Fymm IIb luentojen betaversio

34
3. ‖¯v + ū‖ ≤ ‖¯v‖ + ‖ū‖ (”kolmioepäyhtälö”, ∆ − ey.)
4. ‖a¯v‖ = |a| ‖¯v‖
Esimerkki 4.4 Esimerkiksi K n (esimerkki 4.1) varustettuna normilla
∑
‖x‖ = ‖(x 1 , x 2 , . . . , x n )‖ = √ n |x k | 2 (4.2)
ja polynomien avaruus V (esimerkki 4.3) varustettuna normilla
ovat normiavaruuksia. Tarkista!
Normi määrää avaruuteen myös etäisyyden eli metriikan
k=1
‖f‖ = sup |f(x)| (4.3)
x∈A
d(ū, ¯v) = ‖u − v‖ . (4.4)
Metriikka puolestaan määrää suppenemisen: Sanomme, että jono ¯v 1 , ¯v 2 , . . . suppenee kohti ¯v ∈ V jos
ja merkitsemme
lim ‖¯v n − v‖ = 0 (4.5)
n→∞
Määritelmä 4.1 (Cauchyn jono) Jono (¯v n ) ∞ n=1 on Caychyn jono, jos
¯v = lim
n→∞ ¯v n (4.6)
‖¯v n − ¯v m ‖ −→ 0, kun n, m → ∞
Huomataan, että jokainen suppeneva jono on Cauchyn jono, sillä
‖¯v n − ¯v m ‖ = ‖(¯v n − ¯v) + (¯v − ¯v m )‖ ≤ ‖¯v n − ¯v‖ + ‖¯v − ¯v m ‖ → 0, mutta päinvastainen ei ole välttämättä
voimassa kaikissa vektoriavaruuksissa. Tätä varten määritellään täydelliset normitetut vektoriavaruudet
eli Banachin avaruudet.
Määritelmä 4.2 Normitettu vektoriavaruus on täydellinen, jos jokainen Cauchyn jono suppenee eli
lim ‖¯v n − ¯v m ‖ = 0 =⇒ ∃ ¯v ∈ V s.e.
n,m→∞
lim ¯v n = ¯v
n→∞
Vektoriavaruuteen V saadaan vielä enemmän rakennetta, jos siinä on määritelty sisätulo eli skalaaritulo.
Määritelmä 4.3 (Skalaaritulo) Kuvaus V ∗ V → C, (ū, ¯v) ↦→ 〈ū|¯v〉 on skalaaritulo, jos
1. 〈ū|ū〉 ∈ R ja 〈ū|ū〉 ≥ 0 ∀ ū ∈ V .
2. 〈ū|ū〉 = 0 ⇐⇒ ū = ¯0.
3. 〈ū|¯v〉 = 〈¯v|ū〉 ∗ .
4. 〈ū|¯v + ¯w〉 = 〈ū|¯v〉 + 〈ū| ¯w〉
5. 〈ū|a¯v〉 = a〈ū|ū〉