Tema 6: Derivadas. Técnicas de derivación

°§§¢§£UNIDAD6En x = 1 8 límx 8 1 –límx 8 1 +f (x) = lím (x 2 – 1) = 0x 8 1 –f (x) = lím (x – 1) = 0x 8 1 +f (1) = 0f (x) es continua en x = 1.Por tanto, f (x) es una función continua.Derivabilidad:Si x ? 1: f (x) es derivable y su derivada es:° 2x si x < 1f'(x) = ¢£ 1 six > 1En x = 1: Hallamos las derivadas laterales:f'(1 + ) = 1f'(1 – ) = 2°¢£No coinciden; por tanto, f (x) no es derivable en x = 1.° e –x si x Ì 021 Dada la función f (x) = ¢£ 1 – x si x Ó 0Estudia su continuidad y su derivabilidad.Continuidad:Si x ? 0: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.En x = 0:lím f (x) = lím e –x = 1x 8 0 – x 8 0 –lím f (x) = lím (1 – x) = 1f (x) es continua en x = 0.x 8 0 + x 8 0 +f (0) = 1Por tanto, f (x) es una función continua.Derivabilidad:Si x ? 0: f (x) es derivable y su derivada es:° –e –x si x < 0f'(x) = ¢£ –1 si x > 0En x = 0: Hallamos las derivadas laterales:f'(0 – ) = –1Coinciden; luego, f (x) es derivable en x = 0.f'(0 + ) = –1Por tanto, f (x) es una función derivable.° –e –x si x < 0Su derivada es f'(x) = ¢£ –1 si x Ó 0°§¢§§£°¢£Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación19