Fymm IIb luentojen betaversio

14
2.7 Funktionaaliderivaatta
Variaatiolaskenta voidaan muotoilla tavallista differentiaalilaskentaa vastaavaan muotoon funktionaaleille
F [y], joiden määrittelyjouko on funktioavaruus S (nopeasti häviävät funktiot) tai K (kompaktin
kantajan funktiot). Määritellään tätä varten δ-jono:
Määritelmä 2.3 Funktiot δ 1 (x), δ 2 (x),... muodostavat δ-jonon jos
1)
∫ ∞
2) lim
n→∞
dxδ n (x) = 1
−∞
∫ ∞
−∞
∀ n ∈ N
dxf(x)δ n (x) = f(0)
, kun f ∈ K tai f ∈ S
δ-jonoja on useita, esimerkiksi
⎧
⎨ 0 , x < −(2n) −1
1) δ n (x) = n , −(2n) −1 ≤ x ≤ (2n) −1
⎩
0 , (2n) −1 < x
2) δ n (x) = √ n e −n2 x 2
π
3) δ n (x) = sin(nx)
πx
4) δ n (x) = n 1
π 1 + n 2 x 2 .
Haluamme tietää kuinka paljon F [y] muuttuu, kun y(x) muutetaan hieman x = x ′ :n ympäristössä.
Tavanomaiselle tapaukselle analogisesti määritellään funktionaaliderivaatta:
Määritelmä 2.4 (Funktionaaliderivaatta)
Ja tästä heti muutama esimerkki:
δF
δy(x ′ ) = lim lim 1 (
F [y + ɛδn (x − x ′ )] − F [y] ) (2.30)
n→∞ ɛ→0 ɛ
Esimerkki 2.13
F 1 [y] =
F 1 [y + ɛδ n (x − x ′ )] =
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
dx[y(x)] p + ɛp
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
dx[y(x)] p p ≥ 1
dx[y(x) + ɛδ n (x − x ′ )] p
−∞
dxy p−1 (x)δ n (x − x ′ ) + O(ɛ 2 ),
joten
(
F1 [y + ɛδ n (x − x ′ )
)] − F 1 [y]
ɛ
=⇒ δF 1
δy(x ′ )
−→
ɛ→0
∫ ∞
p dxy p−1 (x)δ n (x − x ′ )
−∞
−→
n→∞ pyp−1 (x ′ )
= py p−1 (x ′ )