Fymm IIb luentojen betaversio

46
4.5 Hilbertin avaruuden jatkuvat funktionaalit
Olemme jo kahdesti (4.8 ja 4.1) osoittaneet, että kuvaus u ↦→ 〈v|u〉 on jatkuva kaikilla v ∈ H ja
lisäksi se on määritelmänsä mukaan lineaarinen. Seuraava lause osoittaa että kaikki Hilbert avaruuden
jatkuvat funktionaalit ovat tätä muotoa.
Lause 4.9 (Rieszin esityslause) Jos ϕ on Hilbert avaruuden jatkuva funktionaali, niin on olemassa
yksikäsitteinen vektori v ∈ H s.e. ϕ(u) = 〈v|u〉 ∀ u ∈ H.
Todistus. Olkoon V = Ker(ϕ) := {x ∈ H : ϕ(x) = 0}, joka on H:n aliavaruus: x, y ∈ V ⇒ ϕ(ax+by) =
aϕ(x) + bϕ(y) = 0. Lisäksi V on ϕ:n jatkuvuuden nojalla suljettu.
Jos V = H, niin ϕ(u) = 0 ∀ u ∈ H ja voidaan valita v = ¯0. Tämä on yksikäsitteinen, sillä 〈v|u〉 =
0 ∀ u ∈ H vain kun v = ¯0.
Jos V ≠ H, niin on olemassa ¯0 ≠ w ∈ H \ V , joka voidaan esittää w = w ′ + w ′′ , missä w ′ ∈ V ja
w ′′ ∈ V ⊥ . Huomataan
joten mielivaltaiselle u ∈ H voidaan kirjoittaa
ϕ(w ′′ ) = ϕ(w − w ′ ) = ϕ(w) − ϕ(w ′ ) = ϕ(w) ≠ 0,
u = u − ϕ(u)
ϕ(w ′′ ) w′′ + ϕ(u)
ϕ(w
} {{ }
′′ ) w′′ . (4.38)
} {{ }
∈V
∈V ⊥
Olkoon nyt v = ϕ(w ′′ ) ∗
w′′
‖w ′′ ‖ 2
∈ V ⊥ , jolloin
〈v|u〉 = ϕ(w′′ )
‖w ′′ ‖ 2 〈w′′ | ϕ(u)
ϕ(w ′′ ) w′′ 〉
= ϕ(u)
‖w ′′ ‖ 2 〈w′′ |w ′′ 〉
= ϕ(u). (4.39)
Lisäksi löydetty v on yksikäsitteinen, sillä jos 〈v|u〉 = 〈v ′ |u〉 ∀ u ∈ H, niin valitsemalla u = v − v ′
saadaan ‖v − v ′ ‖ 2 = 0 eli v − v ′ = ¯0.
Rieszin esityslause sanoo siis, että on olemassa 1-1 vastaavuus H:n ja sen duaalin H ∗ välillä (ϕ ↔ v).
5 Operaattorit
5.1 Perusominaisuudet
Olkoon V normitettu vektoriavaruus. Operaattori A on lineaarinen kuvaus A : V → V , u ↦→ Au ja
A(αu + βv) = αAu + βAv.
Lisäksi operaattori A on jatkuva jos u n → u ⇒ Au n → Au t.s. ∀ ɛ > 0 ∃ δ > 0 s.e. ‖u − v‖ < δ ⇒
‖Au − Av‖ < ɛ.
Operaattori on rajoitettu jos on olemassa K > 0 s.e. ‖Au‖ ≤ K ‖u‖ kaikilla u ∈ V ja aivan kuten
funktionaaleilla nämä kaksi ovat yhtäpitäviä ominaisuuksia.
Lause 5.1 A on rajoitettu ⇐⇒ A on jatkuva.
Todistus 5.1 ”⇒”. Olkoon ɛ > 0. Nyt
‖u − v‖ < ɛ K ⇒ ‖Au − Av‖ = ‖A(u − v)‖ < ɛ K K = ɛ.