Fymm IIb luentojen betaversio

4
eli f(x 0 ) ei olekaan maksimi, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Vastaavasti päätellään minimin
tapauksessa, että täytyy siis olla:
( ) ∂f
f(x 0 ) ääriarvo =⇒
= 0 kaikilla i = 1, . . . , n. (2.2)
∂x i x=x 0
Pisteitä, joissa kaikki osittaisderivaatat häviävät kutsutaan stationaarisiksi pisteiksi tai kriittisiksi pisteiksi,
mutta ne eivät välttämättä ole ääriarvokohtia vaan pisteen laatu on selvitettävä toisista osittasiderivaatoista.
Suoraviivainen tapa selvittää pisteen laatu on neliömuotojen
A(h) =
n∑
A ij h i h j
i,j=1
tutkiminen. Jos A(h) ≠ 0, kun h ≠ ¯0, niin neliömuoto on definiitti, muuten sitä kutsutaan indefiniitiksi
(Huom. A(¯0) = 0 kaikilla neliömuodoilla). Seuraavan lauseen todistus ohitetaan.
Lause 2.1 Stationaarinen piste x 0 on maksimi (minimi), jos
D(h) :=
n∑
i,j=1
∂ 2 ∣
f ∣∣∣x
h i h j (2.3)
∂x i ∂x j 0
on negatiivinen (positiivinen) definiitti muoto. Jos muoto on indefiniitti, niin kyseessä on ns. satulapiste.
Jos x 0 on satulapiste, niin f saa jokaisessa sen ympäristö sekä f(x 0 ):aa suurempia, että pienempiä
arvoja kuten seuraavassa esimerkissä.
Esimerkki 2.1 Olkoon f(x, y) = x 2 − y 2 ja Ω = R 2 . Nyt
∂f ∂f
= 2x ja
∂x ∂y
= −2y eli (0,0) on stationaarinen.
Kuitenkin D(h) = 2(h 2 1 − h2 2 ) on indefiniitti eli f(0, 0) ei ole ääriarvo, kuten ei kuulukaan.
Olemme edellä olettaneet, että tarkasteltava funktio on vähintään kaksi kertaa derivoituva, joten lausetta
2.1 ei voi soveltaa alueen reunapisteissä, eikä pisteissä, joissa funktio ei ole derivoituva ja tähän
liittyviä ongelmia valaiskoon seuraavat esimerkit:
Esimerkki 2.2 Olkoon f(x, y) = √ x 2 + y 2 ja Ω = R 2 .
Selvästikin f(x, y) ≥ 0 kaikilla (x, y) ∈ R 2 , joten ilmeisesti minimi on f(0, 0) = 0. Kuitenkin
∂f
∂x =
x ∂f
√ ja
x 2 + y2 ∂y =
y
√
x 2 + y 2 ,
joten derivaattoja ei ole olemassa pisteessä (0, 0). Emme siis voi päätellä pisteen laatua muuten, kuin
tietämällä että f on origoa lukuunottamatta aidosti positiivinen.
Esimerkki 2.3 Olkoon f(x, y) = x 2 − y 2 ja Ω = {¯x ∈ R 2 : |¯x| ≤ 1}.
Napakoordinaateissa f(x, y) = r 2 (cos 2 (θ) − sin 2 (θ)) = r 2 cos(2θ), joten
päätellään:
Maksimit: r = 1, θ = 0, π, jolloin f(1, 0) = f(−1, 0) = 1.
Minimit: r = 1, θ = π/2, 2π/3, jolloin f(0, 1) = f(0, −1) = −1.
Kuitenkin esim. ∂f
∣
(1,0)
= 2 ≠ 0 jne.
∂x
|f| ≤ 1 joukossa Ω. Tästä