Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
42<br />
4.4 Aliavaruudet ja separoituvuus<br />
Vektoriavaruuden V vektorialiavaruus on mikä tahansa joukko W ⊂ V , jonka alkioille pätee u, v ∈<br />
W ⇒ αu + βv ∈ W kaikilla α, β ∈ C. Hilbert avaruudessa määritellään: Hilbertin avaruuden H<br />
aliavaruus H ′ on H:n vektorialiavaruus, joka on lisäksi joukkona suljettu, t.s. jos u n ∈ H ′ ∀ n ja<br />
‖u n − u‖ → 0, niin u ∈ H ′ . Jos W on H:n vektorialiavaruus, sen sulkeuma W on pienin H:n aliavaruus,<br />
joka sisältää W :n. Oleellisesti W saadaan lisäämällä W :hen kaikkien W :n alkioista muodostettujen<br />
suppenevien jonojen raja-arvot. Olkoon K H:n mielivaltainen osajoukko. K:n generoima<br />
vektorialivaruus L(K) on<br />
{ n∑<br />
}<br />
L(K) = α i u i : α i ∈ C, u i ∈ K . (4.32)<br />
i=1<br />
Vastaavasti K:n generoima H:n aliavaruus on L(K).<br />
Kuten aiemmin todettin (ilman todistusta), jos H on separoituva on olemassa numeroituva joukko<br />
K = {u 1 , u 2 , . . .} ⊂ H s.e. H = L(K). Jos H on separoituva, niin lähtien vektoreista u i voimme<br />
Gram-Schmidtin menetelmää käyttäen ja jättäen pois lineaarisesti riippuvia vektoreita muodostaa<br />
ortonormitetun joukon {e 1 , e 2 , . . .} (〈e i |e j 〉 = δ ij ) ja tällöin<br />
H = L(K) ⇐⇒ H = L({e 1 , e 2 , . . .})<br />
eli separoituvalla Hilbert avaruudella on numeroituva ortonormaali kanta.<br />
Lause 4.6 Jos H on separoituva Hilbert avaruus ja {e 1 , e 2 , . . .} on o.n. kanta, niin jokainen u ∈ H<br />
voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa<br />
u =<br />
∞∑<br />
c i e i , (4.33)<br />
i=1<br />
missä c i = 〈e i |u〉.<br />
Lauseen todistamiseksi ensin kaksi aputulosta.<br />
Apulause 4.1 Hilbert avaruuden sisätulo on jatkuva, t.s. kaikilla u ∈ H pätee<br />
lim v n = v =⇒ lim 〈u|v n〉 = 〈u|v〉.<br />
n→∞ n→∞<br />
Todistus 4.5 |〈u|v n 〉−〈u|v〉| = |〈u|v n −v〉| ≤ ‖u‖ ‖v n − v‖ → 0, missä epäyhtälö on Cauchy-Schwarzin<br />
epäyhtälö (4.8). Oikeastaan pelkkä Cauchy-Schwarzin epäyhtälö riittää kun huomaa että sisätulo on<br />
rajoitettu funktionaali.<br />
Apulause 4.2 Jos {e 1 , e 2 , . . .} on Hilbert avaruuden H o.n. kanta ja 〈v|e k 〉 = 0 kaikilla k, niin v = ¯0<br />
Todistus 4.6 Koska H = L({e 1 , e 2 , . . .}), niin v = lim n→∞ v n , missä v n = ∑ N n<br />
i=1 v n,ie i . Lisäksi<br />
〈v|e k 〉 = 0 ∀ k =⇒ 〈v|v n 〉 = 0.<br />
Nyt aputuloksen 4.1 mukaan<br />
eli v = ¯0.<br />
‖v‖ 2 = 〈v|v〉 = lim<br />
n→∞ 〈v|v n〉 = 0