Fymm IIb luentojen betaversio

36
Normi:
Kantana {e i : i ∈ N}, missä
‖x‖ =
∞∑
|x i | 2 (4.11)
i=1
e i = (0, . . . , 0, }{{} 1 , 0, . . .)
i:s
Esimerkki 4.6 (L 2 (a, b)) Funktiot [a, b] → C, joille
Sisätulo:
Normi:
∫ b
a
〈f|g〉 =
‖f‖ =
dx|f(x)| 2 < ∞.
∫ b
a
∫ b
a
dxf(x) ∗ g(x) (4.12)
dx|f(x)| 2 (4.13)
Koska on oltava ‖f − g‖ = 0 ⇔ f = g, niin on samaistettava funktiot joilla ∫ b
a dx|f(x) − g(x)|2 = 0
t.s. f(x) = g(x) melkein kaikkialla. Eräs avaruuden L 2 kanta on trigonometriset funktiot (todistus
epätriviaali).
Huomautus 4.1 l p - ja L p -avaruudet voidaan määritellä vastaavasti myös, kun p ≠ 2. Tällöin avaruuksissa
ei ole sisätuloa, mutta ne ovat Banach avaruuksina varsin käyttökelpoisia.
4.2 Gram-Schmidt ja projektio
Olkoon V sisätuloavaruus ja {¯v 1 , ¯v 2 , . . .} joukko lineaarisesti riippumattomia vektoreita. Voimme rakentaa
niistä ortonormitetun joukon
{ē 1 , ē 2 , . . .}, joille 〈ē i |ē j 〉 = δ ij seuraavasti:
Valitaan
ē 1 = ¯v 1
‖¯v 1 ‖ (⇒ 〈ē 1|ē 1 〉 = 1).
Nyt
ja k 2 määrätään ehdosta
e 2 = k 2 (¯v − 〈ē 1 |¯v 2 〉ē 1 ) toteuttaa
⎛
⎞
〈ē 1 |ē 2 〉 = k 2
⎝〈ē 1 |¯v 2 〉 − 〈ē 1 |¯v 2 〉 〈ē 1 |ē 1 〉 ⎠ = 0
} {{ }
=1
1 = 〈ē 2 |ē 2 〉 = |k 2 | 2 ( ‖ ¯v 2 ‖ 2 − |〈ē 1 |¯v 2 〉| 2) .
Jatketaan induktiivisesti: Olkoon ē 1 , . . . , ē n jo rakennettu. Asetetaan
)
n∑
ē n+1 = k n+1
(¯v n+1 − 〈ē i |¯v n+1 〉ē i , (4.14)
joka toteuttaa 〈ē n+1 |ē i 〉 = 0, i = 1, 2, . . . , n ja k n+1 määrätään ehdosta
〈ē n+1 |ē n+1 〉 = 1. (4.15)
Jatkamalla näin saadaan ortonormitettu jono.
i=1