Fymm IIb luentojen betaversio

48
Mutta
S + S − x = S + S − (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )
= S + (x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , . . .)
= (0, x 2 , x 3 , x 4 , . . .)
≠ x
⇒ S + S − ≠ id l 2.
S + ja S − eivät siis ole toistensa käänteisoperaattoreita.
Lause 5.2 (Neumannin sarja) Jos V on Banach avaruus ja A V :n operaattori s.e. ‖A‖ < 1, niin
id V − A:lla on käänteisoperaattori
∞∑
(id V − A) −1 = A n . (5.4)
Todistus 5.2 Kaikilla x ∈ V pätee
∥
∥A k ∥
x∥ ≤ ‖A‖ ∥A k−1 ∥ x∥ ≤ ‖A‖ 2 ∥A k−2 x∥ ≤ . . . ≤ ‖A‖ k ‖x‖ ,
joten A k on rajoitettu ja ∥ ∥A k∥ ∥ ≤ ‖A‖ k . Huomataan, että vektorit u n = (id V + A + A 2 + . . . + A n )x
muodostavat Cauchyn jonon (n ≥ m):
n=0
‖u n − u m ‖ = ∥ ∥(A m+1 + A m+2 + . . . + A n )x ∥ ∥
= (‖A‖ m+1 + ‖A‖ m+2 + . . . + ‖A‖ n ) ‖x‖
≤ ‖A‖m+1
1 − ‖A‖ ‖x‖
−→ 0.
Koska V on täydellinen, on olemassa u ∈ V s.e. u n → u. Määritellään operaattori T : V → V kaavalla
T x = u, joka on lineearinen ja
M∑
(T − A n )x = u − u M → ¯0.
Voimme siis kirjoittaa
Lisäksi nähdään
eli T = (id V − A) −1 .
5.2 Adjungoitu operaattori
n=0
T =
∞∑
A n .
n=0
(id V − A)T = id V + A + A 2 + . . . − A − A 2 − . . .
= id V
= T (id V − A)
Olkoon H Hilbert avaruus ja A : H → H rajoitettu operaattori H:lla. Operaattorin adjungoitu operaattori
A † : H → H määritellään yhtälön
〈u|Av〉 = 〈A † u|v〉 ∀ u, v ∈ H (5.5)