Fymm IIb luentojen betaversio

6
2.2 Funktionaalit
Funktionaalilla (funktio funktiosta) tarkoitetaan kuvausta jostain funktioluokasta M reaaliluvuille.
Merkitään F : M → R ja F:n arvoa hakasuluilla F[y]. Yleensä funktioluokka M 1 on
Esimerkkejä:
K := ”kompaktikantajaiset funktiot”
C k := ”(paloittain) k kertaa jatkuvasti derivoituvat funktiot”
L p (Ω) := ”p-integroituvat funktiot Ω:ssa, Ω ⊂ R n ”
S := ”nopeasti häviävät funktiot”
• Distribuutiot eli lineaariset funktionaalit, kuten δ-funktio:
• F : L p ([a, b]) → R,
• ”Funktionaalin Taylor-sarja”
F [y] =
δ x0 : y ↦→ y(x 0 ) =
F [y] = ∫ b
a [y(x)]p dx
∞∑
n=0
1
n!
∫ b
a
· · ·
∫ b
a
∫ ∞
−∞
δ(x − x 0 )y(x)dx
dx 1 · · · dx n K n (x 1 , . . . , x n )y(x 1 ) · · · y(x n ) (2.5)
Ylläoleva funktionaalin esitys 2.5 on itseasiassa varsin yleinen, jos ydinfunktioiksi K n sallitaan myös
distribuutiot.
Esimerkki 2.6 F [y] = ∫ ∞
−∞ [y′ (x)] 2 dx, y ∈ K voidaan esittää
F [y] =
∫ ∞ ∫ ∞
−∞
−∞
kun valitaan K 2 (x 1 , x 2 ) = −δ ′′ (x 1 − x 2 ). Perustelu:
=⇒
= −
∫ ∞
−∞
∫ ∞ ∫ ∞
dx 1 dx 2 K 2 (x 1 , x 2 )y(x 1 )y(x 2 ),
dx 1 δ(x 1 − x 2 )y(x 1 ) = y ′′ (x 2 )
−∞ −∞
∫ ∞
−∞
/ ∞
= −
−∞
=
dx 1 dx 2 (−δ ′′ (x 1 − x 2 ))y(x 1 )y(x 2 )
dx 2 y ′′ (x 2 )y(x 2 )
dx 2 y ′ (x 2 )y(x 2 )
} {{ }
∫ ∞
−∞
=0
dx 2 [y ′ (x 2 )] 2 .
Variaatiolaskennassa tutkitaan funktionaaleja, jotka ovat muotoa
J[y] =
∫ b
a
∫ ∞
+ dx 2 [y ′ (x 2 )] 2
−∞
ja perusongelma kuuluu: Mitkä ovat funktionaalin J ääriarvot joukossa
{
y ∈ C 2 ([a, b]) : y(a) = y a , y(b) = y b kiinteät } ?
f(y(x), y ′ (x), x)dx (2.6)
1 Kts. S:n määritelmää jossain???