Tema 6: Derivadas. Técnicas de derivación

°§§¢£°§°§§¢£UNIDAD6Página 1581. Estudia la derivabilidad en x 0= 3 de la función:° x 2 – 3x, x Ì 3f (x) = ¢£ 3x – 9, x > 3• Continuidad en x 0= 3:lím f (x) = lím (x 2 – 3x) = 0 lím f (x) = f (3) = 0x 8 3 – x 8 3x 8 3lím f (x) = lím (3x – 9) = 0 Por tanto, f (x) es continua en x 0= 3.x 8 3 + x 8 3• Derivabilidad en x 0= 3:§°§¢£límx 8 3 –límx 8 3 +f'(x) = lím (2x – 3) = 3 = f'(3 – )x 8 3 –f'(x) = lím (3) = 3 = f'(3 + )x 8 3 +Las derivadas laterales existeny coinciden.Por tanto, f (x) es derivable en x 0= 3. Además, f'(3) = 3.2. Calcula m y n para que f (x) sea derivable en Á:° x 2 – mx + 5, x Ì 0f (x) = ¢£ –x 2 + n, x > 0• Si x ? 0, la función es continua y derivable, pues está formada por dos polinomios.• Continuidad en x = 0:lím f (x) = lím (x 2 – mx + 5) = 5x 8 0 – x 8 0lím f (x) = lím (–x 2 Para que f (x) sea continua en x = 0,+ n) = nx 8 0 + x 8 0ha de ser: n = 5f (0) = 5• Derivabilidad en x = 0:§¢§£§límx 8 0 –límx 8 0 +f'(x) = lím (2x – m) = – m = f'(0 – )x 8 0 –f'(x) = lím (–2x) = 0 = f'(0 + )x 8 0 +Para que sea derivable en x = 0, hade ser: – m = 0 8 m = 0Por tanto, f (x) es derivable en Á para m = 0 y n = 5.Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación7