Fymm IIb luentojen betaversio

16
likimääräisesti yksikköneliössä Ω = (0, 1) × (0, 1), kun u(x, y) = 0 reunalla. Huomataan, että 2.34 on
Eulerin yhtälö funktionaalille
∫ 1 ∫ (
1
(∂u ) 2 ( ) ∂u 2
J[u] = dxdy + + 2ρ(x, y)u(x, y))
∂x ∂y
Euler :
Yritefunktioiksi ϕ i voidaan valita esim.
0
0
∂ ∂f
+ ∂ ∂f
− ∂f
∂x ∂u x ∂y ∂u y ∂u = 2u xx + 2u yy − 2ρ(x, y) = 0
ϕ 1 (x, y) = xy(1 − x)(1 − y) , (selvästi ϕ| ∂Ω = 0)
0
ϕ 2 (x, y) = xϕ 1 (x, y) , ϕ 3 (x, y) = yϕ 1 (x, y)
ϕ 4 (x, y) = x 2 ϕ 1 (x, y) , ϕ 5 (x, y) = y 2 ϕ 1 (x, y)
ϕ 6 (x, y) = xyϕ 1 (x, y)
0
i,j
jne. jne.
niin pitkälle kuin sielu sietää. Nyt yrite on u N (x, y) = ∑ N
i=1 a iϕ i (x) ja
⎛
∫ 1 ∫ 1
N∑
(
J[u N ] = dxdy ⎝ ∂ϕi ∂ϕ j
a i a j
∂x ∂x + ∂ϕ )
i ∂ϕ j
+ 2
∂y ∂y
missä
=
N∑
N∑
A ij a i a j + 2 b i a i = j(a 1 , a 2 , . . . , a N ),
i,j
A ij =
b i =
Etsitään j:n stationaariset pisteet:
∫ 1 ∫ 1
0 0
∫ 1 ∫ 1
0
0
∂j
∂a i
=
i
( ∂ϕi ∂ϕ j
dxdy
∂x ∂x + ∂ϕ i
∂y
⎞
N∑
a i ϕ i ρ⎠
i
)
∂ϕ j
= A ji (2.35)
∂y
dxdyρ(x, y)ϕ i (x, y) (2.36)
N∑
(A ij a j + A ji a j ) + 2b i
j
⎛
= 2 ⎝b i +
kun A ij :t ja b i :t kerätään matriiseiksi. Ratkaisu on siis
ū(x, y) =
N∑
j
A ij a j
⎞
⎠ = 0
⇐⇒ Aa = −b, (2.37)
ā = −A −1 b ts. a i = −
N∑
(A −1 ) ij b j (2.38)
j=1
N∑
ā i ϕ i (x, y) (2.39)
i=1
Matriisien alkioiden laskeminen ja matriisin kääntäminen onnistuu helposti tietokoneella.