Fymm IIb luentojen betaversio

24
Todistus 3.3 Tehdään vastaoletus y(x) ≠ 0 välillä [a,b], eli voidaan jakaa y:llä ja pätee
[
d Y (
yY ′ − y ′ Y )] ∣ ∣∣x
dx y
∣
= Y ′2 + Y }{{} Y ′′ − y′′
Y 2 + y′2
y y
−QY }{{}
2 Y 2 − 2 y′ ∣∣∣x
y Y Y ′
) 2 ∣
= Y 2 (q − Q) +
(Y ′ − y′ ∣∣∣x
y Y
q
Oletuksen mukaan q(x) − Q(x) ≤ 0 joten yo. derivaatta on epänegatiivinen, ja koska q(x) = Q(x) ei
päde identtisesti, niin ainakin jollain välillä se on aidosti positiivinen. Nyt integroimalla a:sta b:hen
saadaan
0 <
∫ b
a
/ b
=
a
dx d
dx
[ Y (x)
y(x)
[ Y (x)
y(x)
(
y(x)Y ′ (x) − y ′ (x)Y (x) )]
(
y(x)Y ′ (x) − y ′ (x)Y (x) )] = 0,
koska Y (a) = Y (b) = 0, mikä on tietysti ristiriita ja täytyy olla y(x) = 0 jossakin välin pisteessä.
Lause 3.5 (2. nollakohtalause) Jokaisella differentiaaliyhtälön
d 2 y(x)
dx 2 + f(x)y(x) = 0
ratkaisulla on välillä a ≤ x < ∞ äärettömän monta nollakohtaa, mikäli f on jatkuva ja f(x) ≥ m 2 > 0
jollakin m tällä välillä. Lisäksi kahden peräkkäisen nollakohdan välinen etäisyys on korkeintaan π/m.
Toisaalta, jos f(x) ≤ −m 2 < 0 jollakin m tällä välillä, niin jokaisella ratkaisulla on korkeintaan yksi
nollakohta samalla välillä.
Todistus 3.4 f(x) ≥ m 2 . Verrataan yhtälöitä y ′′ + fy = 0 ja Y ′′ + m 2 Y = 0, joista jälkimmäisen
ratkaisu on Y (x) = sin(m(x − δ)). Y:n nollakohdat ovat pisteissä x k = δ + kπ m
, k ∈ Z. Koska oletuksen
mukaan f(x) ≥ m 2 on yhtälön y ′′ +fy = 0 ratkaisulla 1. nollakohtalauseen mukaan 1 nollakohta välillä
[x k , x k+1 ] (k valittu s.e. x k ≥ a), toinen välillä [x k+1 , x k+2 ] jne., eli äärettömän monta nollakohtaa.
Lisäksi kahden peräkkäisen nollakohdan väli < π/m, sillä muuten δ:n sopivalla valinnalla voitaisiin
konstruoida tilanne, jossa y:n nollakohdista yksikään ei osuisi välille [x n , x n+1 ] jollakin n.
f(x) ≤ −m 2 . Verrataan yhtälöitä y ′′ + fy = 0 ja Y ′′ − m 2 Y = 0. Jos ensimmäisen yhtälön ratkaisulla
olisi 2 nollakohtaa x 1 ja x 2 (x 1 < x 2 ), niin 1. nollakohtalauseen mukaan jälkimmäisen yhtälön jokaisella
ratkaisulla olisi ainakin yksi nollakohta välillä [x 1 , x 2 ]. Kuitenkaan esimerkiksi funktiolla Y (x) = e mx ,
joka ratkaisee jälkimmäisen yhtälön, ei ole nollakohtaa millään reaaliluvulla, eikä siis myöskään välillä
[x 1 , x 2 ]. y:llä voi siis olla korkeintaan yksi nollakohta.
Palataan taas S-L yhtälön pariin, joka oltiin jo muutettu muotoon (3.29), missä R ja Q jatkuvia ja R
epänegatiivinen. Jatketaan R ja Q (jatkuvasti) alueeseen x > b kaavoilla
R(x) = R(b) ja Q(x) = Q(b) , kun x > b.
Nyt differentiaaliyhtälöiden olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen mukaan yhtälöllä (3.29) on jokaisella
λ välillä [a,B] B > b yksikäsitteinen ratkaisu z(λ, x), joka toteuttaa ehdot z(a) = 0, z ′ (a) = 1.
Koska Q ja R ovat jatkuvia ja siten rajoitettuja, löytyy aina ¯λ s.e. Q(x) + ¯λR(x) ≤ −m 2 < 0 välillä