (x 2)
x 3
1
94. y =
sin 2 + ln tan x
x
95. y = ln ln (3 2x 3 )
96. y = 5 ln 3 (ax + b)
p
x2 + a
97. y = ln
2 + x
p
x2 + a 2 x
98. y = m 2 ln (x2 a 2 ) + n 2a ln x a
x + a
99. y = 1 2 ln tan x 1 cos x
2 2 sin 2 x
100. y = p x 2 + 1 ln 1 p x 2 + 1
x
101. y = 1 3 ln x2 2x + 1
x 2 + 2x + 1
102. y = 2 sin 1 (3x) + (1 cos 1 3x) 2
sin ax
103. y = 3 cos bx + 1 3
sin 3 ax
cos 3 bx
104. y = p 1 tan x
ln 2 + 2 p
3
3 tan x 2 + 2 + p 3
105. y = cot 1 ln x
106. y = ln sin 1 (x) + sin 1 (ln x)
107. y = cot 1 ln 1
x
108. y =
p
2
3 tan 1 x p
2
+ 1 6 ln x 1
x + 1
109. y = ln 1 + p sin x
p + 2 tan p 1 sin x
1 sin x
Derivada de funciones denidas a trozos. Para derivar una función denida a trozos
f (x) si x c
h (x) =
g (x) si x > c
1. Se deriva la función en cada uno de los intervalos abiertos en los que esté denida.
2. Se estudia la derivabilidad de la función en los puntos de separación y en los extremos de
los intervalos cerrados, si los hubiera.
Para hallar la derivabilidad en los puntos de separación se estudia primero si es continua, Si no
es continua no es derivable, y si es continua se calcula la derivada, bien aplicando la denición
de derivada, o lo que es más fácil, por sustitución directa por la derecha y por la izquierda (si
obtenemos dos valores iguales, esa es la derivada, y si obtenemos valores diferentes, entonces
la función no es diferenciable).
f
h 0 (x) =
0 (x) si x < c [o bien x c]
g 0 (x) si x > c
Observación .1 Si la función es derivable ponemos x c y si no es derivable x < c.
Observación .2 No debe olvidarse comprobar previamente la continuidad, ya que el hecho de
que los valores laterales de la derivada sean iguales, por si solo, no signica que la función
sea derivable, sino que la función entra y sale con la misma pendiente en x = c, pero pudiera
ser en puntos diferentes.
Arenas A. 67 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Ejemplo .35 Derivar la siguiente función:
2x + 3 si x 2
f (x) =
x 2 2x si x > 2
Solución: Primero hallamos la derivada en los intervalos abiertos:
f 0 2 si x 2
(x) =
2x 2 si x > 2
Para ver si es derivable en x = 2, estudiamos previamente la continuidad:
f (2 ) = 7
f (2 + no es continua =) no es derivable
) = 0
Al no ser derivable en x = 2 no podemos poner x 2, sino x < 2. En este caso, el hecho de
que f (2 ) = f (2 + ) no tiene ningún valor.
Ejemplo .36 Derivar
f (x) = x jx
2j
Solución: Eliminamos el valor absoluto de la formula expresándola a trozos.
x
2
2x si x 2
f (x) = x jx 2j =
x 2 + 2x si x < 2
Con lo cual la función derivada es:
f (2 + ) = 0
f (2 ) = 0
f 0 (x) =
Comprobamos la derivabilidad en el punto x = 2.
no es continua
2x 2 si x > 2
2x + 2 si x < 2
f (2 + ) = 2
f (2 ) = 2
Ejemplo .37 Determinar los coecientes a; b para que la función
x
f (x) =
2 + 1 si x 1
ax + b si x < 1
no es derivable
Sea derivable en el punto x = 1. Comprobar el resultado grácamente.
2x si x 1
Solución: La función derivada ha de ser f 0 (x) =
para lo cual ha de cumplir
a si x < 1
:
f (1 ) = f (1 + ) =) a + b = 2 a = 2
f 0 (1 ) = f 0 (1 + ) =) a = 2 b = 0
Arenas A. 68 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Luego:
f (x) =
x 2 + 1 si x 1
2x si x < 1
f 0 (x) =
2x si x 1
2 si x < 1
La continuidad signica que los dos tramos de la curva están empalmados. La derivabilidad
signica que le empalme se ha hecho con suavidad, es decir, con una tangente común.
Derivación de funciones implicitas. Una función es uns relación entre dos magnitudes, cuando
en la fórmula que las relaciona, una de las magnitudes viene despejada en función de la otra,
entonces se dice que la función viene denida de manera explicita.
y = f (x)
Cuando ninguna de las dos magnitudes está despejada en función de la otra, sino que las magnitudes
están relacionadas mediante una ecuación, se dice que la función está denida de manera
implícita.
f (x; y) = 0
Las funciones denidas de manera implícita se pueden derivar directamente, sin necesidad de
despejar una de las variables. Para ello basta con tener en cuenta que la variable y es función
de la de x y que, por tanto, cada vez que la derivemos hay que multiplicarla por su derivada (se
trata de derivar una función compusta). Pueden derivarse ecuaciones que no son funciones, pero
que podrían descomponerse en varias funciones, sin necesidad de descomponerlas, la derivada
obtenida vale para todas las funciones.
Ejemplo .38 Derivar la ecuación:
x 2 + y 2 = 4
8
>< y 1 = + p 4 x 2 ! y
Solución: x 2 + y 2 1 0 =
= 4
>: y 2 = p 4 x 2 ! y2 0 =
x
p = x
4 x
2
y 1
x
p = x
4 x
2 y 2
Sin embargo, no es necesario despejar la función, sino que podemos derivar directamente en la
ecuación,
x 2 + y 2 = 4 ! 2x + 2yy 0 = 0 ! y 0 = x
y
Arenas A. 69 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Observación .3 : Hay que evitar derivar funciones que no existen. Por ejemplo la ecuación
x 2 + y 2 = 2 no representa ningún punto del plano y por tanto no tiene ningún signicado
analítico. No obstante, al ser una expresión algebraica podríamos aplicarle las reglas de
derivación y derivarla 2x + 2yy 0 = 0, y podríamos pensar que y 0 =
x , sin embargo, estas
y
operaciones no tienen ningún sentido.
Ejemplo .39 Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia:
(x 2) 2 + 2 (y 2) y 0 = 0 ! y 0 = x 2
y 2
en los puntos en que x = 3. Comprobar el resultado grácamente.
Solución: Derivamos de manera implícita,
2 (x 2) + 2 (y 2) y 0 = 0 ! y 0 = x 2
y 2
hallamos los puntos correpondientes es a x = 3
x = 3 ! 1 + (y 2) 2
= 2 ! (y 2) 2
= 1 ! y 2 = 1
3
! y = 2 1 =
1
Con lo cual, para x = 3 tenemos dos puntos de la circurferencia P (3; 1) y Q (3; 3). Hallamos
la tangente en cada uno de ellos.
P (3; 1) ! y 1 = 1 (x 3)
1
! y 1 = x 3 ! y = x 2
Q (3; 3) ! y 3 = 1 (x 3)
1
! y 3 = x + 3 ! y = x + 6
y
3.75
2.5
1.25
0
0
1.25
2.5
3.75
5
x
Arenas A. 70 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Derivación logarítmica. Dada una función y = f (x), la derivación logarítmica conciste en
tomar ln en los dos miembros de la igualdad y derivar, después de simplicar.
La derivación logarítmicas se aplica:
1. Para derivar funciones exponenciales.
2. Para simplicar la derivación de productos y cocientes.
Observación .4 La derivación logarítmica se puede aplicar incluso si la función toma valores
negativos.
Ejemplo .40 Derivar y = x tan x
Solución: Tomando ln y derivando en ambos miembros resulta:
ln y = ln x tan x ! ln y = tan x ln x ! y0
y = 1
cos 2 x ln x + tan x 1 x !
ln x
y 0 = y
cos 2 x + tan x ln x
= x tan x
x
cos 2 x + tan x
x
Observación .5 La derivación logarítmica también se puede hacer aplicando la identidad
logarítmica y = e ln y .
Así, el ejemplo anterior tendríamos:
Ejemplo .41 Derivar
y = x tan x = e ln xtan x = e tan x ln x ; entonces
ln x
y 0 = e tan x ln x cos 2 x + tan x ln x
= x tan x
x
cos 2 x + tan x
x
y =
x 3 sin 2 x
(x + 1) (x 2) 2
Solución: Tomando ln en los dos miembros de la igualdad:
ln y = ln
x 3 sin 2 x
(x + 1) (x 2) 2
Aplicando las propiedades de los logaritmos resulta,
ln y = 3 ln x + 2 ln (sin x) ln (x + 1) 2 ln (x 2)
Derivando
y 0
y = 3 x + 2 cos x
sin x
de donde, despejamos y 0 resulta:
y 0 =
1
x + 1
x 3 sin 2 x 3
(x + 1) (x 2) 2 x + 2 cos x
sin x
2
x 2
1
x + 1
2
x 2
Arenas A. 71 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Derivadas de orden superior A las derivadas de una función se le llama derivada primera; a
la derivada de la derivada primera, derivada segunda; y así sucesivamente.
y 00 = (y 0 ) 0 = d
dx (y0 ) = d
dx
Ejemplo .42 Hallar la derivada tercera de la función:
Solución:
f 0 (x) = cos x x sin x
f (x) = x cos x
dy
dx = d2 y
dx 2
f 00 (x) = sin x sin x x cos x = x cos x 2 sin x
f 000 (x) = cos x + x sin x 2 cos x = x sin x 3 cos x
Ejemplo .43 Hallar, por inducción, una fórmula para la derivada n
sima de la función:
f (x) = ln x
Solución:
f 0 (x) = 1 x = x 1
f 00 (x) = x 2
f 000 (x) = +2x 3
f iv (x) = 3 2x 4
Luego, podemos suponer que,
f (n) (x) = ( 1) n 1 (n 1)!x n
Para que quede demostrarlo tenemos que probar que f (n+1) (x) sigue la misma regla. En efecto,
f (n+1) (x) = f (n) (x) 0
= ( 1)
n 1 (n 1)! ( n) x n 1 = ( 1) n n!x (n+1)
con lo que queda demostrada la proposición.
Teorema .10 (de rolle)
Supóngase que:
1. f es una función continua sobre el intervalo [a; b]
2. f 0 (x) existe para cada x 2 ( a; b)
3. f (a) = f (b) = 0
Arenas A. 72 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Entonces existe al menos un punto c 2 (a; b) tal que f 0 (c) = 0, es decir, donde la recta
tangente en un punto de la curva de abcisa c es paralela al eje x.
Ejemplo .44 Si la función f está dada por y = 2x
1 y 1 tales que f 0 (c) = 0.
2x 3 , determinar todos los números c entre
Solución: La gura siguiente ilustra la gráca de la función f (x) = 2x 2x 3 .
Sabemos que f es continua en [ 1; 1], entonces debemos vericar que f ( 1) = f (1) = 0, en
efecto:
f ( 1) = 2 ( 1) 2 ( 1) 3 = 2 + 2 = 0
f (1) = 2 (1) 2 (1) 3 = 2 2 = 0
Si determinamos la derivada de f, obtenemos: dy
dx = f 0 (x) = 2
para algún valor de x = c, se tiene:
6x 2 . Al tomar dy
dx = f 0 (x) = 0
Luego, f 0 (c) = 0 para c = 1 p
3
y c =
Observamos que 1 p
3
y
dy
dx j x=c = f 0 (c) = 2 6c 2 = 0 =) c 2 = 1 3
1
p
3
1
p
3
pertenecen al intervalo ( 1; 1).
En la gura anterior aparecen las dos rectas tangentes.
Observación .6 Si nos pidieran determinar c entre 0 y 1, encontramos que sólo c = p 1
3
1
pertenece a dicho intervalo, y por tanto p no sería solución al problema.
3
Arenas A. 73 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Ejemplo .45 Sea f la función deni9da por y = x 2 3 1 y continua en [ 1; 1]. Tenemos que:
f (
1) = f (1) = 0 y dy
dx = 2 3 x 1
3 = 2
3 2p x
Ahora, para dy
dx = 2
dy
3 2p no existe ningún x tal que
x dx = 0. Por tanto, f 0 (x) = dy no está
dx
denida en x = 0, y el teorema de Rolle no se puede aplicar por no cumplir la 2 codición. El
siguiente teorema es una generalización del teorema de Rolle.
Teorema .11 (del valor medio)
Supongamos que:
1. f es una función continua sobre el intervalo [a; b]
2. f 0 (x) existe para todo x 2 (a; b)
Entonces existe un número c 2 (a; b) tal que f 0 (c) = f (b) f (a)
b a
Al igual que el teorema de Rolle, la demostración del teorema del valor medio se hace en
un priemer curso de ánalisis a nivel universitario. Sin embargo, daremos una interpretación
geométrica de este importante teorema, en la gura siguiente tenemos la gráca de una supuesta
función f entre los puntos de abcisas a y b.
Los puntos p y r tienen como coordenadas (a; f (a)) y (b; f (b)). La pendiente de la recta por
p y r es:
f (b) f (a)
b a
El teorema nos indica que la recta tangente a lacurva de f en c es paralela (por tener igual
pendiente) a la recta determinada por p y r, donde c 2 (a; b)
Arenas A. 74 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Ejemplo .46 Si f (x) = x 2 3x 4, determinar todos los números c entre 1 y 3 que satisfacen
la ecuación:
f 0 f (3) f (1)
(c) =
3 ( 1)
Solución: Según el teorema del valor medio:
f (3) f (1)
3 ( 1)
= (32 3 3 4) [( 1) 2 3 ( 1) 4]
4
= 1
Es la pendiente de la recta que pasa por los puntos de abcisas 1 y 3. Ahora f 0 (x) = 2x 3.
Si esxiste c 2 ( 1; 3) se debe cumplir que f 0 (c) = 1, pero f 0 (c) = 2c 3, luego:
2c 3 = 1 =) c = 1
Ejemplo .47 Determinar todos los valores de c entre a y b que satisfacen f 0 (c) = f (b)
b
si y = x + 2
x 2 ; a = 3 y b = 0.
f (a) ,
a
Solución:
f (b)
b
f (a)
a
=
f (0) f ( 3)
3
=
0 + 2
0 2
3
3 + 2
3 2
=
6
5
3 = 2 5
Ahora f 0 (x) = dy (x 2) (x + 2) 4
=
dx (x 2) 2 =
(x 2) 2
f 0 (c) = dy
dx j 4
x=c =
(c 2) 2 y el teorema del valor medio dice que f 0 (c) =
Luego,
4
(c 2) 2 =
2
5
=) 20 = 2 (c 2)2
=) c 2 4c 6 = 0
=) c = 4 p 16 + 24
2
= 2 p 10
= 4 2p 10
2
f (b) f (a)
b a
Si 2 p 10, tenemos que c =2 (
3; 0) y por tanto no es solución al problema:
c = 2
p
10 =) c 2 ( 3; 0)
y por tanto cumple las exigencias del teorema del valor medio.
Arenas A. 75 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Ejemplo .48 Si f (x) = 2x + 1 y g (x) = 3x 4 determinar los números c entre 1 y 3 tales
que:
f (3) f (1)
g (3) g (1) = f 0 (c)
g 0 (c)
Solución:
f (3) f (1) = (2 3 + 1) (2 1 + 1) = 7 3 = 4
g (3) g (1) = (3 3 4) (3 1 4) = 5 + 1 = 6
Luego,
Ahora:
Como:
f (3) f (1)
g (3) g (1) = 4 6 = 2 3
f 0 (x) = 2; g 0 (x) = 3
Por tanto
se cumple para todo c 2 (1; 3)
f 0 (x) = 2; g 0 (x) = 3
=) f 0 (c) = 2; g 0 (c) = 3
=) f 0 (c)
g 0 (c) = 2 3
f (3) f (1)
g (3) g (1) = f 0 (c)
g 0 (c) = 2 3
Ejemplo .49 Si f (x) = x 2 y g (x) = 1 , determinar los números c entre 1 y 2 tales que:
x
f (2) f (1)
g (2) g (1) = f 0 (c)
g 0 (c)
(1)
Solución:
f (2) f (1) = 4 1 = 3
g (2) g (1) = 1 2
1 = 1 2
Luego
f (2) f (1)
g (2) g (1) = 3 1
2
= 6
Arenas A. 76 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Ahora
f 0 (x) = 2x =) f 0 (c) = 2c
g 0 (x) = 1 x 2 =) g0 (c) = 1 c 2
Luego:
f 0 (c)
g 0 (c) =
Por (1) 6 = 2c 3 =) c 3 = 3 =) c = 3p 3
2c
1
= 2c 3
c 2
EJERCICIOS .5 En los ejercicios del 1 al 6, determinar los valores de c entre a y b que
satisfacen:
f 0 (c) = f (b) f (a)
b a
1. y = x 2 + 1; a = 0; b = 2
2. y = x 2 + x + 2; a = 1; b = 3
3. y = x 3 2x 2 + 3x 2; a = 0; b = 2
4. y = 1 + 2x + x 2 ; a = 1; b = 4
5. y = x 3 ; a = 4; b = 4
6. y = x 3
x + 3 ; a = 0; b = 4
son dos puntos sobre la curva y = x
5
1
7. Si p (1; 4) y r 2; , determinar las coordenadas
del punto sobre pr donde la tangente a la curva es paralela a la recta determinada
2
2
por p y r.
8. Dada la función f (x) = x + 2 ; a = 1 y b = 2, discutir la validez del teorema del valor
2x + 1
medio.
9. Discutir al igual que en el ejercicio anterior, para f (x) = 1 con a = 0 y b = 2.
x 1
f (b) f (a)
10. Determinar los valores de c estrictamente entre a y b que satisfacen:
g (b) g (a) = f 0 (c)
g 0 (c)
si:
a) f (x) = x 2 + 2x + 1; g (x) = x 2 ; a = 1; b = 2
b) f (x) = p x + 16; g (x) = p x; a = 0; b = 9
c) f (x) = x 3 + 3x 2 + 3x; g (x) = x 3 ; a = 0; b = 3
Arenas A. 77 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
5.2.3. Formas indeterminadas Y Reglas de L'Hopital.
Formas indeterminadas. Las reglas del L'Hopital pretenden resolver los siete casos de indeterminación
del límite:
0
0 ; 1 1 ; 0 1; 11 ; 0 1 ; 1 1
Hay que hacer notar que las Reglas de L'Hopital sólo se pueden aplicar directamente a los dos
casos 0 y 1 . Para resolver los cinco casos restantes habrá que transformarlos en uno de los dos
0
1
tipos anteriores.
No son indeterminados las siguientes expresiones:
Cte
1 = 0 0 Cte = 0 0+1 = 0 0 1 1
0 = 1
+1 +1 +1 2 3
= 0
= 1 (0 0 d) +1 = 0 (1 0 d) +1 = 1
3
2
1
=
+1
= 1
1
=
1
= 0 (0 0 d) 1 = +1 (1 0 d) 1 = 0
2
3
3 3 2
2
2 3
3 +1 = 1 3 1 = 0 1 0 = 1 7 0 = 1
Los siguientes límites no están denidos (por oscilación):
lm sin x
x !+1
lm sin 1
x !0 + x
sin x
lm
x !+1 43
lm cos x
x !+1
lm
x !0 + cos 1 x
lm tan x
x !+1
lm
x !0 + tan 1 x
Reglas de L'Hopital.
Las reglas de L'Hopital se pueden resumir en el siguiente esquema:
lm f (x) 0
g (x) = 0 ó 1
= lm f 0 (x)
1 g 0 (x)
1. La Regla sólo es aplicable mientras se mantiene la indeterminación 0; o 1 , por lo que
0
1
antes de derivar siempre hay que comprobar.
2. Si la indeterminación se mantiene indenidamente, entonces la regla no es aplicable.
3. En cualquier momento se pueden hacer manipulaciones algebráicas o aplicar innitésimos
con objeto de simplicar las derivadas.
Formalmente una Regla de L'Hopital puede enunciarse de la siguiente manera.
Teorema .12 (Regla de L'Hopital) Si f y g son funciones continuas en el intervalo [a; b)
y derivables en el intervalo (a; b), con límite cero por la derecha del punto a, y además la
derivada de la función g no se anula en ningún púnto del intervalo (a; b), entonces, si existe el
f 0 (x)
lm también existe el
x !a + g 0 (x) lm
f (x)
y además ambos coinciden.
x !a + g (x)
Arenas A. 78 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Ejemplo .50 Calcula los siguientes límites:
e x 1 0
1. lm
x !0 sin 2x = e x
= lm
0 x !a + 2 cos 2x = 1 2
1 x + ln x 0 1 + 1
2. lm
x !1 1 + cos x = = lm x
0 x !1 sin x = 0
x + 1
0
= lm
x !1 x sin x = 0
0
=
1
= lm
x !1 sin x 2 x cos x = 1
2
sin x
3. lm
x !0 x + x = 0
cos x
0
= lm
2 x !0 1 + 2x = 1 = 1 1
4. lm
x !1
5. lm
x !1
e x h 1
i
x 2 + x = e x h 1
i
= lm
1 x !12x + 1 = 1
x 1 h
3 1
i
1
ln x = = lm
x 2 3
3
x
1 x !1
1
= lm
x !1
x 3x 2 3
e x
= lm
x !1 2 = +1 2
x 1 3
= lm
x !1 3 = +1
= +1
Simplicación de límites. Siempre que sea posible, antes de abordar la Regla de L'Hôpital,
es conveniente intentar simplicar el límite con objeto de que no complique con la derivación.
Para ello se sacan fuera del límite los factores que tengan un valor númerico.
Ejemplo .51 Calcular el siguiente límite
(1 + cos x) (x 3 3) sin x
lm
x !0 (x 2 x) cos x
Solución:
(1 + cos x) (x 3 3) sin x
lm
x !0 (x 2 x) cos x
0 (1 + cos x) (x
= = lm
0
3 3) sin x
lm
x !0 cos x
x !0 x 2 x
= 2 ( 3)
cos x
1
lm
1 x !02x 1 = ( 6) = 6
1
El primer límite lo hemos resuelto directamente por sustitución, y sólo hemos aplicado L'Hôpital
en el segundo límite, lo que ha simplicado notablemente los cálculos.
Indeterminaciones del tipo 0 1 Se transforman en un indeterminación del tipo 0 0 ; 1
1 ,
mediante operaciones algebraicas, o bien, mediante las siguientes transformaciones.
f (x) g (x) = f (x)
1
g (x)
f (x) g (x) = g (x)
1
f (x)
Arenas A. 79 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Ejemplo .52 Calcular:
x 1
lm x ln
x !+1 x + 1
Solución:
x 1
lm x ln
x !+1 x + 1
x 1
ln
x + 1
= [1 0] = lm
x !+1 1
x
d x 1
ln
dx x + 1
= lm
x !+1
d
dx
1
x
0
=
0
= lm
x !+1
= lm
x !+1
= lm
x !+1
2
(x 1) (x + 1)
1
x 2
2x 2 h 1
x 2 1 = 1
4x
2x = 4
2 = 2
i
; derivando de nuevo, queda
Indeterminaciones del tipo 1 1 Se transforman en una indeterminación del tipo 0 0 ; o 1 1 ,
mediante operaciones algebraicas, como puede ser: Buscando un común denominador, multiplicando
y dividiendo por el conjugado; o bien, mediante las siguientes transformaciones.
A
A
B = A 1
1
B = AB
B
B
B
= 1 A
A 1
1
=
A
A
1
B
1
A
1
AB
Ejemplo .53 Calcular los siguientes límites:
1 1
1. lm
x !+0 x sin x
p
2. lm x2 + 3x x
x !+1
Arenas A. 80 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Solución:
1.
2.
lm
x !+0
1
x
1
sin x
p
lm x2 + 3x x
x !+1
sin x x 0
= [1 1] = lm
x !+0 x sin x = 0
sin x x 0 cos x 1
= lm = = lm
x !+0 x 0
2 x !+0 2x
sin x
= lm = 0
x !+0 2
= [1 1] = lm
x !+1 x
= lm
x !+1 x r1 + 3 x
= lm
x !+1
1
p
x2 + 3x
!
q
3
x 2 2 1 + 3 x
1
1
x
x
= lm
x !+1
= lm
x !+1
1
!
0
=
0
= [1 0]
q
1 + 3 x
1
1
x
3x 2
2x 2 q1 + 3 x
0
=
0
Este límite también podía haberse resuelto multiplicando por le conjugado, o bien, aplicando
innitésimos.
Indeterminación del tipo 0 0 ; 1 0 ; 1 1 Se transforman en un indeterminación del tipo 0 0 ; o
1
, tomando logaritmos neperianos. En efecto, llamando y al límite en cuestión:
1
y = lm f (x) g(x)
tomando ln en ambos miembros y operando, resulta,
ln y = ln lm f (x) g(x) = lm ln f (x) g(x)
= lm g (x) ln f (x)
Que es un límite del tipo 0 1, y una vez resuelto, resulta:
lm g(x) ln f(x)
y = e
El límite también puede resolverse aplicando directamente la identidad logarítmica y = e ln x ,
lm f (x) g(x) ln lm f(x)g(x)
= e
lm ln f(x)g(x)
= e
lm g(x) ln f(x)
= e
Arenas A. 81 Camargo B.
= 3 2

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
El tercer caso 1 1 admite una forma simplicada de resolución que elimina el ln y puede facilitar
la derivación, en efecto, aplicando innitésimos, resulta,
lm f (x) g(x) lm g(x) ln f(x)
= e
o bien, teniendo en cuenta la denición del número e
lm g(x) ln(1+f(x) 1)
= e
lm g(x) ln(f(x) 1)
= e
resulta,
e = lm
z !0
(1 + z) 1 2
lm f (x) g(x) = [1 1 ] = lm (1 + f (x) 1) g(x)
= lm (1 + f (x) 1)
= e lm g (x) [f (x) 1]
1
g(x)[f(x) 1]
f(x) 1
Ejemplo .54 Calcular, por lo dos métodos, el siguiente límite:
Solución:
lm
x !0 (cos x) 1 x 2
1. lm
x !0
(cos x) 1 x 2 = [1 1 ]
Llamamos y al límite : lm (cos x) 1 x 2 , tomamos ln y operamos, con lo que resulta,
x !0
ln y = ln lm (cos x) 1 0
x 2 =
x !0 0
de donde el límite pedido es:
2. Por el otro método sería:
ln cos x
= lm
x !0 x 2
x
= lm
x !0 2x cos x = 1
2
y = e 1
2 = 1 p
2
lm (cos x) 1 x 2 = [1 1 ]
x !0
= lm (cos x 1)
x2 sin x
= lm = e 1
2
e x !0 2x
e x !0 1
Arenas A. 82 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Ejemplo .55 Calcular:
lm
x !0+ xtan x
Solución: lm
x !0+ xtan x = [0 0 ]
Llamando y al límite: y = lm
x !0+ xtan x , tomando ln y operando, resulta,
de donde,
ln y = ln lm
x !0+ xtan x = lm x tan x ln x = [0 1]
x !0+
ln x
h 1
i
= lm
x !0+ cot x = 1
1
= lm x sin 2 x
= lm
x !0+ 1 x !0+ x
sin 2 x
x 2
= lm
x !0+ x = 0
y = e 0 = 1
Ejemplo .56 Calcular los siguientes límites:
1. lm
x !0
(1 + 2 x + 3 x ) 1 x
2. lm
x !+1 (1 + 2x + 3 x ) 1 x
3. lm (1 +
x ! 1 2x + 3 x ) 1 x
Solución:
1.
luego el límite no existe.
lm
x !0 (1 + 2x + 3 x ) 1 x
= 1 + 2 0 + 3 0 1 0 = 3 1 0
8
< 3 1
0+ = 3 +1 = +1
=
: 3 1
0 = 3 1 = 1 = 0
3 +1
Arenas A. 83 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
2.
lm (1 +
x !+1 2x + 3 x ) 1 x = 1 + 2 +1 + 3 +1 0
= 1
0
; Entonces
y = lm
x !+1 (1 + 2x + 3 x ) 1 x
luego,
ln y = lm
x !+1 ln (1 + 2x + 3 x ) 1 x
= lm
x !+1
= lm
x !+1
= lm
x !+1
= lm
x !+1
= lm
x !+1
ln (1 + 2 x + 3 x )
h 1
=
x 1i
2x ln 2 + 3x ln 3
1 + 2 x + 3 x
1
2x ln 2 + 3x ln 3
h 1
=
1 + 2 x + 3 1i
x
2 x
ln y = ln 3 ! y = 3
3x
ln 2 +
3x 3 ln 3 x
1
x 2 3
3 3 + x 3
0 + ln 3
0 + 0 + 1 = ln 3
x
3. lm
x ! 1 (1 + 2x + 3 x ) 1 x = (1 + 0 + 0) 0 = 1 0 1
Ejemplo .57 Calcular:
Solución:
lm 2
x !a
lm 2
x !a
x
x tan
2a
a
x
x tan
2a
a
= [1 1 ]
x
= lm tan 1
ex !a
2a
x
1
= lm a
e x !a cos x
2a
= lm
1
a
e x !a x
2a
1
sin 2 x
2a
x
a
2a sin 2 x
= lm 2a = e 2
e x !a a
Arenas A. 84 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Ejemplo .58 Estudiar el dominio y continuidad de la función:
8
Solución:
><
f (x) =
>:
1
2+cos x
x
1
si x 6= 0
x
2
si x = 0
3
1. Dominio.La función está denida en todo R, ya que si 3 + ex = 0, resulta ex =
no es posible.
2. Continuidad. La función es continua en todo R, salvo quizás en x = 0,
3+e
1
1
3 que
2 + cos 1 x
lm
x !0 +f
(x) = lm
x !0 + 1
3 + ex
= 2 + Ac
1 = Ac
1 = 0
lm
x !0
f (x) = lm
x !0
Luego la función no es continua en x = 0.
= 2 + Ac
3 + 0
2 + cos 1 x
1
3 + ex
=
Sin límite
3
= Sin límite
Ejemplo .59 Dada la función:
8
><
f (x) =
>:
Hallar f 0 (0) y f 00 (0)
x
sin x
si x 6= 0
x
1
3 si x = 0
6
Solución:
Continuidad: La función es continua en todo R, salvo quizás en x = 0,
x sin x 0
lm
=
x !0 x 0
3
1
= lm
x !0
cos x 0
=
3x 0
2
x 2
= lm
x !0 2 3x = 1 2 6
Arenas A. 85 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
luego la función es continua en todo R.
Derivada en x = 0: Aplicamos la denición.
f 0 f (x) f (0)
(0) = lm
= lm
x !0 x
6x 6 sin x x 3 0
= lm
=
x !0 6x 0
4
6 6 cos x 3x 2 0
= lm
=
x !0 24x 0
3
6 sin x 6x 0
= lm
=
x !0 72x 0
2
6 sin x 6
= lm
x !0 144x
= lm
x !0
6 sin x
144
= 0
0
=
0
Derivada segunda en x = 0: Hallamos f 0 (x), para x 6= 0
x !0
x
sin x
x
x
1
6
f 0 (x) = (1 cos x) x3 (x sin x) 3x 2
=
x 6
x cos x 3x + 3 sin x
x 4 =
Para calcular f 00 (0), aplicamos la denición de derivada:
2x x cos x + 3 sin x
x 4
2x x cos x + 3 sin x
f 00 f 0 (x) f 0 (0)
0
(0) = lm
= lm x 4
x !0 x
x !0
x
2x x cos x + 3 sin x 0
= lm
=
x !0 x 0
5
2 cos x + x sin x + 3 cos x
= lm
x !0 5x 4
2 + 2 cos x + x sin x 0
= lm
=
x !0 5x 0
4
2 sin x + sin x + x cos x
= lm
x !0 20x 3
sin x + x cos x 0
= lm
=
x !0 20x 0
3
= lm
x !0
cos x + cos x x sin x
60x 2
x 2
= lm
x !0 60x = 1
2 60
= lm
x !0
x sin x 0
=
60x 0
2
Arenas A. 86 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Ejemplo .60 Dada la función:
Hallar f 0 (0) y f 00 (0).
Solución:
luego,
de donde,
( sin x
si x 6= 0
f (x) = x
1 si x = 0
f 0 f (x) f (0)
(0) = lm
x !0 x
x sin x
1
= lm x
x !0 x
sin x x 0
= lm =
x !0 x 0
2
f (x) =
f 00 (0) = lm
x !0
f 0 (x) f 0 (0)
x
= lm
x !0
cos x x sin x cos x
3x 2
= lm
x !0
cos x 1
= lm
x !0
x 2
sin x
2
= 0
( x cos x sin x
x 2 si x 6= 0
0 si x = 0
x cos x sin x
0
= lm x 2 x cos x sin x 0
= lm
=
x !0 x
x !0 x 0
3
x sin x x 2
= lm = lm
x !0 3x 2 x !0 3x = 1
2 3
La gráca de una sucesión es un conjunto de innitos puntos sepaados (aislados) unos de otros.
Límites de sucesiones considerándolas como funciones. Si unimos los puntos que representan
una sucesión obtenemos la gráca de una función. Sin embargo, podemos obtener innitas
funciones que contienen los puntos de una misma sucesión. Lo normal es coger la función que
tiene la misma fórmula que la sucesión, es decir considerar que la variable n es continua y no
discreta.
Si la función que representa a la sucesión tiene límite, ese es el límite de la sucesión, pero si la
función no tiene límite, entonces la sucesión si puede tenerlo.
Por tanto, se pueden aplicar los innitésimosy las reglas de L'Hôpital a las sucesiones, el límite
que encontremos será el límite de la sucesión y si la sucesión considerada como función no
tiene límite entonces habrá que aplicar otro criterio.
Arenas A. 87 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
Ejemplo .61 Obsérvese el desarrollo de los siguientes límites:
1:) lm
n !1
n + 3
n 3 + 4 = lm
x !1
n
n = 0 3
2:) lm 1
n !1
2n
1
= lm
3n
= e
x !1
2
3
2
6
4 1 + 1
3n
3n 1
3
7
5
1(2n)
3n
3:) lm np a = lm a 1
n !1
n !1 n = a0 = 1
Ejemplo .62 Calcular los siguientes límites :
1:) lm
n !1
3p n
3 p n 1 = lm
n !1
3p p n
3
n 1 p 3
n 2 + 3p q
n (n 1) + 3 (n 1) 2
3p
n2 + 3p q
n (n 1) + 3 (n 1) 2
= lm
n !1
3p
n2 + 3p n (n
1
1) + 3 q
(n 1) 2 = 0
2:) lm n
n !1
p
(n + a) (n + b)
n 2 (n 2 + (a + b) n + ab)
= lm
n !1 n + p (n + a) (n + b)
(a + b) n ab
= lm
n !1n + p n 2 + (a + b) n + ab
=
ab
(a + b)
r n
(a + b)
1 + 1 + + ab
=
n n 2
a + b
2
Arenas A. 88 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial
3:) lm
n !1 n np a
n 1 p a = lm
n !1 n np a 1
0
= lm n np B
a @1 a
n !1
= lm n np a 1 a
n !1
= lm
n !1 n np a
a 1
n 1
a 1 n
1
n 1
!
1
1
n C
A
!
n n+1
n(n 1)
ln a
= 0
n (n 1)
Arenas A. 89 Camargo B.

Cálculo Diferencial
UNIDAD 4
6. Aplicaciones de la derivada
6.1. Máximos y mínimos absolutos
a) En intervalos cerrados
Supongamos que la función f es continua en un intervalo cerrado [a; b], entonces alcanza un
máximo y un mínimo en dicho intervalo.
El máximo y el mínimo absoluto solamente pueden estar situados:
1. En puntos donde f 0 (x) = 0
2. En puntos donde f 0 (x) no está denida
3. En los extremos del intervalo.
Puntos críticos de una función: Se llaman puntos críticos de una función a los puntos en los
que la derivada sea nula o no esté denida.
Cálculo del máximo y del mínimo absoluto: Para hallar el máximo y el mínimo absoluto de
una función continua en un intervalo cerrado.
1. Se hallan los puntos críticos.
2. Se halan los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo. El
mayor valor obtenido es el máximo absoluto y el menor el mínimo.
Arenas A. 90 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Observación .7 Si la función no es continua el método anterior no es valido, ya que los valores
de la función en los puntos críticos no determinan nada.
Ejemplo .63 Hallar los extremos absolutos de la función
en el intervalo [0; 3].
Solución:
1. Hallamos los puntos críticos:
f (x) = 2x 3 3x 2 12x + 15
a) Puntos en los que la derivada no está denida: No existen ya que f 0 (x) = 6x 2 6x
12 está denida en todo R.
b) Puntos en los que la derivada vale cero:
6x 2 6x 12 = 0 ! x 2 x 2 = 0 ! x
= 1 p 1 + 8
= 1 + 3 2
=
2 2 1
2. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo:
f (0) = 15
Máximo
f (2) = 16 12 24 + 15 = 5 Mínimo
f (3) = 54 27 36 + 15 = 6
Ejemplo .64 Hallar los extremos absolutos de la función:
f (x) = x 5
x
en el intervalo [2; 4]
Solución:
1. Hallamos los puntos críticos:
a) Puntos en los que la derivada no está denida: No existen ya que f 0 (x) = 5x 4 1
está denida en todo R.
b) Puntos en los que la derivada vale cero:
5x 4 1 = 0 ! x 4 = 1 5
! x = r
1
5
=2 [2; 4]
Luego no existe ningún punto crítico dentro del intervalo, por tanto:
2. Comparamos los valores de la función en los extremos del intervalo:
f (2) = 30
f (4) = 1020
Mínimo
Máximo
Arenas A. 91 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Ejemplo .65 Hallar los extremos absolutos de la función:
f (x) = 3 jx 2j
en el intervalo [1; 4]
Solución: Para hallar la derivada de la función eliminamos el valor absoluto,
3 (x 2) si x 2 5 x si x 2
f (x) = 3 jx 2j =
3 ( x + 1) si x < 2 = 1 + x si x < 2
Con lo cual, la función derivada es:
1. Hallamos los puntos críticos:
f 0 (x) =
1 si x > 2
1 si x < 2
a) Puntos en los que la derivada no está denida: x = 2
b) Puntos en los que la derivada vale cero: No existen.
2. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo:
f (1) = 2
f (2) = 3 Máximo
f (4) = 1 Mínimo
b) Máximos y mínimos absolutos en intervalos abiertos
Para hallar el máximo y el mínimo de una función continua en un intervalo abierto se “cierra”
el intervalo hallando los límites de la función en los extremos del mismo.
Ejemplo .66 Hallar los extremos absolutos de la función: f (x) =
Solución: Hallamos la derivada de la función,
f 0 (x) = 2x (x2 + 1) x 2 2x
(x 2 + 1) 2 = 2x3 + 2x 2x 3
(x 2 + 1) 2 =
1. Hallamos los puntos críticos:
a) Puntos en los que la derivada no está denida: No existen.
b) Puntos en los que la derivada vale cero: 2x = 0 ! x = 0.
x2
en todo R.
x 2 + 1
2x
(x 2 + 1) 2
2. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los “extremos” del
intervalo:
Arenas A. 92 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
y =
x2
x 2 + 1
x 2
f ( 1) = lm
x ! 1x 2 + 1 = 1
f (0) = 0 ! Mínimo
f (+1) = lm
x !+1
x 2
x 2 + 1
6.1.1. Máximos y mínimos relativos o locales
Crecimiento y decrecimiento.
decreciente donde es negativa.
= 1 Luego la función no tiene máximo
Una función es creciente allí donde su derivada es positiva y
8x 2 (a; b) ; f 0 (x) 0 =) f es creciente en (a; b)
8x 2 (a; b) ; f 0 (x) 0 =) f es decreciente en (a; b)
Estudios de los máximos y mínimos locales a partir del signo de la primera derivada.
Teorema .13 Criterio de la primera derivada.
sea c un número crítico de una función f continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si
f es derivable en el intervalo, escepto quizá en c, f(c) puede clasicarse como sigue:
1. Si f 0 cambia de negativa a positiva en c; f(c) es un mínimo relativo de f:
2. Si f 0 cambia de positiva a negativa en c; f(c) es un máximo relativo de f:
3. Si f 0 no cambia su signo en c; f(c) no es ni máximo ni mínimo relativo f:
Arenas A. 93 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Ejemplo .67 Estudiar los extremos relativos y absolutos de la función f (x) =
R.
Solución: f es continua en todo R, ya que 1 + x 2 no se anula nunca.
Puntos críticos:
x
en todo
1 + x2 f 0 (x) =
(1 + x2 ) + x (2x)
(1 + x 2 ) 2 = 1 x2 + 2x 2
(1 + x 2 ) 2 = x2 1
(1 + x 2 ) 2
de donde:
f 0 (x) = 0 ! x 2 1 = 0 ! x = 1
1. Extremos relativos: Estudiamos el signo de la derivada.
f 0 ( 2) = 4 1
(1 + 4) 2 = 3 25 = +
f 0 (0) = 1
1 = 1 =
f 0 (2) = 4 1
(1 + 4) 2 = 3 25 = +
Con lo cual hay un máximo en x = 1 y un mínimo en x = 1
2. Extremos absolutos: hallamos los valores de la función en los punto críticos y en los
Arenas A. 94 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
extremos del intervalo.
y =
x
1 + x 2
x
f ( 1) = lm
x ! 11 + x = 0 2
f ( 1) = 1 ! Máximo absoluto
2
f (1) = 1 ! Mínimo absoluto
2
x
f (+1) = lm
x !+11 + x = 0 2
Ejemplo .68 Encontrar los extremos relativos de la función f (x) = x + 4 x
en R.
Solución: La función es continua en R f0g
Puntos críticos. Hallamos la derivada de la función
f 0 (x) = 1
4
x 2
y = x + 4 x
1. Puntos donde la derivada no esta denida. x = 0
Arenas A. 95 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
2. Puntos donde la derivada vale cero:
f 0 (x) = 0
! x = 2
Intervalos de crecimiento:
f 0 4
( 3) = 1
9 = + ! Creciente
f 0 ( 1) = 1 4 = ! Decreciente
f 0 (1) = 1 4 = ! Decreciente
f 0 (3) = 1
4
9 = + ! Creciente
Ejemplo .69 Usar el criterio de la primera derivada para hallar todos los máximos y mínimos
relativos de la función dada por:
Solución:
f (x) = 2x 3 3x 2 36x + 14
f 0 (x) = 6x 2 6x 36 = 0; hacemos f 0 (x) = 0
6 x 2 x 6 = 0
6 (x 3) (x + 2) = 0
x = 2; 3; Números criticos
La tabla a continuación muestra un formato adecuado para la aplicación del criterio de la
primera derivada.
Intervalo 1 < x < 2 2 < x < 3 3 < x < 1
Valor prueba x = 3 x = 0 x = 4
Signo de f 0 (x) f 0 ( 3) > 0 f 0 (0) < 0 f 0 (x) > 0
conclusión Creciente Decreciente Creciente
De la tabla anterior concluimos que hay un máximo relativo en x =
en x = 3. La gura siguiente muestra la gráca de f.
2 y un mínimo relativo
Arenas A. 96 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Ejemplo .70 Hallar los extremos relativos de y = x3
2x 2 + 3x + 1
3
Solución: Empezamos haciendo constar que f es continua en toda la recta real. Su derivada
1. Hallamos la primera derivada
y 0 = x 2 4x + 3
2. Calculamos los puntos criticos, osea, la raices de la derivada:
x 2 4x + 3 = 0
x 1 = 1; x 2 = 3
3. La derivada es continua en todos los puntos y por tanto no existen otros puntos criticos.
4. Analizamos los valores criticos y los resultados los llevamos a la gura que se muestra
enseguida.
El primer punto criticos es x 1 = 1; como y 0 = (x 1) (x 3) ; resulta que:
para x < 1 se tiene que: y 0 > 0;
para x > 1 se tiene que : y 0 < 0:
Esto quiere decir que la pasar de izquierda a derecha por el punto x 1 = 1, el signo de la derivada
cambia de más a menos; por tanto, en x = 1 la función tiene un máximo.
El segundo punto criticos es x 2 = 3
(y) x=1
= 7 3
para x < 3 se tiene que: y 0 < 0;
para x > 3 se tiene que : y 0 > 0:
Esto quiere decir que la pasar de izquierda a derecha por el punto x 2 = 3, el signo de la derivada
cambia de menos a más; por tanto, en x = 3 la función tiene un mínimo.
(y) x=3
= 1
Basándonos en este análisis, trazamos la siguiente gráca.
Arenas A. 97 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
6.1.2. Concavidad y el criterio de la segunda derivada
Denición .19 Sea f derivable en un intervalo abierto. Diremos que la gráca de f es cóncava
hacia arriba si f 0 es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si f 0 es decreciente en el
intervalo.
Teorema .14 Criterio de concavidad
Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I.
1. Si f 00 (x) > 0 para todo x en I, la gráca de f es cóncava hacia arriba.
2. Si f 00 (x) < 0 para todo x en I, la gráca de f es cóncava hacia abajo.
Ejemplo .71 Hallar los intervalos abiertos donde la gráca de f (x) =
hacia arriba o hacia abajo.
6
x 2 + 3
es cóncava
Solución: Comenzamos observando que f es continua en toda la recta. Calculamos su segunda
derivada
f (x) = 6 x 2 + 3 1
f 0 (x) = ( 6) (2x) x 2 + 3 2
=
12x
(x 2 + 3) 2
f 00 (x) = 36 (x2 1)
(x 2 + 3) 3
Como f 00 (x) = 0 cuando x = 1 y f 00 está denida en toda la recta real, probamos f 00 en los
intervalos ( 1; 1) ; ( 1; 1) y (1; 1). Los resultados se recogen en la tabla y en la gura
siguiente.
Intervalo 1 < x < 1 1 < x < 1 1 < x < 1
Valor prueba x = 2 x = 0 x = 2
Signo de f 00 (x) f 0 ( 2) > 0 f 00 (0) < 0 f 0 (2) > 0
conclusión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
Arenas A. 98 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Denición .20 Punto de inexión
Sea f una función cuya gráca tiene recta tangente en (c; f (c)). Se dice que el punto (c; f (c))
es un punto de inexión si la concavidad de f cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo (o
viceversa) en ese punto.
Teorema .15 Si (c; f (c)) es un punto de inexión de la gráca de f, entonces o es f 00 (c) = 0
o f 00 no está denida en x = c.
Ejemplo .72 Determinar los puntos de inexión y discutir la concavidad de la gráca de
f (x) = x 4 4x 2 .
Solución: Derivando dos veces obtenemos:
f 0 (x) = 4x 3 12x 2
f 00 = 12x 2 24x = 12x (x 2)
Los posibles puntos de inexión están en x = 0 y x = 2. Ensayando en los intervalos determinados
por esos dos valores de x, vemos que ambos son puntos de inexión. Un resumen de los
ensayos se recoge en la tabla y la gura a continuación.
Intervalo 1 < x < 0 0 < x < 2 2 < x < 1
Valor prueba x = 1 x = 1 x = 3
Signo de f 00 (x) f 0 ( 1) > 0 f 00 (1) < 0 f 00 (3) > 0
conclusión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
Arenas A. 99 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Teorema .16 Criterio de la segunda derivada.
Sea f una función tal que f 0 (c) = 0 y tal que la segunda derivada de f existe en un intervalo
abierto que contiene a c.
1. Si f 00 (c) > 0, entonces f (c) es un mínimo relativo
2. Si f 00 (c) < 0, entonces f (c) es un máximo relativo
3. Si f 00 (c) = 0, entonces el criterio no decide.
Determinación de funciones conociendo algunos puntos críticos
La dicultad de este tipo de ejercicios está en saber aprovechar toda la información que nos da
el enunciado.
Ejemplo .73 Hallar a; b; c y d para la función f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tenga un mínimo
relativo de valor 3 en x = 0 y un máximo relativo de valor 4 en x = 1.
Solución:
f (0) = 3
Mínimo relativo de valor 3 en x = 0 !
f 0 (0) = 0
f (1) = 4
Máximo relativo de valor 4 en x = 1 !
f 0 (1) = 0
Hallando la derivada de f 0 (x) = 3ax 2 +2bx+c, y sustituyendo, resulta el sistema de ecuaciones:
9
9
>=
>=
d = 3
c = 0
a + b + c + d = 4
3a + 2b + c = 0
d = 3
c = 0
a + b = 7
3a + 2b = 0
9
>=
>;
>;
d = 3
c = 0
a + b + 0 3 = 4
3a + 2b + 0 = 0
d = 3
c = 0
a + b = 7
a = 14
9
>=
>;
>;
d = 3
c = 0
b = 21
a = 14
Arenas A. 100 Camargo B.
9
>=
>;

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Luego la función buscada es: f 0 (x) = 14x 3 + 21x 2 3
Ejemplo .74 Hallar a; b y c tales que la gráca de la función f (x) = ax 3 + bx 2 + cx tenga
una tangente horizontal en el punto de inexión (1; 1).
Solución:
Pasa por el punto (1; 1) ! f (1) = 1
Tangente horizontal en (1; 1) ! f 0 (1) = 0
Punto de inexión en (1; 1) ! f 00 (1) = 0
Hallando la primera y segunda derivada f 0 (x) = 3ax 2 + 2bx + c; f 00 (x) = 6ax + 2b y
sustituyendo, resulta el sistema de ecuaciones:
9
9
9
=
=
=
a + b + c = 1
3a + 2b + c = 0
6a + 2b = 0
;
c = 1 1 + 3
b = 1 2 = 3
a = 1
9
=
;
c = 1 a b
2a + b = 1
3a + b = 0
c = 3
b = 3
a = 1
Luego la función buscada es: f (x) = x 3 3x 2 + 3x.
9
=
;
;
c = 1 a b
b = 1 2a
a = 1
Problemas de aplicación de máximos y mínimos
Para resolver problemas de máximos y mínimos con enunciado deben seguirse los siguientes
pasos:
1. Asignar letras a todas las magnitudes que intervienen e intentar relacionarlas entre sí.
(Según se asignen las letras, la resolución del problema puede resultar más facil a más
dicil. A veces conviene contar con los ángulos).
2. Preguntarse ¿Qué es lo que hay que hacer máximo o mínimo. Esa magnitud es la que hay
que derivar.
3. Encontrar una fórmula para la magnitud que hay que derivar y expresarla en función de
una sola variable y entonces derivar.
Naturaleza de los puntos críticos. La naturaleza de los puntos críticos puede determinarse por
cualquiera de los siguientes críterios:
1. Por la propia naturaleza del problema.
2. Comparando el valor de la función en los puntos críticos y en los extremos del dominio.
3. Estudiando el signo de la primera derivada a ambos lados de cada punto crítico.
4. Estudiando el signo de la segunda derivada en los puntos críticos.
Observación: Si el problema pide un máximo y encontramos un mínimo, el máximo habrá que
buscarlo en los extremos del dominio.
Arenas A. 101 Camargo B.
;

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Ejemplo .75 Un granjero tiene 200 m de tela metálica que va a utilizar para tres lados de un
corral rectangular; se va a usar un muro recto que ya existe como cuarto lado del corral. ¿Qué
dimensiones maximizaran el área del corral
Solución: La magnitud a maximizar es el área.
de donde,
a = x y
2x + y = 200 ! y = 200 2x
a = x (200 2x) = 200x 2x 2
a 0 (x) = 200 4x ! 200 4x = 0 ! x = 50
Comprobamos que realmente se trata de un máximo, a partir de la segunda derivada:
Luego la solución es x = 50 e y = 100.
a 00 (x) = 4 =) a 00 (50) = 4 ! Máximo
Ejemplo .76 Una lámina metálica rectangular mide 5 m de ancho y 8 m de largo. Se van
a cortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas para doblar la pieza metálica resultante y
soldarla para formar una caja sin tapa. ¿Cómo debe hacerse para obtener una caja del máximo
posible
Solución: La magnitud a maximizar es el volumen.
v = x (8 2x) (5 2x) = 4x 3 26x 2 + 40x
Arenas A. 102 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
de donde
luego:
v 0 (x) = 12x 2 52x + 40 =) 12x 2 52x + 40 = 0 ! 3x 2 13x + 10 = 0
x = 13 p 169 120
6
= 13 p 49
6
= 13 7
6
x = 3
=
0 3 no válida
x = 1
Comprobamos que realmente se trata de un máximo, a partir de la segunda derivada:
v 00 (x) = 24x 52 =) a 00 (1) = 28 ! Máximo
Ejemplo .77 Deseamos construir una lata cilíndrica con 40 cm 3 de capacidad. El material del
fondo y de la tapa es dos veces más caro que el del lateral. Hallar el radio y la altura de la lata
más económica.
Solución: La magnitud a minimizar es el coste. Suponiendo que el precio por unidad de super-
cie del lateral es p el de las bases será 2p, con lo que resulta:
S b = r 2 + r 2 = 2r 2 2p coste Sb = 4r 2 p
c = 4r 2 p + 2rhp
S t = 2rh
p coste S t = 2rhp
y teniendo en cuenta que v = 40 resulta r 2 h = 40 ! h = 40 de donde,
r2 luego, c 0 (r) = 8rp
8rp
c = 4r 2 p + 2rhp = c = 4r 2 p + 2r 40
r 2 p = 4r2 p + 80
r p
80
p, con lo que resulta,
r2 80
r p = 0 ! 8r 80
2 r = 0 ! 8r 80
! r 3 = 80
2 r 2 8 = 10
Comprobamos que realmente se trata de un mínimo, a partir de la segunda derivada:
la altura correspondiente será:
h = q 40 =
3 100
2
c 00 (r) = 8 + 160
r 3 =) c 00 (r) > 0 ! Mínimo
40
q = 40
r r
1000 10
3p = 4 3
3 100 3 100 100 = 4 3 = 4r
2
! r = 3 r
10
Arenas A. 103 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Ejemplo .78 Hallar el punto más cercano y más alejado de la parábola y = 4
(0; 1).
x 2 al punto
Solución: Consideremos un punto genérico X (x; y) de la parábola y = 4
punto P (0; 1) vendrá denida por la expresión:
x 2 . Su distancia al
y = 4 x 2
d =
q
(x 0) 2 + (y 1) 2
Cuyo valor ha de ser máximo o mínimo. Ahora bien, para facilitar la rasolución del problema,
eliminamos la raíz cuadrada elevando al cuadrado.
d 2 = x 2 + (y 1) 2
y teniendo en cuenta el valor de y = 4
x 2 resulta:
d 2 = x 2 + 4 x 2 1 = x 2 + 3 x 2 2
= x 2 + 9 6x 2 + x 4 = x 4 5x 2 + 9
Y dado que, al ser d positivo, el valor máximo o mínimo de d se corresponde con el de d 2 ,
podemos optimizar la expresión:
Halllamos los puntos críticos
g (x) = d 2 = x 4 5x 2 + 9
g 0 (x) = 4x 3 10x ! x 4x 2 10 r
5
= 0 ! x = 0; x =
2
Para estudiar la naturaleza de los puntos críticos podemos acudir al signo de la segunda derivada:
g 00 (x) = 12x 2 10
Arenas A. 104 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
g 00 (0) = 10 ! Máximo relativo
q
g
+
00 5
= 12 5 10 = 30 10 = 20 ! Mínimo relativo
2
2
q
g 00 5
= 12 5 10 = 30 10 = 20 ! Mínimo relativo
2
2
El máximo relativo no es el máximo absoluto, ya que la función no tiene máximo absoluto por
alejarse hacia el innito.
El mínimo absoluto estará en uno de los dos mínimos relativos, para determinar hallamos el
valor de la función g en cada uno de ellos.
g
q
5
+
2
= 25
4
25
2
+ 9 =
25 50 + 36
4
= 11 q
4 = g
Luego los puntos de la parábola y = 4 x 2 que se encuentran más cercano al punto (0; 1) son:
q
q
5
5
f + = 4 = 3 5
! P
2
2 2 1
+ ; 3 2 2
q
q
5
5
f = 4 = 3 5
! P
2
2 2 2 ; 3 2 2
mientras que le punto más alejado no existe.
5
2
EJERCICIOS .6
1. Una curva tiene la ecuación y = f (x).
a) Encuentre una expresión para la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
P (3; f (3)) y Q (x; f (x)).
b) Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente en P .
2. Suponga que un objeto se mueve con la función de posición s = f (t).
a) Escriba una expresión para la velocidad promedio del objeto en el lapso t = a a
t = a + h.
b) Escriba una expresión para la velocidad instantánea en el instante t = a.
3. Considere la pendiente de la curva dada en cada uno de los cinco puntos que se muestran.
Arenas A. 105 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Enumere estas cinco pendientes en orden decreciente y explique su razonamiento.
4. Graque la curva y = e x en las pantallas [ 1; 1] por [0; 2] ; [ 0;5; 0;5] por [0;5; 1;5] y
[ 0;1; 0;1] por [0;9; 1;1]. ¿Qué advierte acerca de la curva a medida que se acerca al punto
(0; 1)
5. Encuentre la pendiente de la recta tangent a la parábola y = x 2 + 2x, en el punto ( 3; 3)
a) Encuentre la ecuación de la recta tangente del inciso.
b) Graque la ecuación de la parábola y la recta tangente. Como una comprobación de
su solución, acérquese al punto P ( 3; 3) hasta que no pueda distinguir la parábola
y la recta tangente.
6. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y = x 3 , en el punto P ( 1; 1)
a) Encuentre la ecuación de la recta tangente del inciso.
b) Graque la curva y la recta tangente en pantallas cada vez más pequeñas con centro
en ( 1; 1) hasta que parezca que coinciden la curva y la recta.
7. Encuentre la ecuación de la recta tamgente a la curva, en el punto dado: y = p x; P (1; 1)
a) Encuentre la ecuación de la recta tamgente a la curva, en el punto dado: y =
x
; P (0; 0)
(1 x)
b) Encuentre la ecuación de la recta tamgente a la curva, en el punto dado: y = 1
x ; P 2; 1
2 4
8. Halle la pendiente de la tangente a la parábola y = 1 + x + x 2 , en el punto donde x = a.
a) Encuentre las pendientes de las rectas tangentes en los puntos cuyas coordenadas
1
son: 1;
2 y 1
b) Graque la curva y las tres tangentes en una pantalla común.
9. Encuentre la pendiente de la tengente a la curva y = x 3 4x + 1 en el punto donde x = a
a) Halle las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (1; 2) y (2; 1).
b) Graque la curva y las dos tangentes en una pantalla común.
Arenas A. 106 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
10. Encuentre lapendiente de la tangente a la parábola y =
1
p 5 2x
en el punto donde x = a.
a) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (2; 1) y
b) Trace las grácas de la curva y las dos tangentes en una pantalla común.
11. La gráca muestra la función de posición de un automóvil. Use la forma de la gráca para
explicar las respuestas que dé a las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del automóvil
b) ¿El automóvil viajaba más rapido en B o en C
c) ¿El automóvil desacelera o aceleraba en A; B y C
d) ¿Qué sucedió entre D y E
2; 1 3
.
12. Valeria conduce en una carretera. Graque la función de posición del auto si maneja de
la siguiente manera: En el instante t = 0 min, el automóvil pasa frente el mojón que
marca la milla 15 a una velocidad constante de 55 mi/h, que conserva durante una hora.
A continuación, disminuye gradualmente la velocidad durante un periodo de dos minutos
hasta que se detiene a comer. La comida dura 26 min; enseguida, vuelve a arrancar y
acelera en forma gradual hasta 65mi/h, durante dos minutos. Conduce a una velocidad
constante de 65mi/h durante dos horas y después, durante un periodo de tres minutos,
disminuye su velocidad gradualmente hasta que se detiene por completo.
13. Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 40 ft/s, su altura (en pies) después
de t segundos se expresa con y = 40t 16t 2 . Encuentre la velocidad cuando t = 2.
14. Si en la Luna se dispara una echa hacia arriba con una velocidad de 58 m/s, su altura (en
metro) después de t segundos se expresa con H = 58t 0;83t 2 .
a) Encuentre la velocidad de la echa después de un segundo.
b) Halle la velocidad de la echa cuando t = a.
c) ¿Cuándo chocará la echa contra la Luna
Arenas A. 107 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
d) ¿Con qué velocidad chocará contra la Luna
15. La ecuación del movimiento s = 4t 2 + 6t + 2 denota el desplazamiento (en metros) de
una particula que se mueve en línea recta. En dicha expresión, t se mide en segundos.
Encuentre la velocidad de la partícula en los instantes t = a; t = 1; t = 2; t = 3.
16. Se coloca una lata tibia de gaseosa en un refrigerador frío. Graque la temperatura de la
gaseosa como función del tiempo. ¿La razón inicial de cambio de la temperatura es mayor
o menor que la razón de cambio después de una hora
17. En la tabla se da la población P (en miles) de la ciudad de San José, California,1984 hasta
1994.
año 1984 1986 1988 1990 1992 1994
P 695 716 733 782 800 817
18. Encuentre la razón promedio de crecimiento.
De 1986 a 1992
De 1988 a 1992
De 1990 a 1992
De 1992 a 1994. (En cada caso, incluya las unidades)
18. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es
C (x) = 5000 + 10x + 0;05x 2 :
a) Encuentre la razón promedio de cambio de C con respecto a x, cuando se cambia el
nivel del producción: i) de x = 100 a x = 105; ii) de x = 100 a x = 101
b) Halle la razón instantánea de cambio C con respecto a x, cuando x = 100. (Esto se
conoce como costo maginal)
19. Si un tanque cilíndrico contiene 100;000 galones de agua que se pueden drenar por el
fondo del depósito en 1 h, la Ley de Torricelli da el volumen V del agua que queda después
de t minutos como:
V (t) = 100000 1
2
t
0 t 60
60
Encuentre la rapidez con que uye el agua hacia afuera del tanque (la razón instantánea
de cambio V con respecto a t) como función t. ¿Cuáles son sus unidades Para los instantes
t = 0; 10; 20; 30; 40; 50 y 60, encuentre el gasto y la cantidad de agua que queda
en el tanque. Resuma sus hallazgos en una oración o dos. ¿En qué instante el gasto es
máximo¿Cuándo es mínimo
20. Si la recta tangente a y = f (x), en (4; 3), pasa por el punto (0; 2), encuentre f (4) y f 0 (4).
21. Graque una función f para la cual f (0) = 0; f 0 (0) = 3; f 0 (1) = 0 y f 0 (2) = 1.
22. Trace la gráca de una función g para la cual g (0) = 0; g 0 (0) = 3; g 0 (1) = 0 y g 0 (2) = 1.
Arenas A. 108 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
23. Si f (x) = 3x 2 5x, encuentre f 0 (2) y úsela para hallar la ecuación de la recta tangente
a la parábola y = 3x 2 5x, en el punto (2; 2).
24. Si g (x) = 1 x 3 , encuentre g 0 (2) y úsela para hallar la ecuación de la recta tangente a la
curva y = 1 x 3 , en el punto (0; 1).
25. Si F (x) = x 3 5x + 1, encuentre F 0 (1) y úsela para hallar una ecuación de la recta
tangente a la curva y = x 3 5x + 1, en el punto (1; 3).
a) Ilustre el inciso a) trazando y la recta tangente en la misma pantalla.
x
26. Si G (x) =
(1 + 2x) , encuentre G0 (a) y úsela para hallar una ecuación de la recta tangente
a la curva y =
x
(1 + 2x) , en el punto 1
; 1
4 2
:
a) Ilustre el inciso a) trazando la curva y la recta tangente en la misma pantalla.
27. Sea g (x) = tan x. Estime el valor de g 0 de dos maneras.
4
a) Aplique la denición
28. Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con la ecuación del movimiento
s = f (t), donde s se mide en metros y t en segundos. Encuentre la velocidad cuando
t = 2.
a) f (t) = t 2 6t 5
b) f (t) = 2t 3 t 1
29. El costo de producir x onzas de oro proveniente de una nueva mina es de C = f (x)
dólares.
a) ¿Cuál es el signicado de la derivada f 0 (x)¿Cuáles son sus unidades
b) ¿Qué signica la proposición f 0 (800) = 17
c) ¿Piensa que los valores de f 0 (x) aumentarán o disminuirán a corto plazo¿Qué puede
decir acerca del largo plazoExplique.
30. La cantidad de bacterias después de t horas en un experimento controlado de laboratorio
es n = f (t).
a) ¿Cuál es el signicado de la derivada f 0 (5)¿Cuáles son sus unidades
b) Suponga que existe una cantidad ilimitada de espacio y de nutrientes para las bacterias.
¿Cuál es mayor f 0 (5) o f 0 (10)¿La limitación del suministro de nutrientes
inuiría en su conclusión. Explique.
31. El consumo de combustible (medido en galones por hora) de un automóvil que viaja a una
velocidad de v millas por horas es c = f (v).
a) ¿Cuál es el signicado de la derivada f 0 (v)¿Cuáles son sus unidades
b) Escriba una oración (en los términos de un lego) que explique el signicado de la
ecuación f 0 (20) = 0;05.
Arenas A. 109 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
32. La cantidad (en yardas) de cierta tela que vende un fabricante a un precio de p dólares por
yardas es Q = f (p).
a) ¿Cuál es el signicado de la derivada f 0 (16)¿Cuáles son sus unidades
b) ¿f 0 (16) es positiva o negativa Explique.
33. Una partícula se mueve según una Ley del movimiento s = f (t) = t 3 12t 2 +36t; t 0,
donde t se mide en segundos y s en metros.
a) Encuentre la velocidad en el instante t.
b) ¿Cuál es la velocidad después de 3s
c) ¿Cuándo está la partícula en reposo
d) ¿Cuándo se mueve hacia adelante
e) Encuentre la distancia total recorrida durante los primeros 8s:
f ) Dibuje un diagrama, con el n de ilustrar el movimiento de la partícula.
g) Encuentre la aceleración en el instante t y después de 3 s.
h) Trace las grácas de las funcionesde posición, velocidad y aceleración, para 0 t
8.
i) ¿Cuándo se acelera y desacelera la partícula
34. Una partícula se mueve a lo largo del eje x, con su posición en el instante t dada por
t
x (t) = ; t 0, donde t se mide en segundos y x, en metros.
(1 + t 2 )
a) Encuentre la velocidad en el instante t.
b) ¿Cuándo se mueve la partícula hacia la derecha y cuándo hacia la izquierda
c) Encuentre la distancia total recorrida durante los primeros 4 s.
d) Halle la aceleración en el instante t, ¿Cuándo es 0
e) Trace las grácas de las funciones de posición, velocidad y aceleración, para 0 t
4.
f ) ¿Cuándo se acelera y desacelera la partícula
35. La expresión s = t 3 4;5t 2 7t; t 0 da la función de posición de una particula.
a) ¿Cuándo alcanza la partícula una velocidad de 5 m/s
b) ¿Cuándo es 0 la aceleración¿Cuál es el signicado de este valor de t
36. Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 80 ft/s, entonces su
altura después de t segundos es s = 80t 16t 2 .
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota
b) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando está 96 ftarriba del piso en su camino hacia
arriba y luego hacia abajo
37. Si V es el volumen de un cubo con longitud de arista x, encuentre dV
dx
en términos de
dt dt
38. Si A es el área de un círculo con radio r, encuentre dA
dx
en términos de
dt dt
Arenas A. 110 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
39. ¿Cuáles cantidades se dan en el problema
40. ¿Cuál es la incógnita
41. Dibuje una gura de la situación para cualquier instante t.
42. Escriba una ecuación que relacione las cantidades.
43. Termine de resolver el problema.
a) Si una bola de nieve se funde de modo que su área supercial disminuye a razón de
1 cm 2 = mn, encuentre la razón a la cual disminuye al diámetro cuando es de 10 cm.
b) A mediodía, el velero A está a 150 km al oeste del velero B. El A navega hacia el
este a 35 km=h y el B hacia el norte a 25 km=h. ¿Con qué rapidez cambia la ditancia
entre las embarcaciones a las 400 P:M.
c) Un avión vuela horizontalmente a una altitud de 1 mi a una velocidad de 500 mi=h y
pasa sobre una estación de radar. Encuentre la razón a la que aumenta la distancia del
avión a la estación cuando aquél está a 2 mi de está.
d) Una farola de una calle está montada en el extremo superior de un poste de 15 ft de
alto. Un hombre cuya altura es de 6 ft se aleja del poste a una velocidad de 5 ft=s a
lo largo de una trayectoria recta. ¿Con qué rapidez se mueve la punta de su sombra
cuando el hombre está a 40 ft del poste.
44. Dos automóviles empiezan a moverse a partir del mismo punto. Una viaja hacia el sur a
60 mi=h y el otro hacia el oeste a 25 mi=h. ¿Con qué razón aumenta la ditancia entre los
dos automóviles dos horas más tardes
45. Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que está a 12 m de distancia.
Si un hombre de 2 m de alto camina desde la lámpara hacia el edicio a una velocidad
de 1;6 m=s, ¿Con qué rapidez decrece su sombra proyectora sobre el edicio cuando se
encuentra a 4 m de éste
46. Un hombre empieza a caminar hacia el norte a 4 ft=s desde un punto P . Cinco minutos
más tarde, una mujer empieza a caminar hacia el sur a 5 ft=s desde un punto a 500 ft al
este de P . ¿Con qué razón se separan 15 mn después de que la mujer empezó a caminar
47. Un diamante de béisbol es un cuadrado de 90 ft por lado. Un bateador golpea la pelota y
corre hacia la primera base a una velocidad de 24 ft=s
a) ¿Con qué razón disminuye su distancia a la segunda base cuando está a la mitad de la
distancia de la primera
b) ¿Con qué razón aumenta su distancia a la tercera base en el mismo momento
Arenas A. 111 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
48. La altura de un tríangulo crece 1 cm= mn y su área 2 cm 2 = mn. ¿Con qué razón cambia
la base del tríangulo cuando la altura es de 10 cm y el área de 100 cm 2
49. El agua se fuga de un tanque cónico invertido a razón de 10;000 cm 3 = mn, al mismo
tiempo que se bombea agua hacia el tanque con una razón constante. El tanque tiene 6 m
de altura y el diámetro en la parte superior es de 4 m. Si el nivel del agua sube a razón de
20 cm= mn cuando la altura de ese nivel es de 2 m, encuentre la razón a la que se bombea
el agua al tanque.
50. Una artesa de agua tiene 10 m de largo y una sección transversal en forma de trapecio
isóceles cuyo ancho en el fondo es de 30 cm, el de la parte superior 80 cm y la altura
50 cm. Si la artesa se llena con agua a razón de 0;2 m 3 = mn, ¿Con qué rapidez sube el
nivel del agua cuando ésta tiene 30 cm de profundidad
51. Una piscina tiene 20 ft de ancho, 40 ft de largo y 3 ft de profundidad, en el extremo
menos profundo, y 9 ft de profundidad en el más profundo. En la gura se muestra su
sección transversal. Si la piscina se llena a razón de 0;8 ft 3 = mn, ¿con qué rapidez sube
el nivel del agua cuando la profundidad en el punto más profundo es de 5 ft
52. Una cometa que está a 100 ft del suelo se mueve horizontalmente a una velocidad de
8 ft=s. ¿Con qué razón se han soltado 200 ft de cordel
53. Dos de los lados de un triángulo tienen 4 y 5 m de longitud y el ángulo entre ellos crece a
razón de 0;06 rad=s. Encuentre la razón con que aumenta el área del triángulo cuando el
angulo entre los lados de longitud ja es de =3.
54. Dos lados de un triángulo tienen longitudes de 12 m y 15 m. El ángulo entre ellos crece a
razón de 2 o = mn. ¿Con qué rapidez aumenta la longitud del tercer lado cuando el ángulo
entre los lados de longitud ja es de 60 o
55. Una cámara de televisión está a 4000 ft de la base de una plataforma de lanzamiento de
cohetes. El ángulo de elevación de la cámara tiene que cambiar a la razón correcta para
mantener el cohete en la mira. Asi mismo, el mecanismo de enfoque tiene que tomar en
cuenta la distancia creciente desde la cámara hasta el cohete que se eleva. Supongamos
que éste se eleva verticalmente y que su velocidad es de 600 ft=s cuando se ha elevado
3000 ft.
a) ¿Con qué rapidez cambia la distancia de la cámara de televisión al cohete en ese
momento
b) Si la cámara se mantiene apuntando al cohete, ¿con qué rapidez cambia el ángulo de
elevación de la cámara en ese momento
Arenas A. 112 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
56. Un faro está en una isla pequeña a 3 Km de distancia del punto más cercano P en una
línea costera recta y su luz realiza cuatro revoluciones por minuto. ¿Con qué rapidez se
mueve el haz de luz a lo largo de la línea costera cuando está a 1 Km de P
57. Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el este a 3 mi=h y la otra hacia el
noreste a 2 mi=h. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre ambas después de 15 mn
58. El minutero de un reloj tiene 8 mm de largo y el hoorario, 4 mm. ¿Con qué rapidez cambia
la distancia entre las puntas de las manecillas a la 1 en punto
59. Encuentre el límite. Aplique la regla de L'Hôpital donde resulte apropiado; explique los
casos en donde no pueda aplicarla. Si existe un método más elemental, úselo.
tan x
a) lm
x !0 x + sin x
e x
x !1x 3
b) lm
e x 1 x
c) lm
x !0 x 2
ln ln x
d) lm p
x !1 x
tan 1 2(x)
e) lm
x !0
f )
p 3x
lm x ln x
x !0 +
g) lm ln x
x !1
h) lm
x !1 x3 e x 2
i) lm
x !0
1
x
j)
x a 1
lm
x !1 x b 1
k)
sin mx
lm
x !0 sin nx
tan x
l) lm
x ! x
6 x
m) lm
x !0
1
n) lm
x !0
ñ) lm
x !1
2 x
x
cos x
x 2
csc x
ln (1 + e x )
5x
sin x
o) lm
x !0 e x
p) lm
x ! 1 xex
q) lm
x !(=2)
sec 7x cos 3x
Arenas A. 113 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
r) lm
x ! (x
) cot x
s) lm
x !0
(csc x cot x)
t) lm
x !1 xe1=x x
u) lm
x !0 +xsin x
v) lm
x !0
(1 2x) 1=x
w) lm
x !0 + (
1
x) lm
x !1 ln x
ln x)x
1
x 1
x
y) lm (sin x)tan
x !0 +
60. Use una gráca para estimar el valor del límite. Enseguida, utilice la regla de L'Hôpital
para hallar el valor exacto.
a) lm x [ln (x + 5)
x !1
ln x]
b) lm
x !=4
tan 2x
(tan x)
61. Ilustre la regla de L'Hôpital gracando f (x)
g (x) y f 0 (x)
cerca de x = 0 para ver que estas
g 0 (x)
razones tienen el mismo límite cuando x ! 0. Asi mismo, calcule el valor exacto del
límite.
a) f (x) = e x 1; g (x) = x 3 + 4x
b) f (x) = 2x sin x; g (x) = sec x 1
62. Utilice la regla de L'Hôpital para ayudarse a encontrar las asíntotas de f. Enseguida, úselas
con la información de f 0 y f 00 para gracar f. Compruebe su trabajo con un aparato
gracador.
a) f (x) = xe x
b) f (x) = ex
x
c)
(ln x)
f (x) =
x
d) f (x) = xe x2
63. Graque la función.
a) Aplique la regla de L'Hôpital para explicar el comportamiento cuando x ! 0.
b) Estime el valor mínimo y los intervalos de concavida. A continuación, use el cálculo
para hallar los valores exactos.
1) f (x) = x 2 ln x
2) f (x) = xe 1=x
Arenas A. 114 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
64. Trace la gráca de la función.
a) Explique la forma de la gráca calculando el límite cuando x ! 0 + o cuando x !
1.
b) Estime los valores máximos y mínimos y luego utilice el cálculo para hallar los valores
exactos.
c) Utilice una gráca de f 00 para hallar las coordenadas x de los puntos de inexión.
1) f (x) = x 1=x
2) f (x) = (sin x) sin x
65. Investigue la familia de curvas dada por f (x) = xe cx , donde c es un número real. Empiece
por calcular los límites cuando x ! 1. Identique cualesquiera valores de
transición de c, donde cambia la forma básica. ¿Qué sucede a los puntos máximos y mínimos
y a los puntos de inexión cuando c cambia Ilustre lo anterior gracando varios
miembros de la familia.
66. Investigue la familia de curvas dada por f (x) = x n e x , donde n es un entero positivo.
¿Qué caracteristicas comunes tienen estas curvas¿En que dieren En particular, ¿Qué
sucede a los puntos máximos y mínimos y a los puntos de inexión al crecer n Ilustre lo
anterior gracando varios miembros de la familia.
67. En la gura se muestra un sector de un círculo, con ángulo central . Sea A () el área
del segmento entre la cuerda P R y el arco P R. Sea B () el área del triángulo P QR.
A ()
Encuentre lm
x !0 + B ()
68. Si f 0 es cotinua, aplique la regla de L'Hôpital para demostrar que:
f (x + h) f (x h)
lm
h !0 2h
Explique el signicado de esta ecuación con ayuda de un diagrma.
69. Sea: jxj
x
si x 6= 0
1 si x = 0
a) Demuestre que f es continua en 0.
b) Investigua grácamente si f es diferenciable en 0 mediante varios acercamientos al
punto (0; 1) de la gráca de f.
Arenas A. 115 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
c) Demuestre que f no es diferenciable en 0. ¿Cómo puede reconciliar este hecho con
el aspecto de las grácas del inciso anterior
70. Considere el problema siguiente. Un granjero que tiene 750 ft de cerca desea encerrar
un área rectangular y dividirla en cuatro corrales, colocando cercas paralelas a uno de los
lados del rectángulo. ¿Cuál es el área total máxima posible de los cuatro corrales
a) Dibuje varios diagramas en que ilustre la situación, algunos con corrales cortos y
anchos, y otros con corrales largos y angostos. Encuentre las áreas totales de estas
conguraciones. ¿Parece que existe un área máxima Si es así, estímela.
b) Dibuje un diagrama en que ilustre la situación general. Introduzca la notación y marque
el diagrama con sus símbolos.
c) Escriba una expresión para el área total.
d) Use la información dada para escribir una ecuación que relacione las variables.
e) Utilice el inciso anterior para escribir el área total como función de una variable.
f ) Termine de resolver el problema y compare la respuesta con la estimación que hizo
que hizo en el inciso a).
71. Considere el problema siguiente: Se va a construir una caja con la parte superior abierta a
partir de un trozo cuadrado de cartón que tiene 3 ft por lado, al recortar un cuadrado de
cada una de las cuatro esquinas y doblar los lados hacia arriba. Encuentre el volumen más
grande que puede tener la caja.
a) Dibuje varios diagramas para ilustrar la situación; algunas cajas cortas con bases
grandes y otras altas con bases pequeñas. Encuentre el volumen de varias de esas
cajas. ¿Parece que existe un volumen máximo Si es así, estímelo.
b) Dibuje un diagrama en que ilustre la situación genral.Introduzca la notación y marque
el diagrama con sus símbolos.
c) Escriba una expresión para el volumen.
d) Use la inforamción dada para escribir una ecuación que relacione las variables.
e) Utilice el inciso anterior para escribir el volumen como función de una variable.
f ) Termine de resolver el problema y compare la respuesta con la estimación que hizo
en el inciso a).
72. Si se cuenta con 1200 cm 2 de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte
superior abierta, encuentre el volumen máximo posible de la caja.
73. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 32;000 cm 3 .
Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado.
74. Demuestre que de todos los rectángulos con un área dada, el que tiene el perímetro menor
es un cuadrado.
a) Demuestre que de todos los rectángulos con un perímetro dado, el que tiene el área
máxima es un cuadrado.
Arenas A. 116 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
75. Un recipiente rectángular para almacenamiento, con la parte superior abierta, debe tener
un volumen de 10 m 3 . El largo de su base es el doble del ancho. El material para la base
cuesta 10 dólares por metro cuadrado. El material para los costados, 6 dólares por metro
cuadrado. Encuentre el costo de los materiales para tener el más barato de esos recipientes.
76. Una ventana normada tiene forma de rectángulo rematado por un semicírculo. (Por consiguiente,
el diámetro del semicírculo es igual al ancho del rectángulo) Si el perímetro de
la ventana es de 30 ft, encuentre las dimensiones de la ventana de modo que se admita la
cantidad más grande posible de luz.
77. Se elabora un cono para beber a partir de un trozo circular de papel de radio R, al recortar
un sector y unir los bordes CA y CB. Encuentre la capacidad máxima del cono.
78. Para un pez que nada a una velocidad v con relación al agua, el consumo de energía por
unidad de tiempo es proporcional a v 3 . Se cree que el pez migratorio trata de minimizar la
energía total requerida para nadar una distancia ja. Si nada contra una corriente u (u < v),
L
el tiempo requerido para nadar una distancia L es y la energía total E necesaria
(v u)
para nadar la distancia se expresa mediante
E (v) = av 3 L
v u
Donde a es la constante de proporcionalidad.
a) Determine el valor de v que minimice E.
b) Dibuje la gráca de E.
Este resultado se ha comprobado de manera experimental; el pez migratorio nada contra la
corriente a una velocidad 50 % mayor que la velocidad de esa corriente.
80 Se va a construir un armazón de una cometa a partir de seis razones de madera. Se han
cortado los seis trozos exteriores con las longitudes que se indican en la gura. Para max-
Arenas A. 117 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
imizar el área de la cometa, ¿qué longitud deben tener los trozos diagonales
81. Sean v 1 la velocidad de la luz en el aire y v 2 la velocidad de la luz en el agua. Según el
principio de Fermat, un rayo de luz viaja de un punto A en el aire a un punto B en el agua
por una trayectoria ACB que minimiza el tiempo para hacer el recorrido. Demuestre que
sin 1
sin 2
= v 1
v 2
donde 1 (el ángulo de incidencia) y 2 (el ángulo de refracción) son como se muestran en
la gura. Esta ecuación se conoce como Ley de Snell.
82. Dos postes verticales, P Q y ST , se aseguran por medio de un cable P RS extendido
desde el extremo del primer poste hasta un punto R sobre el piso y a continuación, hasta
el extremo superior del segundo poste, como se ve en la gura. Demuestre que se tiene la
longitud más corta de ese cable cuando 1 = 2
Arenas A. 118 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
83. Se dobla la esquina superior izquierda de un trozo de papel de 8 cm ancho por 12 cm de
largo para llevarla hasta el borde de la derecha, como en la gura. ¿Cómo la doblaría de
modo que se minimice la longitud del doblez En otras palabras, ¿cómo elegiría x para
minimizar
84. Se está transportando un tubo de acero por un pasillo de 9 ft de ancho. Al nal de éste
existe una vuelta a ángulo recto hacia otro pasillo más angosto de 6 ft de ancho. ¿Cuál es
la longitud del tubo más largo que se puede hacer pasar horizontalmente por la esquina
85. Se necesita ubicar un punto P en alguna parte sobre la recta AD, de modo que se minimice
la longitud total L de los cables que enlazan P con los puntos A; B; C (véase la gura).
Exprese L como función de x = jAP j y use las grácas de L y dL para estimar el valor
dx
mínimo.
86. ¿Dónde debe elegirse el punto P sobre el segmento rectilíneo AB de modo que se max-
Arenas A. 119 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
imice el ángulo
87. En un galería de arte, una pintura tiene la altura h y está colgada de modo que su borde
inferior queda a una distancia d arriba del ojo del observador (como se observa en la
gura). ¿Cuán lejos de la pared debe pararse un observador para tener la mejor vista
(En otras palabras, ¿dónde debe situarse el observador a n que se maximice el ángulo
subtendido en su ojo por la pintura
Arenas A. 120 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Arenas A. 121 Camargo B.