Fymm IIb luentojen betaversio

10
Näistä ensimmäinen termi on 0, sillä η(¯x) ≡ 0 reunalla, joten
∫ ( (
J[y + η] − J[y] = d n ∂f
n∑
( ) ))
x η
∂y − ∂ ∂f
∂x i ∂y xi
= 0
Ω
⇐⇒
∂f n∑
∂y −
i=1
i=1
( )
∂ ∂f
∂x i ∂(∂y/∂x i )
Luonnollisesti tulos yleistyy monen funktion funktionaalille. Tällöin Eulerin yhtälöt ovat
∂f
∂y k
−
i=1
kaikilla k = 1, . . . , n, jos
∫
J = J[y 1 , . . . , y k ] =
= 0. (2.13)
n∑
(
)
∂ ∂f
= 0 (2.14)
∂x i ∂(∂y k /∂x i )
Ω
d n xf(y 1 , . . . , y k , . . . , ∂y l
∂x m
, . . . , ¯x),
missä käydään läpi kaikkien funktioiden kaikki osittaisderivaatat.
Esimerkki 2.10 Skalaarikenttä minkowski-avaruudessa.
x 0 = ct, x 1 = x, x 2 = y ja x 3 = z sekä vaikutus
∫ ( ( ) )
S = dtd 3 1 ∂ϕ 2
x
− 1 2c ∂t 2 (∇ϕ)2 − 1 2 m2 ϕ 2 .
Jolloin:
δS = 0
⇐⇒ −m 2 ϕ − 1 ∂ ∂ϕ
c 2 ∂t ∂t + ∂2 ϕ
∂x 2 + ∂2 ϕ
∂y 2 + ∂2 ϕ
∂z 2 = 0
⇐⇒ ( 1 ∂ 2
c 2 ∂t 2 − ∆)ϕ + m2 ϕ = 0 (Klein-Gordon-yhtälö!)
2.4 Sidottu (Ehdollinen) variaatioprobleema
Etsittävä funktionaalin (taas käydään läpi kaikki osittaisderivaatat ja x ∈ R n )
∫
J[y] = d n xf(y 1 , . . . , y k , . . . , ∂y l
, . . . , ¯x) (2.15)
∂x m
stationaariset arvot ehtojen (k = 1, . . . , K)
Ω
ϕ k (y j , ∂y j
∂x i
, ¯x) := ϕ k (y 1 , . . . , y n , . . . , ∂y l
∂x m
, . . . , ¯x) = 0 (2.16)
valitessa. Ehtoja 2.16 kutsutaan holonomisiksi, jos ϕ ei riipu y i :n derivaatoista (muuten ne ovat eiholonomisia).
Taas ratkaisu löytyy Lagrangen kertojien avulla ts. tutkimalla funktionaalia
∫
K[y] =
Ω
d n x
(
f +
K∑
k=1
λ k (¯x)ϕ k (y j , ∂y j
∂x i
, ¯x)
)
. (2.17)