Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
50<br />
Operaattorin A matriisielementti vektoreiden u ja v välillä on 〈u|Av〉. Jos H on separoituva ja<br />
{e i : i ∈ N} on sen o.n. kanta, voidaan kirjoittaa<br />
∞∑<br />
Ae j = e i a ij<br />
missä a ij on matriisielementti 〈e i |Ae j 〉. Jos taas<br />
u =<br />
i=1<br />
∞∑<br />
u i e i ja v =<br />
i=1<br />
niin (vrt. vektori-matriisitoimituksiin A · v ja u ∗ · A · v)<br />
ja<br />
Operaattoritulolle<br />
Av =<br />
∞∑<br />
v i Ae i =<br />
i=1<br />
∞∑<br />
j=1 i=1<br />
〈u|Av〉 =<br />
∞∑<br />
v i e i ,<br />
i=1<br />
∞∑<br />
v i a ji e j =<br />
∞∑<br />
j=1 i=1<br />
(<br />
∞∑ ∑ ∞<br />
)<br />
a ji v i e j (5.6)<br />
j=1<br />
i=1<br />
〈e i |ABe j 〉 = 〈A † e i |Be j 〉<br />
∞∑<br />
(Parseval) → = 〈A † e i |e k 〉〈e k |Be j 〉<br />
=<br />
=<br />
k=1<br />
∞∑<br />
u ∗ ja ji v i . (5.7)<br />
∞∑<br />
〈e i |Ae k 〉〈e k |Be j 〉<br />
k=1<br />
∞∑<br />
a ik b kj (5.8)<br />
k=1<br />
= (AB) ij<br />
Annetussa kannassa voidaan siis operaattoria kuvata (yl. ∞×∞) matriisilla. Adjungoidun operaattorin<br />
matriisi:<br />
a ij = 〈e i |Ae j 〉 = 〈A † e i |e j 〉 = 〈e j |A † e i 〉 ∗ = (a † ji )∗<br />
(<br />
)<br />
eli adjungoidun operaattorin matriisi on siis operaattorin matriisin hermiittinen konjugaatti (M † ) ij = (M) ∗ ji .<br />
5.3 Hermiittiset ja unitaariset operaattorit, projektio<br />
Operaattori on hermiittinen jos A † = A. Tästä seuraa<br />
Separoituvassa Hilbert avaruudessa ({e i } o.n. kanta)<br />
〈u|Av〉 = 〈A † u|v〉 = 〈Au|v〉. (5.9)<br />
a ij = 〈e i |Ae j 〉 = 〈Ae i |e j 〉 = 〈e j |Ae i 〉 ∗ = a ∗ ji,<br />
toisin sanoen hermiittisen operaattorin matriisi on hermiittinen (matriisi on hermiittinen jos M ij =<br />
M ∗ ji ).<br />
Aikaisemmin todistimme: Jos M on Hilbert avaruuden H aliavaruus niin kaikilla u ∈ H on yksikäsitteinen<br />
hajoitelma u = u ′ + u ′′ , missä u ′ ∈ M ja u ′′ ∈ M ⊥ . Määrittelemme projektio-operaattorin:<br />
P M : H → H, P M u = u ′<br />
ja kutsumme u ′ :a vektorin u kohtisuoraksi projektioksi aliavaruudelle M.