Fymm IIb luentojen betaversio

32
joka ei ole kovin kaukana eksaktista ratkaisusta 5, 7832.
Lopetamme tämän kappaleen pienellä lisätarkastelulla. Olkoon L Sturm-Liouville-operaattori (3.7). Mitkä ovat funktionaalin
F RR [u] = N[u]
D[u]
(3.65)
stationaariset pisteet, kun
∫ b
N[u] = dxu(x)Lu(x)
a
∫ b
=
a
−
dx
[p(x)(u ′ (x)) 2 + q(x)u(x) 2]
(
p(b)u ′ (b)u(b) − p(a)u ′ (a)u(a)
)
(3.66)
ja
∫ b
D[u] = dxw(x)u(x) 2 . (3.67)
a
Olkoon λ n L-operaattorin ominaisarvot ja ϕ n niitä vastaavat normitetut ( ∫ b
a dxw(x)ϕ n(x) 2 = 1) ominaisfunktiot (n ∈ N). Tällöin siis
Lϕ n(x) = λ nw(x)ϕ n(x)
∫ b
dxw(x)ϕ n(x)ϕ m(x) = δ nm.
a
ja
Jos kyseessä on säännöllinen ongelma, niin ϕ n : n ∈ N on täydellinen ja voidaan kirjoittaa
∞∑
u(x) = a nϕ n(x), (3.68)
n=1
joten
∞∑ ∞∑
∫ b
N[u] =
a ma n dxϕ m(x)Lϕ m(x)
n=1 m=1
a
∞∑ ∞∑
=
a ma nλ nδ mn
n=1 m=1
=
∞∑
λ na 2 n (3.69)
n=1
ja
sekä
Stationaariset pisteet:
eli
∞∑
D[u] = a 2 n (3.70)
n=1
F RR [u] = N[u] ∑ ∞n=1
D[u] = λ na 2 n
∑ ∞n=1 a 2 =: f RR (a 1 , a 2 , . . .). (3.71)
n
∂f RR
∂a i
= 2λ ia i
∑ ∞n=1 a 2 n
2a i
− F RR [u] ∑ ∞n=1 a 2 = 0
n
∑ ∞n=1
λ na 2 n
λ i = F RR [u] = ∑ ∞n=1 a 2 . (3.72)
n
Ratkaisu: a n = 0, kun n ≠ i ja a i mielivaltainen sekä u(x) = a i ϕ i (x). Lisäksi F [a i ϕ i ] = λ i riippumatta a i :n arvosta. Minimin F [a 1 ϕ 1 ] = λ 1 antava
ϕ 1 on vakiokerrointa vaille yksikäsitteinen ja muut ratkaisut ovat satulapisteitä. Kuitenkin funktiot a nϕ n on funktionaalin F RR minimejä avaruudessa
{
F n = u(x) :
∫ b
a
}
dxw(x)u(x)ϕ k (x) = 0, k = 1, 2, . . . , n − 1
(3.73)
4 Hilbertavaruuksista
4.1 Vektori-, normi- ja sisätuloavaruudet
Tästä eteenpäin skalaarikunta on K = C tai R. Määritellään, että joukko V on (K-kertoiminen)
vektoriavaruus, jos jokaista paria ¯v, ū ∈ V vastaa kolmas alkio ū + ¯v, sekä jokaista paria ū ∈ V ja
a ∈ K vastaa kolmas alkio aū ∈ V s.e.
1. ū + ¯v = ¯v + ū
2. ū + (¯v + ¯w) = (ū + ¯v) + ¯w
3. a(ū + ¯v) = aū + a¯v