Fymm IIb luentojen betaversio

12
ääriarvot, kun vaaditaan, että
K[y] =
∫ b
a
dxg(y ′ , y, x) = C = vakio. (2.22)
Tämä(kin!) ratkeaa kätevimmin Lagrangen kertojien avulla, tosin nyt kerroin on luku eikä funktio.
Etsittävä funktionaalin
L λ [y] = J[y] + λ(K[y] − C) (2.23)
stationaariset pisteet. Eulerin yhtälöt tälle ovat:
∂(f + λg)
− d
∂y dx
∂(f + λg)
∂y ′ = 0
∂L λ
∂λ = K[y] − C = 0
Esimerkki 2.12 Yhdistettävä pisteet (a, 0) ja (b, 0) annetun pituisella käyrällä (y ≥ 0) s.e. käyrän ja
x-akselin rajoittama pinta-ala on mahdollisimman suuri.
Nyt 2.21, 2.22 ja 2.23 ovat vastaavasti
Jolloin Eulerin yhtälöstä
J[y] =
K[y] =
L λ [y] =
∫ b
a
∫ b
a
∫ b
a
y(x)dx
( )
λ d y ′
√ = 1
dx 1 + (y ′ ) 2
=⇒
√
1 + (y ′ ) 2 dx = l
y ′
√
1 + (y ′ ) 2 = λ−1 (x − C 1 )
y(x) + λ √ 1 + (y ′ ) 2 dx − λl.
⇐⇒ dy
dx = ± x − C
√ 1
λ 2 − (x − C 1 ) = ± d √
λ 2 dx
2 − (x − C 1 ) 2
=⇒ y − C 2 = ± √ λ 2 − (x − C 1 ) 2
=⇒ (x − C 1 ) 2 + (y − C 2 ) 2 = λ 2 (2.24)
2.24 on ympyrän yhtälö. Lisäki y(a) = y(b) = 0, joten (muutaman välivaiheen jälkeen)
C 1 = a + b
√
ja C 2 = − λ
2
2 (b − a)2
− .
4
Lisäksi λ määräytyy ehdosta
∫ b
dx
K[y] = λ √
λ 2 − (x − C 1 ) 2
= λ
a
∫ (b−a)/2λ
−(b−a)/2λ
sij. t = (x − C 1 )/λ
( )
dt
(b − a)
√ = 1 − t 2 2λsin−1 = l. (2.25)
2λ