Tema 6: Derivadas. Técnicas de derivación

UNIDAD636 Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función:° x 2 + 2x – 1 si x Ì 1f (x) = ¢£ x + 1 si x > 1¿Existe algún punto en el que f'(x) = 0?Represéntala gráficamente.Continuidad:• En x ? 1: La función es continua, pues está formada por dos polinomios.• En x = 1:lím f (x) = lím (x 2 + 2x – 1) = 2x 8 1 – x 8 1lím f (x) = f (1).x 8 1lím f (x) = lím (x + 1) = 2x 8 1 + x 8 1Por tanto, la función escontinua en x = 1.f (1) = 2La función es continua en todo Á.Derivabilidad:• Si x ? 1: La función es derivable. Además:° 2x + 2 si x < 1f'(x) = ¢£ 1 si x > 1• En x = 1:f'(1 – ) = 4 ? f'(1 + ) = 1La función no es derivable en x = 1.Por tanto, la función es derivable en Á – {1}.Puntos en los que f'(x) = 0:f'(x) = 2x + 2 si x < 12x + 2 = 0 8 x = –1f'(x) = 1 si x > 1 8 f'(x) ? 0 si x > 1Por tanto, la derivada se anula en x = –1.Gráfica de f (x):°§¢§£1–1 1–1Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación29