Fymm IIb luentojen betaversio

1
Fysiikan matemaattiset menetelmät
Luentomuistiinpanot 2013
19. huhtikuuta 2013

2
Sisältö
1 Johdanto 3
2 Variaatiolaskenta 3
2.1 Kertausta: Funktion ääriarvot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Funktionaalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Eulerin yhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.1 Yleistys monen funktion funktionaaliin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 Yleistys monen muuttujan funktioihin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Sidottu (Ehdollinen) variaatioprobleema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Isoperimetrinen ongelma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Toinen variaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Funktionaaliderivaatta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8 Ritzin menetelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Sturm-Liouville-Teoria 17
3.1 Perusominaisuudet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Erikoisfunktiot ja Sturm-Liouville yhtälöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.2 Yksinkertainen esimerkki S-L ongelmasta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Itseadjungoidut operaattorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Sturmin ja Liouvillen lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 S-L operaattorin Greenin funktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Sturm-Liouville -ongelma variaatio-ongelmana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Rayleighin ja Ritzin menetelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6.1 Esimerkki: Patarummun säveltaajuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Hilbertavaruuksista 32
4.1 Vektori-, normi- ja sisätuloavaruudet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Gram-Schmidt ja projektio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Hilbert avaruudet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Aliavaruudet ja separoituvuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.5 Hilbertin avaruuden jatkuvat funktionaalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Operaattorit 46
5.1 Perusominaisuudet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 Adjungoitu operaattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Hermiittiset ja unitaariset operaattorit, projektio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 Spektraaliteoriaa 52
6.1 Ominaisvektorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2 Rajoitetun operaattorin spektri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3 Hermiittisen operaattorin spektri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.4 Spektraaliesitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.5 Rajoittamattomat operaattorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.6 Adjungoitu operaattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.7 Käänteisoperaattorin yleistys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.8 Itseadjungoidun operaattorin spetkristä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.9 Yhteys kvanttimekaniikkaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.10 Paikkaoperaattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.11 Diracin merkintätapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.12 Impulssioperaattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3
1 Johdanto
FyMM IIb:n sisältö jakaantuu kolmeen pääaiheeseen. Kurssi jatkaa siitä mihin FyMM IIa päättyi,
eli syventää erikoisfunktioiden takana olevaa teoriaa. Aluksi tosin tehdään poikkeama variaatiolaskentaan.
Variaatiolaskenta on erittäin hyödyllinen matematiikan ala. Monet käytännön ongelmat voidaan
ratkaista sen avulla. Fyysikon näkökulmasta erityisen tärkeää on klassisen mekaniikan modernimpi
Lagrangen esitys, joka perustuu siihen että tarkasteltavan systeemin dynamiikka kiteytetään vaikutusintegraaliin
S = ∫ dtL(q, ˙q, t), missä q(t) kuvaa systeemin vapausasteita. Liikeyhtälöt johdetaan sen
jälkeen variaatiolaskennan kautta etsimällä vaikutusintegraalin minimi, eli soveltamalla Mapertuisin
periaatetta
δS = 0 . (1.1)
Tarkasteltava systeemi voi olla mikä tahansa: tasolla vierivä sylinteri, sähkömagneettinen kenttä lähteineen,
painovoimakenttä Einsteinin yleisessä suhteellisuusteoriassa, hiukkasfysiikan Standardimalli,
säieteoria. Useimmat fysiikan teoriat rakennetaan lähtien liikkeelle Mapertuisin periaatteesta, niinpä
(1.1) on – vain osittain leikillisesti sanoen – Kaiken Teoria (TOE) (kunhan vain aktio S on tunnetaan).
Variaatiolaskennan jälkeen siirrytään Sturm-Liouville ongelman analysointiin. Lähes kaikki toisen asteen
differentiaaliyhtälöt voidaan kirjoittaa ns. Sturm-Liouville -muodossa. Yhtälöiden ohella tärkeitä
ovat myös reunaehdot. Jos ne ovat tiettyä tyyppiä, kyseessä on Sturm-Liouville -ongelma, jonka ratkaisut
muodostavat ortogonaalisen kannan reunaehdot toteuttavien funktioiden avaruudessa. FyMM
IIa:lla erikoisfunktioille hieman yllättäen löydetyt samankaltaiset ominaisuudet heijastavat tätä yleisempää
teoriaa.
Kurssin viimeinen teema – Hilbert-avaruudet, operaattorit ja spektraaliteoria – suuntaa sovelluksiin
kvanttifysiikassa. Kvanttimekaniikassa kutakin havaittavaa suuretta vastaa Hermiittinen operaattori.
Aaltofunktioiden avaruudessa ne palautuvat yleisesti differentiaalioperaattoreiksi. Niiden ominaisarvot
vastaavat mahdollisia mittaustuloksia ja muodostavat ns. spektrin. Aaltofunktioiden avaruudella taas
on ominaisuuksia (esim. sisätulo ja siihen pohjautuva normi, joilla muotoillaan kvanttimekaniikan
todennäköisyystulkinta) joiden perusteella se on erityinen vektoriavaruus, ns. Hilbert-avaruus. Nämä
käsitteet esitellään kurssin viimeisessä osassa.
2 Variaatiolaskenta
2.1 Kertausta: Funktion ääriarvot
Määritelmä 2.1 Olkoon f(x 1 , x 2 , .., x n ) ∈ C 2 (Ω), Ω ⊂ R n ja x 0 = (x 0 1 , x0 2 , ..., x0 n) ∈ Ω. Sanomme,
että f(x 0 ) on lokaali maksimi (minimi), jos on olemassa avoin ympäristö U x 0 s.e. f(x) ≤ f(x 0 )
(f(x) ≥ f(x 0 )) kaikilla x ∈ U x 0 \ {x 0 }.
Yleisesti maksimeja ja minimejä kutsutaan ääriarvoiksi ja pisteitä, joissa ne saavutetaan ääriarvokohdiksi
tai ääriarvopisteiksi. Välttämätön ehto lokaalille ääriarvolle saadaan funktion Taylor-kehitelmästä
pisteen ympäristössä:
f(x 0 + h) = f(x 0 ) +
n∑
i=1
∂f
x i
∣ ∣∣∣x
0h i + 1 2
n∑
i,j=1
Olkoon f(x 0 ) lokaali maksimi, h = (0, .., 0, h i , 0, .., 0) ja oletetaan ∂f
∂x i
∂ 2 ∣
f ∣∣∣x
h i h j + . . . (2.1)
∂x i ∂x j 0
> 0 ( < 0). Tällöin
f(x 0 + h) ≈ f(x 0 ) + ∂f ∣ ∣∣∣x
· h i > f(x 0 ), kun h i > 0 ( < 0),
∂x i 0

4
eli f(x 0 ) ei olekaan maksimi, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Vastaavasti päätellään minimin
tapauksessa, että täytyy siis olla:
( ) ∂f
f(x 0 ) ääriarvo =⇒
= 0 kaikilla i = 1, . . . , n. (2.2)
∂x i x=x 0
Pisteitä, joissa kaikki osittaisderivaatat häviävät kutsutaan stationaarisiksi pisteiksi tai kriittisiksi pisteiksi,
mutta ne eivät välttämättä ole ääriarvokohtia vaan pisteen laatu on selvitettävä toisista osittasiderivaatoista.
Suoraviivainen tapa selvittää pisteen laatu on neliömuotojen
A(h) =
n∑
A ij h i h j
i,j=1
tutkiminen. Jos A(h) ≠ 0, kun h ≠ ¯0, niin neliömuoto on definiitti, muuten sitä kutsutaan indefiniitiksi
(Huom. A(¯0) = 0 kaikilla neliömuodoilla). Seuraavan lauseen todistus ohitetaan.
Lause 2.1 Stationaarinen piste x 0 on maksimi (minimi), jos
D(h) :=
n∑
i,j=1
∂ 2 ∣
f ∣∣∣x
h i h j (2.3)
∂x i ∂x j 0
on negatiivinen (positiivinen) definiitti muoto. Jos muoto on indefiniitti, niin kyseessä on ns. satulapiste.
Jos x 0 on satulapiste, niin f saa jokaisessa sen ympäristö sekä f(x 0 ):aa suurempia, että pienempiä
arvoja kuten seuraavassa esimerkissä.
Esimerkki 2.1 Olkoon f(x, y) = x 2 − y 2 ja Ω = R 2 . Nyt
∂f ∂f
= 2x ja
∂x ∂y
= −2y eli (0,0) on stationaarinen.
Kuitenkin D(h) = 2(h 2 1 − h2 2 ) on indefiniitti eli f(0, 0) ei ole ääriarvo, kuten ei kuulukaan.
Olemme edellä olettaneet, että tarkasteltava funktio on vähintään kaksi kertaa derivoituva, joten lausetta
2.1 ei voi soveltaa alueen reunapisteissä, eikä pisteissä, joissa funktio ei ole derivoituva ja tähän
liittyviä ongelmia valaiskoon seuraavat esimerkit:
Esimerkki 2.2 Olkoon f(x, y) = √ x 2 + y 2 ja Ω = R 2 .
Selvästikin f(x, y) ≥ 0 kaikilla (x, y) ∈ R 2 , joten ilmeisesti minimi on f(0, 0) = 0. Kuitenkin
∂f
∂x =
x ∂f
√ ja
x 2 + y2 ∂y =
y
√
x 2 + y 2 ,
joten derivaattoja ei ole olemassa pisteessä (0, 0). Emme siis voi päätellä pisteen laatua muuten, kuin
tietämällä että f on origoa lukuunottamatta aidosti positiivinen.
Esimerkki 2.3 Olkoon f(x, y) = x 2 − y 2 ja Ω = {¯x ∈ R 2 : |¯x| ≤ 1}.
Napakoordinaateissa f(x, y) = r 2 (cos 2 (θ) − sin 2 (θ)) = r 2 cos(2θ), joten
päätellään:
Maksimit: r = 1, θ = 0, π, jolloin f(1, 0) = f(−1, 0) = 1.
Minimit: r = 1, θ = π/2, 2π/3, jolloin f(0, 1) = f(0, −1) = −1.
Kuitenkin esim. ∂f
∣
(1,0)
= 2 ≠ 0 jne.
∂x
|f| ≤ 1 joukossa Ω. Tästä

5
Esimerkin 2.2 kaltaisiin tilanteisiin ei ole systemaattista menetelmää, jolla pisteiden laatu selvitetään,
vaan ne on tarkastettava tapauskohtaisesti, kuten esimerkissä tehtiin. Esimerkissä 2.3 ongelmana oli
maksimin saaminen alueen reunalla, mutta tämä voidaan välttää seuraavilla menetelmillä.
Sidotut ääriarvot
Etsitään funktion f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) ääriarvot sidosehdoilla (m < n)
ϕ 1 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0
ϕ 2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0
.
ϕ m (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0.
Yksi mahdollisuus on ratkaista sidosehdoista m muuttujaa m-n:n jäljelle jäävän muuttujan funktioina.
Voi esimerkiksi ratkaista m ensimmäistä x 1 = x 1 (x m+1 , . . . , x n ), . . ., x m = x m (x m+1 , . . . , x n ), ja etsiä
funktion
g(x m+1 , ..., x n ) := f(x 1 (x m+1 , ..., x n ), ..., x m (x m+1 , ..., x n ), x m+1 , ..., x n )
ääriarvot, jolloin sidosehdot on automaattisesti huomioitu.
Esimerkki 2.4 funktion f(x, y) = x 2 + y 2 ääriarvot sidosehdolla
ϕ(x, y) = x + y − 1 = 0. Eli suoran y = 1 − x suurin ja pienin etäisyys origosta.
Ratkaistaan y = 1 − x ja sijoitetaan: f(x, 1 − x) = x 2 + (1 − x) 2 = 2x 2 − 2x + 1 = g(x). g:n kuvaaja
ylöspäin aukeava paraabeli eli ei maksimia, mutta yksi minimi: g ′ (x) = 4x−2 = 0 ⇐⇒ x = 1/2, jolloin
y = 1 − 1/2 = 1/2. Minimi saavutetaan siis pisteessä (1/2, 1/2) ja sen arvo on f(1/2, 1/2) = 1/2.
Yhtälöiden kääntäminen voi olla työlästä tai käytännössä mahdotonta yksinkertaisillakin sidosehdoilla,
joten usein on kätevämpi käyttää Lagrangen kertoimia:
Määritellään
Φ(x 1 , . . . , x n , λ 1 , . . . , λ m ) = f(x 1 , . . . , x n ) +
ja etsitään Φ:n ääriarvot, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m:
∂Φ
∂x i
= ∂f
∂x i
+
m∑
j=1
m∑
λ i ϕ i (x 1 , x 2 , . . . , x n ),
i=1
λ j
∂ϕ j
∂x i
= 0
∂Φ
∂λ j
= ϕ j (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0 (2.4)
Sidokset siis muuttavat hieman stationaarisehtoa 2.2 ja yhtälöt 2.4 antavat alkuperäiset sidosehdot.
Esimerkki 2.5 Jatkoa esimerkkiin 2.4
Φ(x, y, λ) = x 2 + y 2 + λ(x + y − 1), (x,y) stationaarinen:
Lisäksi ∂Φ/∂λ = x + y − 1 = 0 =⇒ x = y = 1/2.
∂Φ
∂x = 2x + λ = 0
}
∂Φ
∂y = 2y + λ = 0 =⇒ x = y

6
2.2 Funktionaalit
Funktionaalilla (funktio funktiosta) tarkoitetaan kuvausta jostain funktioluokasta M reaaliluvuille.
Merkitään F : M → R ja F:n arvoa hakasuluilla F[y]. Yleensä funktioluokka M 1 on
Esimerkkejä:
K := ”kompaktikantajaiset funktiot”
C k := ”(paloittain) k kertaa jatkuvasti derivoituvat funktiot”
L p (Ω) := ”p-integroituvat funktiot Ω:ssa, Ω ⊂ R n ”
S := ”nopeasti häviävät funktiot”
• Distribuutiot eli lineaariset funktionaalit, kuten δ-funktio:
• F : L p ([a, b]) → R,
• ”Funktionaalin Taylor-sarja”
F [y] =
δ x0 : y ↦→ y(x 0 ) =
F [y] = ∫ b
a [y(x)]p dx
∞∑
n=0
1
n!
∫ b
a
· · ·
∫ b
a
∫ ∞
−∞
δ(x − x 0 )y(x)dx
dx 1 · · · dx n K n (x 1 , . . . , x n )y(x 1 ) · · · y(x n ) (2.5)
Ylläoleva funktionaalin esitys 2.5 on itseasiassa varsin yleinen, jos ydinfunktioiksi K n sallitaan myös
distribuutiot.
Esimerkki 2.6 F [y] = ∫ ∞
−∞ [y′ (x)] 2 dx, y ∈ K voidaan esittää
F [y] =
∫ ∞ ∫ ∞
−∞
−∞
kun valitaan K 2 (x 1 , x 2 ) = −δ ′′ (x 1 − x 2 ). Perustelu:
=⇒
= −
∫ ∞
−∞
∫ ∞ ∫ ∞
dx 1 dx 2 K 2 (x 1 , x 2 )y(x 1 )y(x 2 ),
dx 1 δ(x 1 − x 2 )y(x 1 ) = y ′′ (x 2 )
−∞ −∞
∫ ∞
−∞
/ ∞
= −
−∞
=
dx 1 dx 2 (−δ ′′ (x 1 − x 2 ))y(x 1 )y(x 2 )
dx 2 y ′′ (x 2 )y(x 2 )
dx 2 y ′ (x 2 )y(x 2 )
} {{ }
∫ ∞
−∞
=0
dx 2 [y ′ (x 2 )] 2 .
Variaatiolaskennassa tutkitaan funktionaaleja, jotka ovat muotoa
J[y] =
∫ b
a
∫ ∞
+ dx 2 [y ′ (x 2 )] 2
−∞
ja perusongelma kuuluu: Mitkä ovat funktionaalin J ääriarvot joukossa
{
y ∈ C 2 ([a, b]) : y(a) = y a , y(b) = y b kiinteät } ?
f(y(x), y ′ (x), x)dx (2.6)
1 Kts. S:n määritelmää jossain???

7
2.3 Eulerin yhtälö
Johdamme välttämättömän ehdon funktionaalin J (2.6) ääriarvolle ts. löydämme ne y = y(x), joille
J[y] on stationaarinen.
Määritelmä 2.2 J[y] on stationaarinen, jos sen muutos häviää ensimmäisessä kertaluvussa, kun
muutetaan y → y(x) + η(x), missä η on y:n ”pieni” variaatio ja η(a) = η(b) = 0. Toisin sanoen
J[y] stationaarinen ⇔ δJ := J[y + η] − J[y] = 0 + O(η 2 ) kaikilla η.
Apulause 2.1 Jos y on jatkuva ja ∫ b
a
η(x)y(x)dx = 0 kaikilla jatkuvilla η, niin y(x) = 0 kaikilla
x ∈ [a, b].
Todistus 2.1 Oletetaan y(x 0 ) ≠ 0, jossakin x 0 ∈ [a, b]. y on jatkuva, joten on olemassa ɛ s.e. y(x) ei
vaihda merkkiä kun x ∈ [x 0 −ɛ, x 0 +ɛ]. Valitaan η(x) = (x−x 0 +ɛ) 2 (x−x 0 −ɛ) 2 , kun x ∈ [x 0 −ɛ, x 0 +ɛ]
ja η(x) = 0 muuten. Nyt
∫ b
∫ x0 +ɛ
{ > 0 , jos y(x0 ) > 0
η(x)y(x)dx = η(x)y(x)dx =
< 0 , jos y(x 0 ) < 0 ,
a
x 0 −ɛ
josta seuraa ristiriita. On siis oltava y(x) = 0 kaikilla x ∈ [a, b].
Olettaen f sopivan monesti derivoituvaksi voimme laskea J:n variaation f:n Taylor-kehitelmän avulla:
J[y + η] =
=
∫ b
a
∫ b
f(y + η, y ′ + η ′ , x)dx
f(y, y ′ , x)dx
a
} {{ }
=J[y]
∫ b
∂f
+
a ∂y η + ∂f
∂y ′ η′ dx + O(η 2 )
Osittaisintegroidaan viimeinen termi (sijoitus häviää, koska η(a) = η(b) = 0):
∫ b
/
∂f
b ∫
∂f b
a ∂y ′ η′ dx =
a
∂y ′ η − η d
∫
∂f
b
a dx ∂y ′ dx = − η d ∂f
dx , josta
a dx ∂y ′
∫ b
( ∂f
δJ = J[y + η] − J[y] = η
a ∂y − d )
∂f
dx ∂y ′ dx = 0
Jotta tämä pätisi kaikilla variaatioilla η, yo. apulauseesta seuraa Eulerin yhtälö:
∂f
∂y − d
dx
Esimerkki 2.7 Lyhin tason pisteet (a, y a ) ja (b, y b ) yhdistävä käyrä.
Pituuselementti: ds = √ dx 2 + dy 2 = √ 1 + (y ′ ) 2 dx. Käyrän pituus on
∫ (b,yb )
∫ b
∂f
∂y ′ = 0. (2.7)
√
J[y] = ds = 1 + (y ′ ) 2 dx , jolle Euler:
(a,y a) a } {{ }
f(y,y ′ ,x)
∂f
∂y − d ∂f
dx ∂y ′ = − d ∂f
dx ∂y ′ = 0
=⇒ d y ′
√
dx 1 + (y ′ ) = 0 2
=⇒
y ′
√
1 + (y ′ ) 2 = C = vakio
=⇒
dy
dx = α = vakio
=⇒ y = αx + β Suora!

8
Vakiot α ja β määräytyvät ehdoista y(a) = y a ja y(b) = y b . On selvää, että ääriarvo on minimi eikä
maksimi.
Jos varioitava integrandi ei riipu eksplisiittisesti x:stä, Eulerin yhtälö redusoituu ensimmäisen asteen
yhtälöksi (Beltramin identiteetti):
df
dx
=
Euler
{}}{
=
Koska oletuksen mukaan ∂f/∂x = 0, saadaan:
d
dx
=
(
f − y ′ ∂f
∂y ′ )
∂f
∂x + ∂f
∂y y′ + ∂f
∂y ′ y′′
∂f
∂x + d ∂f
y′
dx ∂y ′ + ∂f
∂f
∂x + d (
y ′ ∂f )
dx ∂y ′ .
= 0
joka on ensimmäisen kertaluvun DY y(x):lle (f annettu).
Esimerkki 2.8 Pienimmän pinta-alan pyörähdyskappale.
A[y]
= 2π
∂y ′ y′′
eli f − y ′ ∂f
∂y ′ = C = vakio, (2.8)
∫ b
a
y √ 1 + (y ′ ) 2 dx , jolloin
δA = 0 =⇒ f − y ′ ∂f
∂y ′ = C
⇐⇒
y ′
y √ 1 + (y ′ ) 2 − y ′ y √
1 + (y ′ ) = 2
⇐⇒ y ′ = 1 C
√
y 2 − C 2 separoituu
=⇒ cosh −1 ( y C ) = (x − C 2)/C
⇐⇒ y = C · cosh( x − C 2
C
) ”katenoidi”.
y
√
1 + (y ′ ) 2 = C
Taas C ja C 2 määräytyvät reunaehdoista ja on selvää, että kyseessä on minimi eikä maksimi.
2.3.1 Yleistys monen funktion funktionaaliin
Tutkittava funktionaali on nyt:
ehdolla
J = J[y 1 , y 2 , . . . , y n ] =
∫ b
a
f(y 1 , . . . , y n , y ′ 1, . . . , y ′ n, x)dx, (2.9)
y i (a) = y ia
y i (b) = y ib
kiinnitetyt, i = 1,...,n .
Varioidaan y i (x) → y i (x) + η i (x) (η i (a) = η i (b) = 0), jolloin:
∫ b n∑
( ∂f
δJ = η i (x) − d ∂f
∂y i dx
a
i=1
=⇒ ∂f − d
∂y i dx
∂f
∂y ′ i
∂y ′ i
)
dx = 0
= 0 i = 1,...,n. (2.10)

9
Yhtälöiden 2.10 (Euler-Lagrange yhtälöt) tärkeä sovellus: Lagrangen mekaniikka.
Massapiste (massa m, paikka ⃗r(t)) liikkuu potentiaalissa V (⃗r). Sillä on liike-energia 1 2 m ˙⃗r 2 , ( ˙⃗r = d⃗r
dt ) ja
potentiaalienergia V (⃗r).
Pienimmän vaikutuksen periaate: Massapisteen rata ⃗r(t), t ∈ [t a , t b ] minimoi (tarkemmin stationarisoi)
vaikutusfunktionaalin S, joka määritellään Lagrangen funktion L aikaintegraalina:
S =
∫ tb
(T − V ) dt. (2.11)
t a
} {{ }
Oletetaan, että massapiste liikkuu vapaasti potentiaalissa V (⃗r). Tällöin:
∫ tb
( )
1
S =
2 m ˙⃗r 2 − V (⃗r) dx , ja Euler-Lagrange:
t a
:=L
δS = 0 ⇐⇒ 1 2 m d dt (2 ˙⃗r) + ∇V (⃗r) = 0
⇐⇒ m¨⃗r = −∇V (⃗r) = ⃗ F (Newton!)
Esimerkki 2.9 (1-ul.) harmoninen värähtelijä.
∫ tb
( 1
S =
t a
2 mẋ2 − 1 )
2 x2 dt
δS = 0 ⇐⇒ mẍ = −kx , merk. k/m =ω 2
⇐⇒
⇐⇒
ẍ = −ω 2 x
A ja B määrätään ehdoista x(t a ) = x a , x(t b ) = x b .
x(t) = A · sin(ωt) + B · cos(ωt)
2.3.2 Yleistys monen muuttujan funktioihin
Olkoon nyt y(¯x) : R n → R, y x1 := ∂y/∂x 1 jne. Nyt 1-ulotteiselle tapaukselle analoginen variaatioongelma
on löytää funktionaalin
∫
J[y] = d n xf(y, y x1 , . . . , y xn , ¯x) , Ω ⊂ R n (2.12)
Ω
ääriarvot, kun y| ∂Ω (x) = y 0 (x), ts. y:n arvot alueen reunalla on kiinitetty. Varioidaan kuten aiemmin
y(¯x) → y(¯x) + η(¯x), missä η(¯x) = 0, kun ¯x ∈ ∂Ω.
∫
J[y + η] = d n xf(y + η, y x1 + η x1 , . . . , y xn + η xn , ¯x)
=
Ω
∫ (
)
J[y] + d n ∂f
n∑
x
∂y η + ∂f
η x1 + O(η 2 )
∂y xi
Osittaisintegroidaan summa-termiä ja käytetään divergenssiteoreemaa:
=
=
∫
∫
∫
Ω
Ω
∂Ω
d n x
d n x
d ¯S ·
n∑
i=1
n∑
i=1
(
Ω
∂f
∂y xi
η x1
∂
∂x 1
( ∂f
∂y xi
η
η
n∑
i=1
)
)
∂f
ê xi −
∂y xi
i=1
∫ (
− d n x η
Ω
∫ (
Ω
d n x
η
n∑
i=1
n∑
i=1
( ) )
∂ ∂f
∂x i ∂y xi
( ) ) ∂ ∂f
.
∂x i ∂y xi

10
Näistä ensimmäinen termi on 0, sillä η(¯x) ≡ 0 reunalla, joten
∫ ( (
J[y + η] − J[y] = d n ∂f
n∑
( ) ))
x η
∂y − ∂ ∂f
∂x i ∂y xi
= 0
Ω
⇐⇒
∂f n∑
∂y −
i=1
i=1
( )
∂ ∂f
∂x i ∂(∂y/∂x i )
Luonnollisesti tulos yleistyy monen funktion funktionaalille. Tällöin Eulerin yhtälöt ovat
∂f
∂y k
−
i=1
kaikilla k = 1, . . . , n, jos
∫
J = J[y 1 , . . . , y k ] =
= 0. (2.13)
n∑
(
)
∂ ∂f
= 0 (2.14)
∂x i ∂(∂y k /∂x i )
Ω
d n xf(y 1 , . . . , y k , . . . , ∂y l
∂x m
, . . . , ¯x),
missä käydään läpi kaikkien funktioiden kaikki osittaisderivaatat.
Esimerkki 2.10 Skalaarikenttä minkowski-avaruudessa.
x 0 = ct, x 1 = x, x 2 = y ja x 3 = z sekä vaikutus
∫ ( ( ) )
S = dtd 3 1 ∂ϕ 2
x
− 1 2c ∂t 2 (∇ϕ)2 − 1 2 m2 ϕ 2 .
Jolloin:
δS = 0
⇐⇒ −m 2 ϕ − 1 ∂ ∂ϕ
c 2 ∂t ∂t + ∂2 ϕ
∂x 2 + ∂2 ϕ
∂y 2 + ∂2 ϕ
∂z 2 = 0
⇐⇒ ( 1 ∂ 2
c 2 ∂t 2 − ∆)ϕ + m2 ϕ = 0 (Klein-Gordon-yhtälö!)
2.4 Sidottu (Ehdollinen) variaatioprobleema
Etsittävä funktionaalin (taas käydään läpi kaikki osittaisderivaatat ja x ∈ R n )
∫
J[y] = d n xf(y 1 , . . . , y k , . . . , ∂y l
, . . . , ¯x) (2.15)
∂x m
stationaariset arvot ehtojen (k = 1, . . . , K)
Ω
ϕ k (y j , ∂y j
∂x i
, ¯x) := ϕ k (y 1 , . . . , y n , . . . , ∂y l
∂x m
, . . . , ¯x) = 0 (2.16)
valitessa. Ehtoja 2.16 kutsutaan holonomisiksi, jos ϕ ei riipu y i :n derivaatoista (muuten ne ovat eiholonomisia).
Taas ratkaisu löytyy Lagrangen kertojien avulla ts. tutkimalla funktionaalia
∫
K[y] =
Ω
d n x
(
f +
K∑
k=1
λ k (¯x)ϕ k (y j , ∂y j
∂x i
, ¯x)
)
. (2.17)

11
Stationaaristen arvojen selvittämiseksi varioidaan funktiot y j ja λ k , jolloin Euler-Lagrange yhtälöt ovat
(merk. g = f + ∑ λ k ϕ k )
∂g
∂y j
−
∂g
∂λ k
−
⇐⇒
n∑
i=1
n∑
i=1
∂
∂x i
∂
∂x i
Esimerkki 2.11 Sylinteri kaltevalla tasolla.
∂g
∂(∂y j /∂x i )
∂g
∂(∂λ k /∂x i )
= 0 , kaikilla j sekä
= 0 , kaikilla k
ϕ k (y j , ∂y j
∂x i
, x i ) = 0 , kaikilla k
Kappaleella massa m, hitausmomentti I, x-taso pinnan suuntainen (x etäisyys huipulta) ja α pinnan
ja vaakatason välinen kulma:
T = 1 2 mẋ2 + 1 2 I ˙θ 2
V = mg(l − x)sin(α),
missä l on levyn pituus ja α kulma. Sidosehtona tietysti vierimisehto ẋ = R ˙θ. On siis minimoitava
S =
=
∫ t1
∫ t1 (
t 0
Ldt = T − V + λ(t)(ẋ − R ˙θ)
)
dt
t 0
( 1
2 mẋ2 + 1 2 I ˙θ 2 − mg(l − x)sin(α) + λ(t)(ẋ − R ˙θ)
∫ t1
jolle Euler-Lagrange yhtälöt ovat
t 0
d
dt
( ∂L
∂ẋ
d
dt
d
dt
)
− ∂L
Nyt 2.19 ⇒ ˙λ = I/R¨θ, sijoitetaan yhtälöön 2.18, jolloin
)
dt,
∂x = mẍ + ˙λ − mgsin(α) = 0 (2.18)
( ) ∂L
∂ ˙θ
− ∂L
∂θ = I ¨θ − R ˙λ = 0 (2.19)
( ) ∂L
∂ ˙λ
− ∂L
∂λ = R ˙θ − ẋ = 0. (2.20)
mẍ + I/R¨θ − mgsin(α) = 0.
2.20:sta seuraa ¨θ = ẍ/R ja sijoittamalla tämä saatuun yhtälöön saadaan
missä integroimisvakiot määrätään alkuehdoista.
2.5 Isoperimetrinen ongelma
(m + I/R 2 )ẍ = mgsin(α)
=⇒ x(t) = 1 mgsin(α)
2 m + I/R 2 t2 + v 0 t + x 0 ,
Vastaa sidottua variaatio-ongelmaa, mutta sidosehtona on toinen funktionaali. Toisin sanoen, mitkä
ovat funktionaalin
J[y] =
∫ b
a
dxf(y, y ′ , x) (2.21)

12
ääriarvot, kun vaaditaan, että
K[y] =
∫ b
a
dxg(y ′ , y, x) = C = vakio. (2.22)
Tämä(kin!) ratkeaa kätevimmin Lagrangen kertojien avulla, tosin nyt kerroin on luku eikä funktio.
Etsittävä funktionaalin
L λ [y] = J[y] + λ(K[y] − C) (2.23)
stationaariset pisteet. Eulerin yhtälöt tälle ovat:
∂(f + λg)
− d
∂y dx
∂(f + λg)
∂y ′ = 0
∂L λ
∂λ = K[y] − C = 0
Esimerkki 2.12 Yhdistettävä pisteet (a, 0) ja (b, 0) annetun pituisella käyrällä (y ≥ 0) s.e. käyrän ja
x-akselin rajoittama pinta-ala on mahdollisimman suuri.
Nyt 2.21, 2.22 ja 2.23 ovat vastaavasti
Jolloin Eulerin yhtälöstä
J[y] =
K[y] =
L λ [y] =
∫ b
a
∫ b
a
∫ b
a
y(x)dx
( )
λ d y ′
√ = 1
dx 1 + (y ′ ) 2
=⇒
√
1 + (y ′ ) 2 dx = l
y ′
√
1 + (y ′ ) 2 = λ−1 (x − C 1 )
y(x) + λ √ 1 + (y ′ ) 2 dx − λl.
⇐⇒ dy
dx = ± x − C
√ 1
λ 2 − (x − C 1 ) = ± d √
λ 2 dx
2 − (x − C 1 ) 2
=⇒ y − C 2 = ± √ λ 2 − (x − C 1 ) 2
=⇒ (x − C 1 ) 2 + (y − C 2 ) 2 = λ 2 (2.24)
2.24 on ympyrän yhtälö. Lisäki y(a) = y(b) = 0, joten (muutaman välivaiheen jälkeen)
C 1 = a + b
√
ja C 2 = − λ
2
2 (b − a)2
− .
4
Lisäksi λ määräytyy ehdosta
∫ b
dx
K[y] = λ √
λ 2 − (x − C 1 ) 2
= λ
a
∫ (b−a)/2λ
−(b−a)/2λ
sij. t = (x − C 1 )/λ
( )
dt
(b − a)
√ = 1 − t 2 2λsin−1 = l. (2.25)
2λ

13
2.6 Toinen variaatio
Tässä luvussa johdamme välttämättömän ehdon sille, että funktionaalin
J[y] =
∫ b
a
f(y, y ′ , x)dx (2.26)
stationaarinen piste y 0 = y 0 (x) (ts. Eulerin yhtälön ratkaisu) on minimi tai maksimi. Oletetaan,
että f:n toiset osittaisderivaatat y:n ja y’:n suhteen ovat jatkuvia. Lasketaan J pisteessä y = y(x) =
y 0 (x) + αη(x), missä α on ”pieni” ja η(a) = η(b) = 0:
J[y 0 + αη]
∫ b
( ∂f
= J[y 0 ] + α
a ∂y − d )
∂f
dx ∂y ′ η(x)dx
y=y } {{ } 0
=0 (Euler)
+ 1 ∫ b
( ∂ 2 )
f
2 α2 a ∂y 2 η2 (x) + 2 ∂2 f
∂y∂y ′ η(x)η′ (x) +
∂2 f
∂(y ′ ) 2 (η′ (x)) 2 dx
y=y
} {{ 0
}
δ 2 J
+ O(α 3 ).
Huomataan 2ηη ′ = (η 2 ) ′ ja osittaisintegroidaan δ 2 J:n keskimmäinen termi jolloin saadaan ”toinen
variaatio”
∫ b
(
δ 2 J = α2 ∂ 2 f
2 a ∂y 2 − d ∂ 2 ) (
f
∂
dx ∂y∂y ′ η 2 2 )
f
+
y=y } {{ } 0
∂(y ′ ) 2 (η ′ ) 2 dx.
y=y } {{ } 0
=:S(x)
=:R(x)
Jos nyt oletamme, että y 0 antaa J:n minimin, tällöin tietysti δ 2 J ≥ 0 kaikilla η(x). Väitämme, että
tällöin on välttämättä oltava R(x) ≥ 0, a < x < b.
Tehdään vastaoletus: löytyy x = c ∈ (a, b) s.e. R(c) < 0. Koska R on jatkuva, on olemassa δ s.e.
R(x) < 0 kaikilla c − δ ≤ x ≤ c + δ. Valitaan ɛ s.e. 0 < ɛ < δ ja määritellään
η(x) = (x − (c − ɛ)) 2 (x − (c + ɛ)) 2 , x ∈ [c − ɛ, c + ɛ] , 0 muuten.
Valitsemalla ɛ tarpeeksi pieneksi saamme
∫ b
a
∫ b
a
S(x)η 2 (x)dx ≈ S(c)
R(x)(η ′ ) 2 (x)dx ≈ R(c)
∫ c+ɛ
c−ɛ
∫ c+ɛ
Valitsemalla ɛ riittävän pieneksi (ɛ 9

14
2.7 Funktionaaliderivaatta
Variaatiolaskenta voidaan muotoilla tavallista differentiaalilaskentaa vastaavaan muotoon funktionaaleille
F [y], joiden määrittelyjouko on funktioavaruus S (nopeasti häviävät funktiot) tai K (kompaktin
kantajan funktiot). Määritellään tätä varten δ-jono:
Määritelmä 2.3 Funktiot δ 1 (x), δ 2 (x),... muodostavat δ-jonon jos
1)
∫ ∞
2) lim
n→∞
dxδ n (x) = 1
−∞
∫ ∞
−∞
∀ n ∈ N
dxf(x)δ n (x) = f(0)
, kun f ∈ K tai f ∈ S
δ-jonoja on useita, esimerkiksi
⎧
⎨ 0 , x < −(2n) −1
1) δ n (x) = n , −(2n) −1 ≤ x ≤ (2n) −1
⎩
0 , (2n) −1 < x
2) δ n (x) = √ n e −n2 x 2
π
3) δ n (x) = sin(nx)
πx
4) δ n (x) = n 1
π 1 + n 2 x 2 .
Haluamme tietää kuinka paljon F [y] muuttuu, kun y(x) muutetaan hieman x = x ′ :n ympäristössä.
Tavanomaiselle tapaukselle analogisesti määritellään funktionaaliderivaatta:
Määritelmä 2.4 (Funktionaaliderivaatta)
Ja tästä heti muutama esimerkki:
δF
δy(x ′ ) = lim lim 1 (
F [y + ɛδn (x − x ′ )] − F [y] ) (2.30)
n→∞ ɛ→0 ɛ
Esimerkki 2.13
F 1 [y] =
F 1 [y + ɛδ n (x − x ′ )] =
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
dx[y(x)] p + ɛp
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
dx[y(x)] p p ≥ 1
dx[y(x) + ɛδ n (x − x ′ )] p
−∞
dxy p−1 (x)δ n (x − x ′ ) + O(ɛ 2 ),
joten
(
F1 [y + ɛδ n (x − x ′ )
)] − F 1 [y]
ɛ
=⇒ δF 1
δy(x ′ )
−→
ɛ→0
∫ ∞
p dxy p−1 (x)δ n (x − x ′ )
−∞
−→
n→∞ pyp−1 (x ′ )
= py p−1 (x ′ )

15
Esimerkki 2.14
F 1 [y + ɛδ n (x − x ′ )] − F 1 [y]
ɛ
F 2 [y] =
−→
ɛ→0
−→
n→∞
∫ ∞
p
−∞
∫ ∞
−∞
dx[y ′ (x)] p p ≥ 1
dx[y ′ (x)] p−1 δ ′ n(x − x ′ )
∫ ∞
p dx[y ′ (x)] p−1 δ ′ (x − x ′ )
−∞
= −p d
dx [y′ (x)] p−1 ∣
∣∣∣x=x
′
= −p(p − 1)[y ′ (x ′ )] p−2 y ′′ (x ′ )
Huomaa (mm. yo. esimerkeissä), että käytännössä voidaan käyttää
δF
δy(x ′ ) = lim
ɛ→0
F [y + ɛδ(x − x ′ )] − F [y]
, (2.31)
ɛ
kunhan sovitaan, että F [y(x) + ɛδ(x − x ′ )] kehitetään vain 1. kertaluvun tarkkuudella ɛ:n suhteen.
Luonnollinen kysymys: milloin δJ/δy = 0, kun J on kuten 2.26:ssa ja miten se on tulkittava?
J[y] =
=⇒ δJ
δy(x ′ )
=
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(y, y ′ , x)dx
dx
( ∂f
∂y − d
dx
[ ∂f
∂y δ(x − x′ ) + ∂f
∂y ′ δ′ (x − x ′ )
∂f
∂y ′ )x=x ′
Eli ehto δF/δy = 0 on ekvivalentti aiemmin saadun Eulerin yhtälön kanssa, kuten tietysti kuuluukin.
2.8 Ritzin menetelmä
Menetelmä variaatio-ongelman
∫
J[y] =
Ω
d n xf(y, y x1 , . . . , y xn , ¯x) , Ω ⊂ R n (2.32)
likimääräiselle ratkaisemiselle, s.o. menetelmä etsiä Eulerin osittaisdifferentiaaliyhtälön
∂f
n∑
( )
∂y − ∂ ∂f
= 0 (2.33)
∂x i ∂(∂y/∂x i )
likimääräinen ratkaisu, kun y| ∂Ω = g on annettu. Ritzin menetelmä:
i=1
1) Etsitään N riippumatonta ratkaisua ϕ 1 , . . . , ϕ N , jotka toteuttavat ϕ i | ∂Ω = g kaikilla i = 1, . . . , N.
2) Ratkaisuyrite: u N (x) = ∑ N
i=1 a iϕ i (x).
3) Lasketaan J[u] = j(a 1 , a 2 , . . . , a n ).
4) Etsitään funktion j stationaariset pisteet (ā 1 , ā 2 , . . . , ā N ) luvun 2.1 menetelmin (myös min. max.
tarkastelu).
5) Likim. ratkaisu on ū N (x) = ∑ N
i=1 āiϕ i (x) ja J[ū N ] = j(ā 1 , ā 2 , . . . , ā N )
Esimerkki 2.15 Poisson yhtälö (ρ annettu).
Ratkaistaan
∆u = ρ(x, y) (2.34)
]

16
likimääräisesti yksikköneliössä Ω = (0, 1) × (0, 1), kun u(x, y) = 0 reunalla. Huomataan, että 2.34 on
Eulerin yhtälö funktionaalille
∫ 1 ∫ (
1
(∂u ) 2 ( ) ∂u 2
J[u] = dxdy + + 2ρ(x, y)u(x, y))
∂x ∂y
Euler :
Yritefunktioiksi ϕ i voidaan valita esim.
0
0
∂ ∂f
+ ∂ ∂f
− ∂f
∂x ∂u x ∂y ∂u y ∂u = 2u xx + 2u yy − 2ρ(x, y) = 0
ϕ 1 (x, y) = xy(1 − x)(1 − y) , (selvästi ϕ| ∂Ω = 0)
0
ϕ 2 (x, y) = xϕ 1 (x, y) , ϕ 3 (x, y) = yϕ 1 (x, y)
ϕ 4 (x, y) = x 2 ϕ 1 (x, y) , ϕ 5 (x, y) = y 2 ϕ 1 (x, y)
ϕ 6 (x, y) = xyϕ 1 (x, y)
0
i,j
jne. jne.
niin pitkälle kuin sielu sietää. Nyt yrite on u N (x, y) = ∑ N
i=1 a iϕ i (x) ja
⎛
∫ 1 ∫ 1
N∑
(
J[u N ] = dxdy ⎝ ∂ϕi ∂ϕ j
a i a j
∂x ∂x + ∂ϕ )
i ∂ϕ j
+ 2
∂y ∂y
missä
=
N∑
N∑
A ij a i a j + 2 b i a i = j(a 1 , a 2 , . . . , a N ),
i,j
A ij =
b i =
Etsitään j:n stationaariset pisteet:
∫ 1 ∫ 1
0 0
∫ 1 ∫ 1
0
0
∂j
∂a i
=
i
( ∂ϕi ∂ϕ j
dxdy
∂x ∂x + ∂ϕ i
∂y
⎞
N∑
a i ϕ i ρ⎠
i
)
∂ϕ j
= A ji (2.35)
∂y
dxdyρ(x, y)ϕ i (x, y) (2.36)
N∑
(A ij a j + A ji a j ) + 2b i
j
⎛
= 2 ⎝b i +
kun A ij :t ja b i :t kerätään matriiseiksi. Ratkaisu on siis
ū(x, y) =
N∑
j
A ij a j
⎞
⎠ = 0
⇐⇒ Aa = −b, (2.37)
ā = −A −1 b ts. a i = −
N∑
(A −1 ) ij b j (2.38)
j=1
N∑
ā i ϕ i (x, y) (2.39)
i=1
Matriisien alkioiden laskeminen ja matriisin kääntäminen onnistuu helposti tietokoneella.

17
3 Sturm-Liouville-Teoria
3.1 Perusominaisuudet
Yleinen Sturm-Liouville (S-L) yhtälö 2
(
d
p(x) du(x) )
+ (−q(x) + λw(x)) u(x) = 0, a ≤ x ≤ b. (3.1)
dx dx
Sallitaan myös arvot a = −∞, b = ∞. Lisäksi kerroinfunktioilta vaaditaan
1) p(x),q(x),w(x) reaalisia.
2) q ja w vähintään jatkuvia.
3) p jatkuvasti derivoituva ja p(x) ≠ 0, x ∈ (a, b) sekä p(x) > 0. (Tarvittaessa yhtälö kerrotaan -1:llä.)
4) w(x) > 0 x ∈ [a, b]. (Tarvittaessa λ → −λ.)
Lisäksi
jos a ≠ −∞, b ≠ ∞ ja p(a) ≠ 0 ≠ p(b), niin kyseessä on säännöllinen S-L ongelma.
Jos p(a) = 0 ja/tai p(b) = 0, S-L ongelma on singulaarinen, samoin jos a = −∞ ja/tai b = ∞.
(3.1):n lisäksi asetetaan homogeeniset reunaehdot:
Säännöllinen S-L:
Singulaarinen S-L:
A 1 u(a) + A 2 u ′ (a) = 0 (A 1 , A 2 ) ≠ (0, 0) (3.2)
B 1 u(b) + B 2 u ′ (b) = 0 (B 1 , B 2 ) ≠ (0, 0) (3.3)
p(a) ≠ 0, p(b) = 0 : (3.2) sekä |u(b)| < ∞ (3.4)
p(a) = 0, p(b) ≠ 0 : (3.3) sekä |u(b)| < ∞ (3.5)
p(a) = 0, p(b) = 0 : |u(x)| < ∞, a < x < b. (3.6)
Osoittautuu, että S-L yhtälöllä 3.1 on tilanteen mukaisilla reunaehdoilla nollasta eroavia ratkaisuja
vain tietyillä λ = λ k . Näitä kutsutaan Sturm-Liouville-operaattorin
L := − d
dx p(x) d + q(x) (3.7)
dx
ominaisarvoiksi (engl. eigenvalues). Vastaavat ratkaisut u k ovat (vakiokerrointa vaille) ominaisarvoja
vastaavat ominaisfunktiot (engl. eigenfunctions). Huomaa, että myös vakiolla kerrottu u k ratkaisee
S-L:n:
Lu = λ k wu k =⇒ LCu = λ k wCu k .
On hyödyllistä huomata, että mikä tahansa 2-kertaluvun DY voidaan muuttaa S-L-yhtälöksi, toisin
sanoen mikä tahansa operaattori
L = a 2 (x) d2
dx 2 + a 1(x) d
dx + a 0(x) (3.8)
2 q:n etumerkki Cronströmin kirjan mukainen. Esimerkiksi Arfken ja Weber käyttää +-etumerkkiä.

18
voidaan kirjoittaa muodossa L = ϕ(x)L. Kuinka?
ϕ(x)L = −ϕ(x)p(x) d2
dx 2 − ϕ(x)p′ (x) d
dx + ϕ(x)q(x)
=⇒ p′ (x)
p(x) = a 1(x)
a 2 (x)
(∫ x
=⇒ p(x) = exp
=⇒ ϕ(x) = − a 2(x)
p(x) = −a 2(x)exp
a 1 (x ′ )
)
x 0
a 2 (x ′ ) dx′ ( ∫ x
−
a 1 (x ′ )
)
x 0
a 2 (x ′ ) dx′
=⇒ q(x) = a 0(x)
ϕ(x) = −a 0(x)
a 2 (x) exp (∫ x
x 0
a 1 (x ′ )
a 2 (x ′ ) dx′ )
3.1.1 Erikoisfunktiot ja Sturm-Liouville yhtälöt
Legendren polynomit
Legendren liittofunktiot
− d [
(1 − x 2 ) dP ]
l(x)
= l(l + 1)P l (x) (3.9)
dx
dx
a = −1, b = 1, p(x) = 1 − x 2 , q(x) = 0, w(x) = 1, λ = l(l + 1)
− d
dx
[(1 − x 2 ) dP l
m
dx
]
(x)
+ m
1 − x 2 P l
m (x) = l(l + 1)Pl m (x) (3.10)
a = −1, b = 1, p(x) = 1 − x 2 , q(x) = m2
, w(x) = 1, λ = l(l + 1)
1 − x2 Besselin funktiot (R > 0 J ν :n 0-kohta, ξ = x/R ∈ [0, 1])
[
d
ξ dJ ]
ν(ξR)
+ ν2
dξ dξ ξ J ν(ξR) = R 2 ξJ ν (ξR) (3.11)
Laguerren polynomit
Laguerren liittopolynomit
Hermiten polynomit
a = 0, b = 1, p(ξ) = ξ, q(ξ) = ν2
, w(ξ) = ξ, λ = R2
ξ
− d [
xe −x dL ]
n
= ne −x L n (x) (3.12)
dx dx
a = 0, b = ∞, p(x) = xe −x , q(x) = 0, w(x) = e −x , λ = n
− d (
)
x k+1 e −x dLk l
= x k e −x nL k
dx dx
n(x) (3.13)
a = 0, b = ∞, p(x) = x k+1 e −x , q(x) = 0, w(x) = x k e −x , λ = n
− d [
e dH ]
−x2 n
= 2ne −x2 H n (x) (3.14)
dx dx
a = −∞, b = ∞, p(x) = e −x2 , q(x) = 0, w(x) = e −x2 , λ = 2n

19
3.1.2 Yksinkertainen esimerkki S-L ongelmasta
d 2 u
+ λu = 0 (3.15)
dx2 Eli S-L yhtälö, missä p(x) = 1, q(x) = 0, w(x) = 1. Asetetaan vielä reunaehdot u(0) = u(π) = 0. Millä
λ:n arvoilla löydetään 0:sta eroavia ratkaisuja? (3.15):n yleinen ratkaisu on
jolloin reunaehdoista seuraa
u(x) = C 1 e √ −λx + C 2 e −√ −λx ,
C 1 + C 2 = 0 (x = 0)
e √ −λπ C 1 + e −√ −λπ C 2 = 0 (x = π)
Yhtälöparilla on 0:sta eroavia ratkaisuja vain jos kerroindeterminantti on nolla
1 1
∣ e √ −λπ
e −√ −λπ ∣ = e√ −λπ − e −√−λπ = 0
⇐⇒ e 2√ −λπ = 1
=⇒ 2 √ −λπ = 2nπi , n ∈ Z
=⇒ λ n = n 2
Vastaavat ominaisfunktiot (merk. C 1 = C/(2i) (⇒ C 2 = −C/(2i)) ovat
u n = C 2i
(
e inx − e −inx) = Csin(x) (3.16)
Lisäksi huomataan, että n = 0, u 0 ei ole ratkaisu ja -n ja n antavat saman λ n :n, jota vastaavat u n ja
u −n = −u n eivät ole lineaarisesti riippumattomat, eli ratkaisu:
Huomioita:
• Ominaisarvot reaalisia.
Ominaisarvot λ n = n 2
Ominaisfunktiot u n = sin(nx)
• Ominaisarvot alhaalta, muttei ylhäältä rajoitettuja
, n ∈ N
• Jokaista ominaisarvoa vastaa yksi ominaisfunktio. Jos useampia lin. riippumattomia,
niin ominaisarvo on degeneroitunut.
• u n :llä n-1 nollakohtaa välillä (a, b).
• u n+1 :llä täsmälleen yksi nollakohta u n :n kahden peräkkäisen 0-kohdan välillä.
• Eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisfunktiot ortogonaalisia (L 2 :ssa), ts. m ≠ n ⇒
∫ b
a u n(x)u m (x)dx = 0 (w(x)=1).
• Ominaisfunktiot u n , n = 1, 2, . . . muodostavat täydellisen funktiojoukon (FyMM Ib).
”Mikä tahansa” F voidaan kehittää F (x) = ∑ a k u k (x) (Fourier’n sinisarja).

20
3.2 Itseadjungoidut operaattorit
Kompleksiarvoisille funktioille voidaan määritellä skalaaritulo eli sisätulo
〈f|g〉 =
∫ b
a
f ∗ (x)g(x)dx (3.17)
Nyt jokaiselle lineaariselle operaattorille A voidaan määritellä adjungoitu operaattori A † , jolle
kaikille annetut reunaehdot toteuttaville f ja g.
Esimerkki 3.1 A = d
dx
, reunaehdot f(a) = f(b) = 0.
〈f|Ag〉 =
〈f|Ag〉 = 〈A † f|g〉 (3.18)
∫ b
a
/ b
a
f ∗ (x) dg(x)
dx
dx
= f ∗ g −
} {{ }
0
∫ b
a
df ∗ (x)
dx
g(x)dx
= −〈 df
dx |g〉 =⇒ A† = − d
dx
Esimerkki 3.2 A = d2
dx 2 , reunaehdot f(a) = f(b) = 0.
〈f|Ag〉 =
∫ b
a
/ b
a
f ∗ (x) d2 g(x)
dx 2 dx
= f ∗ dg −
dx
} {{ }
0
/ b
df ∗
= −
a
dx g
} {{ }
0
∫ b
a
∫ b
+
a
df ∗ (x)
dx
= 〈Af|g〉 =⇒ A † = A
dg(x)
dx
dx
d 2 f ∗ (x)
dx 2 g(x)dx
Operaattori A, jolle A † = A, kuten yo. esimerkissä on itseadjungoitu eli hermiittinen. Matemaatikot
tosin tekevät eron näiden käsitteiden välillä liittyen operaattoreiden määrittelyjoukkoihin (palataan
myöhemmin). S-L-operaattorille (3.1) (p(x),q(x) reaalisia) pätee
〈Lu|v〉 − 〈u|Lv〉 =
ja lisäksi ”Lagrangen identiteetti” (FyMM IIa):
Yhdistämällä nämä saadaan
Reunaehdot:
∫ b
v(Lu) ∗ − u ∗ (Lv) = vLu ∗ − u ∗ Lv = d
dx
〈Lu|v〉 − 〈u|Lv〉 = −
a
/ a
b
v(Lu) ∗ − u ∗ (Lv)dx. (3.19)
[
)]
−p(x)
(v du∗ dv
− u∗ . (3.20)
dx dx
)
p(x)
(v du∗ dv
− u∗ . (3.21)
dx dx

21
1) Säännöllinen S-L ongelma
A 1 u ∗ (a) + A 2 u ′ (a) ∗ = 0
A 1 v(a) + A 2 v ′ (a) = 0.
Olkoon ensin A 2 ≠ 0, jolloin u ′ (a) ∗ = −A 1 /A 2 u ∗ (a) ja v ′ (a) = −A 1 /A 2 v(a) ja
v(a)u ′ (a) ∗ − u(a) ∗ v ′ (a) = − A 1
A 2
(v(a)u(a) ∗ −u(a) ∗ v(a)) = 0.
Jos taas A 2 = 0, A 1 ≠ 0, niin reunaehto on u(a) = v(a) = 0 jolloin
Vastaavalla tavalla päätellään, että
2) Singulaarinen S-L ongelma
v(a)u ′ (a) ∗ −u(a) ∗ v ′ (a) = 0. (3.22)
v(b)u ′ (b) ∗ − u(b) ∗ v ′ (b) = 0. (3.23)
• p(b) = 0, jolloin 3.2:sta seuraa
/ a )
− p(x)
(v du∗ dv
− u∗ = 0 · (v(b)u ′ (b) ∗ − u(b) ∗ v ′ (b)) − p(a) · 0 = 0.
b
dx dx
• p(a) = 0, jolloin 3.3:sta seuraa
/ a )
− p(x)
(v du∗ dv
− u∗ = 0 · p(b) − 0 · (v(a)u ′ (a) ∗ − u(a) ∗ v ′ (a)) = 0.
b
dx dx
• p(a) = p(b) = 0, jolloin sijoitustermi on triviaalisti 0.
Kaikissa tapauksissa siis
〈Lu|v〉 = 〈u|Lv〉, (3.24)
eli S-L-operaattori on itseadjungoitu luvun alussa annetuilla reunaehdoilla. Huomaa, että muilla reunaehdoilla
näin ei välttämättä ole. Lopuksi vielä pari huomiota, jotka ovat osa Sturmin-Liouvillen
lausetta (seuraava kappale).
Lause 3.1 Itseadjungoidun differentiaalioperaattorin ominaisarvot ovat reaalisia
Todistus 3.1 Olkoon ϕ ominaisfunktio, jolloin
mistä väite tietysti seuraa.
Lϕ = λwϕ
(3.24) =⇒ 〈Lϕ|ϕ〉 − 〈ϕ|Lϕ〉 = 0
=⇒ λ ∗ 〈wϕ|ϕ〉 − λ〈ϕ|wϕ〉 = 0
=⇒ (λ ∗ − λ)
∫ b
a
dxw(x)|ϕ(x)| 2 = 0
w(x) > 0 =⇒ λ ∗ − λ = 0, (3.25)
Lause 3.2 Kahteen erisuureen ominaisarvoon liittyvät ominaisfunktiot ovat (tietyssä mielessä) ortogonaaliset.

22
Todistus 3.2 Olkoon ϕ 1 ja ϕ 2 kahteen erisuureen ominaisarvoon λ 1 ja λ 2 liittyvät ominaisfunktiot.
Nyt (vrt. edellisen lauseen todistus)
λ 1 ≠ λ 2 =⇒
〈Lϕ 1 |ϕ 2 〉 − 〈ϕ 1 |Lϕ 2 〉 = 0
=⇒(λ 1 − λ 2 )
∫ b
a
∫ b
a
dxw(x)ϕ 1 (x) ∗ ϕ 2 (x) = 0
dxw(x)ϕ 1 (x) ∗ ϕ 2 (x) = 0
eli
〈 √ wϕ 1 | √ wϕ 2 〉 = 0. (3.26)
Tyypillisempää on muuttaa Hilbert-avaruuden 3 L 2 [a, b] sisätuloa S-L ongelmaan sopivampaan muotoon
(f|g) :=
∫ b
a
dxw(x)f(x) ∗ g(x), (3.27)
jolloin ominaisfunktiot ovat ortogonaalisia perinteisessä mielessä, kun ne tulkitaan painotetun L 2 -
avaruuden alkioiksi, missä kaava (3.27) määrää sisätulon.
3.3 Sturmin ja Liouvillen lause
Lause 3.3 (Sturm & Liouville) Säännöllisen Sturm-Liouville-yhtälön Lu = λwu ratkaisuilla on
ainakin seuraavat ominaisuudet:
1. Ratkaisuja on olemassa (vain) kun λ = λ k , missä λ k , k = 1, 2, 3, . . . on ääretön jono reaalisia
ominaisarvoja (λ k < λ k+1 ) ja λ k → ∞, kun k → ∞.
2. Jokaista ominaisarvoa vastaa vakiokerrointa vaille yksikäsitteinen ratkaisu u k (”ominaisfunktio”).
3. Ominaisfunktiot ovat ortogonaalisia sisätulon (3.27) suhteen.
4. Ominaisfunktiolla u n on täsmälleen n 0-kohtaa välillä [a,b]. Ominaisfunktion u n+1 jokainen 0-
kohta on kahden u n :n peräkkäisen 0-kohdan välissä.
5. Ominaisfunktioiden joukko muodostaa kannan avaruuteen L 2 ([a, b]) eli jos f ∈ L 2 ([a, b]) ts. f on
neliöintegroituva kyseisellä välillä ja
a k = (u k|f)
(u k |u k ) = ∫ b
a dxw(x)u k(x)f(x)
∫ b
a dxw(x)(u k(x)) 2 ,
niin
∫ b
lim
N→∞ a
∫ b
a
N dx
∣ f(x) − ∑
a k u k (x)
∣
k=1
∞ dx
∣ f(x) − ∑
a k u k (x)
∣
k=1
2
2
=0, eli
=0.
Siis f ja yo. sarjakehitelmä ovat sama funktio L 2 -mielessä.
3 Näistä lisää myöhemmin

23
Lauseen tarkka todistus löytyy oppikirjoista (Esim. N. Young: An Introduction to Hilber Space, Cambridge
University Press, 1988).
FyMM I:llä esitetty Parsevalin kaava Fourier-sarjoille yleistyy Sturmin-Liouvillen lauseen avulla myös
S-L yhtälön ominaisfunktioille:
(f|f) =
=
=
=
∫ b
a
dxw(x)|f(x)| 2
∞∑
a ∗ k a l
k,l=1
∫ b
a
∞∑
(u k |u k )|a k | 2
k=1
dxw(x)u ∗ k u l
∞∑
||u k || 2 |a k | 2 , (3.28)
k=1
missä on otettu käyttöön myös sisätulon (·|·) määräämä normi.
Pyritään tässä todistamaan 0-kohtien olemassaolo, eli 1-kohta, niin 4-kohta seuraa todistuksesta itsestään.
Kohdat 2 ja 3 todistimme jo aiemmin. Tätä varten muutetaan S-L yhtälö Lu = λwu sijoituksella
z(x) = √ p(x)u(x) muotoon
d 2 z(x)
dx 2 + (Q(x) + λR(x)) z(x) = 0, missä (3.29)
Q(x) = 1 (
(p ′
4p(x) 2 (x)) 2 − 2p(x)p ′ (x) − 4p(x)q(x) )
ja
R(x) = w(x)
p(x) . (3.30)
Huomaa, että kerroinfunktioille asetetuista ehdoista seuraa, että Q ja R hyvin määriteltyjä ja jatkuvia
sekä lisäksi R(x) ≥ 0. Cronströmin ($ 6.4.1-2) todistuksen rakenne:
1. Kiinnitetään λ ∈ C ja ratkaistaan 3.29 alkuehtona z(a) = 0, z ′ (a) = 1, josta saadaan ratkaisu
z(λ, x) (Diff.yhtälöiden olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause).
2. Osoitetaan, että kiinteällä x z(λ, x) on λ:n kokonainen funktio (ei napoja tai muita singulariteettejä).
3. Huomataan, että jos λ on ominaisarvo, niin z(λ, b) = 0.
4. Funktioteoriasta tuttu lause: Nollasta eroavalla kokonaisella funktiolla on korkeintaa numeroituva
määrä 0-kohtia. Lisäksi ∞ on ainoa mahdollinen kasautumispiste. Eli jos ominaisarvoja on
ääretön määrä, niin ne voidaan järjestää jonoon s.e. |λ k | → ∞.
5. Tiedetään jo, että λ k ∈ R, joten osoitetaan että on olemassa ¯λ s.e. ¯λ < λ n kaikilla n, jolloin
λ 1 < λ 2 < λ 3 < . . ., kun ominaisarvot numeroidaan sopivasti.
Todistetaan tässä sama tulos käyttämättä funktioteoriaa (ja huomataan samalla tapa laskea ominaisarvoja
numeerisesti). Todistetaan ensin muutama aputulos.
Lause 3.4 (1. nollakohtalause) Olkoot y(x) ja Y(x) differentiaaliyhtälöiden
d 2 y(x)
dx 2 + q(x)y(x) = 0 ja
d 2 Y (x)
dx 2 + Q(x)Y (x) = 0
ratkaisuja. Jos nyt a ja b (a < b) ovat kaksi ratkaiun Y 0-kohtaa (Y (a) = Y (b) = 0) ja kaikilla
x ∈ [a, b] pätee q(x) ≥ Q(x) eikä yhtäsuuruus päde identtisesti, niin tällöin ratkaisulla y on vähintään
yksi 0-kohta välillä [a, b].

24
Todistus 3.3 Tehdään vastaoletus y(x) ≠ 0 välillä [a,b], eli voidaan jakaa y:llä ja pätee
[
d Y (
yY ′ − y ′ Y )] ∣ ∣∣x
dx y
∣
= Y ′2 + Y }{{} Y ′′ − y′′
Y 2 + y′2
y y
−QY }{{}
2 Y 2 − 2 y′ ∣∣∣x
y Y Y ′
) 2 ∣
= Y 2 (q − Q) +
(Y ′ − y′ ∣∣∣x
y Y
q
Oletuksen mukaan q(x) − Q(x) ≤ 0 joten yo. derivaatta on epänegatiivinen, ja koska q(x) = Q(x) ei
päde identtisesti, niin ainakin jollain välillä se on aidosti positiivinen. Nyt integroimalla a:sta b:hen
saadaan
0 <
∫ b
a
/ b
=
a
dx d
dx
[ Y (x)
y(x)
[ Y (x)
y(x)
(
y(x)Y ′ (x) − y ′ (x)Y (x) )]
(
y(x)Y ′ (x) − y ′ (x)Y (x) )] = 0,
koska Y (a) = Y (b) = 0, mikä on tietysti ristiriita ja täytyy olla y(x) = 0 jossakin välin pisteessä.
Lause 3.5 (2. nollakohtalause) Jokaisella differentiaaliyhtälön
d 2 y(x)
dx 2 + f(x)y(x) = 0
ratkaisulla on välillä a ≤ x < ∞ äärettömän monta nollakohtaa, mikäli f on jatkuva ja f(x) ≥ m 2 > 0
jollakin m tällä välillä. Lisäksi kahden peräkkäisen nollakohdan välinen etäisyys on korkeintaan π/m.
Toisaalta, jos f(x) ≤ −m 2 < 0 jollakin m tällä välillä, niin jokaisella ratkaisulla on korkeintaan yksi
nollakohta samalla välillä.
Todistus 3.4 f(x) ≥ m 2 . Verrataan yhtälöitä y ′′ + fy = 0 ja Y ′′ + m 2 Y = 0, joista jälkimmäisen
ratkaisu on Y (x) = sin(m(x − δ)). Y:n nollakohdat ovat pisteissä x k = δ + kπ m
, k ∈ Z. Koska oletuksen
mukaan f(x) ≥ m 2 on yhtälön y ′′ +fy = 0 ratkaisulla 1. nollakohtalauseen mukaan 1 nollakohta välillä
[x k , x k+1 ] (k valittu s.e. x k ≥ a), toinen välillä [x k+1 , x k+2 ] jne., eli äärettömän monta nollakohtaa.
Lisäksi kahden peräkkäisen nollakohdan väli < π/m, sillä muuten δ:n sopivalla valinnalla voitaisiin
konstruoida tilanne, jossa y:n nollakohdista yksikään ei osuisi välille [x n , x n+1 ] jollakin n.
f(x) ≤ −m 2 . Verrataan yhtälöitä y ′′ + fy = 0 ja Y ′′ − m 2 Y = 0. Jos ensimmäisen yhtälön ratkaisulla
olisi 2 nollakohtaa x 1 ja x 2 (x 1 < x 2 ), niin 1. nollakohtalauseen mukaan jälkimmäisen yhtälön jokaisella
ratkaisulla olisi ainakin yksi nollakohta välillä [x 1 , x 2 ]. Kuitenkaan esimerkiksi funktiolla Y (x) = e mx ,
joka ratkaisee jälkimmäisen yhtälön, ei ole nollakohtaa millään reaaliluvulla, eikä siis myöskään välillä
[x 1 , x 2 ]. y:llä voi siis olla korkeintaan yksi nollakohta.
Palataan taas S-L yhtälön pariin, joka oltiin jo muutettu muotoon (3.29), missä R ja Q jatkuvia ja R
epänegatiivinen. Jatketaan R ja Q (jatkuvasti) alueeseen x > b kaavoilla
R(x) = R(b) ja Q(x) = Q(b) , kun x > b.
Nyt differentiaaliyhtälöiden olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen mukaan yhtälöllä (3.29) on jokaisella
λ välillä [a,B] B > b yksikäsitteinen ratkaisu z(λ, x), joka toteuttaa ehdot z(a) = 0, z ′ (a) = 1.
Koska Q ja R ovat jatkuvia ja siten rajoitettuja, löytyy aina ¯λ s.e. Q(x) + ¯λR(x) ≤ −m 2 < 0 välillä

25
[a,B]. 2. nollakohtalauseen mukaan ratkaisuilla z(λ, x) ei ole toista nollakohtaa (z(λ, a) = 0) kun λ ≤ ¯λ,
joten ei löydy ¯λ:a pienempiä ominaisarvoja. Toisaalta löydetään myös ¯λ, jolle
( ) π 2
Q(x) + ¯λR(x) ≥ > 0.
B − a
2. nollakohtalauseen nojalla z(¯λ, x):llä on väh. yksi nollakohta x0 välillä [a,B], aluksi välillä [b,B]. Kun
λ kasvaa x 0 lähestyy b:tä ylhäältä ja kun λ = λ 1 , x 0 = b. Nyt λ 1 on ominaisarvo ja z(λ 1 , x) on sitä
vastaava ominaisfunktio, jolla on nollakohdat a:ssa ja b:ssä (muttei niiden välissä). Annetaan λ:n kasvaa
edelleen. z(λ, x):n 3. nollakohta lähestyy x = b:tä, ja kun λ = λ 2 z(λ 2 , b) = 0. Nyt z 2 (x) := z(λ 2 , x)
on ominaisfunktio, jolla on yksi nollakohta välillä [a,b]. Jatkamalla iterointia saadaan ääretön määrä
ominaisarvoja ja -funktioita. Nyt λ k :t ovat S-L yhtälön ominaisarvot ja funktiot u k = z(λ k , x)/ √ p(x)
niitä vastaavat ominaisfunktiot.
Ominaisarvojen löytäminen ”shooting-metodilla”.
Arvataan jokin λ ja integroidaan numeerisesti diff.yhtälöä (3.29) alueeseen x > b jatketuilla Q ja R ja
alkuarvoilla z(a)=0, z’(a)=1. Muutetaan λ:aa kunnes 0-kohta osuu b:hen (merkitään tätä λ:aa ˆλ:lla.
Tarkastetaan, kuinka monta nollakohtaa zˆλ:lla on välillä (a,b). Jos zˆλ:lla oli n nollakohtaa, niin löysimme
(n+1):nnen ominaisfunktion. Nyt voidaan pienentää λ:aa ja etsiä n:s,(n-1):s,(n-2):s,... ja ensimmäinen
ominaisfunktio. Tämän jälkeen voidaan kasvattaa λ:aa ja etsiä korkeampia ominaisfunktioita
niin paljon kuin tarvitsee.
Huomautus 3.1 Sturmin ja Liouvillen lause ei päde yleisesti singulaarisille S-L ongelmille! Esimerkiksi
periodisilla reunaehdoilla ei voi olettaa, että Sturmin Liouvillen lauseen tulokset olisivat voimassa.
Yllä olevasta huomautuksesta vielä esimerkki, eli vastaesimerkki sille, että Sturmin Liouvillen lause
yleistyisi koskemaan myös singulaarisia ongelmia.
Esimerkki 3.3 Tutkitaan yhtälöä
(
d
x 2 du )
+ λu = 0 (3.31)
dx dx
välillä x ∈ [0, 1], eli a = 0 ja b = 1. Koska p(a) = 0, yhtälö on singulaarinen. Otetaan vielä reunaehdoiksi
u(b) = 0 ja |u(0)| < ∞. Nyt
(3.31) ⇐⇒ x 2 u ′′ + 2xu ′ + λu = 0
Yrite u(x) = x n =⇒p(p − 1) + 2p + λ = p 2 + p + λ = 0
=⇒p = − 1 2 ± √
1
4 − λ
λ ≠ 1 4 . p − = − 1 2 − √ 1/4 − λ ja p + = − 1 2 + √ 1/4 − λ erisuuret. Yleinen ratkaisu on
ja reunaehdosta u(1) = 0 saadaan
u(x) = C 1 x p −
+ C 2 x p +
C 1 + C 2 = 0 ⇐⇒ C 1 = −C 2 .
Ratkaisu on siis u(x) = C(x p −
−x p +
). Kuitenkin jos λ < 1/4, niin p − < 0, joten x → 0 ⇒ u(x) → ±∞.
Toisaalta jos λ > 1/4, niin Re(p − ) = Re(p + ) = −1/2, joten |u(x)| ≈ 1/ √ x → ∞, kun x → 0. Ei siis
löydy reunaehtoja toteuttavia ratkaisuja jos λ ≠ 1/4.
λ = 1 4 . Toinen ratkaisu on u 1(x) = √ 1
x
ja toinen saadaan vakion varioinnilla:
u(x) = C(x)/ √ x ⇒ C(x) = ln(x).

26
Yleinen ratkaisu on siis u(x) = 1 √ x
(C 1 + C 2 ln(x)). Lisäksi reunaehto
u(1) = C 1
√
1
= 0 ⇒ C 1 = 0,
eli
u(x) = Cln(x)/ √ x , joten |u(x)| −→ ∞ , kun x → 0.
Yhtälöllä ei siis ole ominaisarvoja eikä -funktioita.
Kuitenkin koska L on itseadjungoitu, aina pätee: Jos ominaisarvo on olemassa, se on reaalinen ja
erisuuria ominaisarvoja vastaavat ominaisfunktioit ovat ortogonaalisia.
Esimerkki 3.4 Periodiset reunaehdot.
Tutkitaan yhtälöä
välillä x ∈ [0, π], reunaehdoilla
d 2 u
+ λu = 0 (3.32)
dx2 u(0) = u(π) (3.33)
u ′ (0) = u ′ (π). (3.34)
Merk. α = √ −λ, jolloin yleinen ratkaisu on u(x) = C 1 e αx + C 2 e −αx . Reunaehdot:
(3.33) =⇒ C 1 + C 2 = C 1 e απ + C 2 e −απ
(3.34) =⇒ α(C 1 − C 2 ) = α(C 1 e απ − C 2 e −απ )
α = 0 kelpaa ja tätä vastaava ominaisfunktio on u ≡ C = vakio. Oletetaan sitten, että α ≠ 0 ja jaetaan
se pois toisesta reunaehdosta:
(3.33) =⇒ C 1 (1 − e απ ) + C 2
(
1 − e
−απ ) = 0
(3.34) =⇒ C 1 (1 − e απ ) − C 2
(
1 − e
−απ ) = 0
Jotta olisi nollasta eroava ((C 1 , C 2 ) ≠ ¯0) ratkaisu, ryhmän determinantin on oltava nolla, eli
−2 (1 − e απ ) ( 1 − e −απ) = 0
⇐⇒ e ±απ = 1
⇐⇒ απ = 2nπi
n ∈ Z
=⇒ λ n = −α 2 n = 4n 2 .
Ominaisarvoa λ = 4n 2 vastaa kaksi riippumatonta ominaisfunktiota
u n+ = e 2nix ja u n− = e −2nix
tai reaaliset
u (1)
n = cos(2nx) ja u (2)
n = sin(2nx)
Edellisessä esimerkissä ominaisarvot n ≠ 0 olivat kahdesti degeneroituneet. Monelle singulaariselle S-L
ongelmalle ja sekareunaehto-ongelmalle voidaan kuitenkin johtaa Sturmin Liouvillen lauseen kaltaisia
tuloksia mm. variaatiolaskennan keinoin (Katso esim. R. Courant, D. Hilbert: Methods of Mathematical
Physics, vol.1, luku 6)

27
3.4 S-L operaattorin Greenin funktio
Seuraavaksi tavoitteena on löytää yleiselle S-L operaattorille Greenin funktio. Aputuloksena tarvitsemme
aluksi ominaisfunktiokehitelmän δ-funktiolle. Olkoon f ∈ L 2 ([a, b]), jolloin
f(x) =
∞∑
a n ϕ n (3.35)
n=1
L x ϕ n (x) = λ n w(x)ϕ n (x) (3.36)
a n = (ϕ n, f)
(ϕ k , ϕ k ) := ∫ b
a dxw(x)ϕ k(x)f(x)
∫ b
a dxw(x)ϕ k(x) 2 (3.37)
Sijoittamalla a n :n lauseke(3.37) f:n sarjakehitelmään (3.35) ja vaihtamalla summauksen ja integroinnin
järjestystä saamme
∫ b
∞∑ ϕ n (y)ϕ n (x)
f(x) = dyw(y)
f(y), (3.38)
(ϕ n , ϕ n )
mistä päättelemme
a
n=1
∞∑ ϕ n (y)ϕ n (x)
δ(x − y) = w(y)
(ϕ
n=1 n , ϕ n )
(3.39)
∞∑ ϕ n (y)ϕ n (x)
= w(x)
(ϕ
n=1 n , ϕ n )
(3.40)
= √ ∞∑ ϕ n (y)ϕ n (x)
w(x)w(y)
.
(ϕ n , ϕ n )
(3.41)
Kaksi alinta yhtälöä seuraavat δ-funktion ominaisuudesta f(x)δ(x − y) = f(y)δ(x − y).
Sturm-Liouville -operaattorin Greenin funktio. Muistellaan aluksi että epähomogeenisen differentiaaliyhtälön
L x u(x) = f(x) (3.42)
erikoisratkaisu löydettiin etsimällä ensin operaattorin Greenin funktio G joka toteuttaa
n=1
L x G(x, y) = δ(x − y) . (3.43)
Sen jälkeen erikoisratkaisu u E (x) saatiin kaavasta
∫
u E (x) = dy G(x, y)f(y) . (3.44)
(Lisäksi täytyy tarkistaa että u E (x) toteuttaa siltä vaaditut reunaehdot, ratkaisua voitiin "säätää"muuttamalla
Greenin funktiota käyttämällä homogeenisen yhtälön ratkaisuja.)
Olkoon nyt L x Sturm-Liouville differentiaalioperaattori
L x = − d
dx
[
p(x) d
dx
]
+ q(x) . (3.45)
Etsitään epähomogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisu u E joka toteuttaa S-L reunaehdot
A 1 u E (a) + A 2 u ′ E(a) = 0 (3.46)
B 1 u E (b) + B 2 u ′ E(b) = 0 . (3.47)

28
Muistetaan ensin että myös L x :n ominaisfunktiot ϕ k (x),
L x ϕ k (x) = λw(x)ϕ k (x) (3.48)
toteuttavat nämä reunaehdot.
Arvataan että oikea Greenin funktio on muotoa
G(x, y) = ∑ k
1 ϕ k (x)ϕ k (y)
λ k (ϕ k , ϕ k )
. (3.49)
Yksi perustelu tälle arvaukselle löytyy luentokalvoista. Tässä tyydymme vain tarkistamaan että arvaus
on OK. Ensin joitakin kommentteja:
1. Kaavassa (3.49) summataan yli kaikkien ominaisfunktioiden ja -arvojen.
2. (3.49) on hyvin määritelty vain jos kaikki ominaisarvot λ k ≠ 0.
3. Normitustekijä (ϕ k , ϕ k ) = ∫ dx w(x)ϕ ∗ k (x)ϕ k(x) sisällytetään kaavaan jos ϕ k ei ole vielä normitettu
siten että (ϕ k , ϕ k ) = 1.
Nyt sitten tarkistus:
L x G(x, y) = ∑ k
= w(x) ∑ k
1 (L x ϕ k (x))ϕ k (y)
λ k (ϕ k , ϕ k )
ϕ k (x)ϕ k (y)
(ϕ k , ϕ k )
= δ(x − y) , (3.50)
siis (3.49) totetuttaa ehdon (3.43). Edelleen, koska ominaisfunktiot ϕ k toteuttavat S-L reunaehdot
(3.46), seuraa helposti
A 1 G(a, y) + A 2 ∂ x G(a, y) = 0 (3.51)
B 1 G(b, y) + B 2 ∂ x G(b, y) = 0 . (3.52)
Siispä erikoisratkaisu u E (x) = ∫ dy G(x, y)f(y) toteuttaa myös S-L reunaehdot. Esim:
∫
A 1 u E (a) + A 2 u ′ E(a) = dy (A 1 G(a, y) + A 2 ∂ x G(a, y))f(y) = 0 . (3.53)
Mitä sitten tapahtuu jos jokin ominaisarvoista häviää, λ k = 0? (Käytetään vastaavasta ominaisfunktiosta
merkintää ϕ 0 ja ominaisarvosta merkintää λ 0 . Näistä käytetään usein nimitystä nollamoodi (engl.
zero mode.) Huomaa että S-L teoriassa on korkeintaan yksi nollamoodi, sillä S-L reunaehdoilla ominaisarvot
ja -funktiot eivät ole degeneroituneita.) Kokeillaan onnistuisiko yksinkertainen muokkaus, eli
kävisikö
Ḡ(x, y) = ∑ 1 (L x ϕ k (x))ϕ k (y)
(3.54)
λ k (ϕ k , ϕ k )
λ k ≠0
Greenin funktioksi. (Summaan sisältyvät siis kaikki ominaismoodit paitsi nollamoodi.) Kokeillaan toteuttaako
u(x) = ∫ dy Ḡ(x, y)f(y) epähomogeenisen yhtälön:
∫
L x u(x) = = dy L x Ḡ(x, y)f(y) = ∑ ∫
1
dy (L xϕ k (x))ϕ k (y)
f(y)
λ k (ϕ k , ϕ k )
λ k ≠0
= w(x) ∑ ∫
dy ϕ ∫
∫
k(x)ϕ k (y)
f(y) = dy δ(x − y)f(y) − dy w(x)ϕ 0(x)ϕ 0 (y)
f(y)
(ϕ k , ϕ k )
(ϕ 0 , ϕ 0 )
λ k ≠0
= f(x) − w(x)ϕ 0(x)
(ϕ 0 , ϕ 0 ) 〈ϕ 0|f〉 , (3.55)

29
missä
∫
〈ϕ 0 |f〉 =
dy ϕ 0 (y)f(y) . (3.56)
(Huom. 〈f|g〉 on eri integraali kuin (f, g), jälkimmäinen sisältää painofunktion w.) Tulos kertoo sen
että (3.54) käy Greenin funktioksi nollamooditapauksessa vain jos epähomogeenisen yhtälön lähteen
projektio nollamoodille (3.56) on nolla.
3.5 Sturm-Liouville -ongelma variaatio-ongelmana
Esitämme seuraavaksi miten Sturm-Liouville -ongelmaa voi lähestyä variaatiolaskennan kautta. Ideana
on ensinnäkin löytää funktionaali jota varioimalla S-L ongelman differentiaaliyhtälö saadaan Eulerin
yhtälönä. Toisaalta tiedämme että ongelman ratkaisufunktiot muodostavat ortonormaalin kannan painotetun
sisätulon suhteen. Kanta voidaan edelleen ortonormittaa, jolloin normeeraus voidaan tulkita
sidosehtona. Koska normeeraus sisältää integraalin, se voidaan tulkita globaalina sidosehtona. Näin
päädytään isoperimetriseen ongelmaan. Funktionaali jonka variaatio johtaa S-L yhtälöön on
J S−L [y] =
∫ b
a
dx ( p(x)(y ′ (x)) 2 + q(x)y(x) 2) . (3.57)
Ominaisfunktioden ortonormitus painoten sisätulon kanssa taas johtaa ehtoon
K[y] =
Otetaan käyttöön Lagrangen kertoja λ ja etsitään funktionaalin
L λ [y] =
∫ b
a
∫ b
a
dxw(x)(y(x)) 2 = 1. (3.58)
(
p(x)(y ′ (x)) 2 + (q(x) − λw(x))y(x) 2) + λ
ääriarvot. Tälle funktionaalille Eulerin yhtälön on
(
d
p(x) dy(x) )
+ (q(x) − λw(x))y(x) = 0, (3.59)
dx dx
eli Sturm-Liouville yhtälö kuten edellä todettiin. Lisäksi λ on ominaisarvo ja K[y] = 1 on ominaisfunktion
normitusehto. Nyt on kuitenkin oltava tarkkana reunaehtojen kanssa. Varioidaan y → y + η
ja tutkitaan termin
muutosta.
δ
∫ b
a
dxp(x)(y ′ (x)) 2 = 2
∫ b
a
∫ b
a
p(x)(y ′ (x)) 2
dxp(x)y ′ (x)η ′ (x)
/ b
= 2 p(x)y(x)η(x) − 2
a
∫ b
a
dxη(x) d (
p(x)y ′ (x) ) .
dx
Eulerin yhtälö ääriarvon ehtona pitää siis paikkansa vain jos p(a)y ′ (a)η(a) = p(b)y ′ (b)η(b) = 0. Singulaariselle
ongelmalla p(a) ja/tai p(b) = 0, jolloin η(a) ja/tai η(b) voivat olla mielivaltaisia. Säännölliselle
ongelmalle (p = a tai b) y(p) = 0 ⇒ η(p) = 0 ja y ′ (p) = 0 ⇒ η(p) voi olla mielivaltainen. Kuitenkin
yleiselle homog. reunaehdolle
A 1 y(p) + A 2 y ′ (p) = 0
myös variaatio toteuttaa tämän eikä sijoitustermi välttämättä häviä. Kun S-L yhtälöä halutaan käsitellä
variaatio-ongelman Eulerin yhtälönä on siis rajoituttava reunaehtoihin
p(a)y(a)y ′ (a) = p(b)y(b)y ′ (b) = 0. (3.60)

30
Oletamme jatkossa, että reunaehdot ovat voimassa 4 .
Funktiot u k , jotka stationarisoivat J S−L [y]:n ovat siis S-L ongelman ominaisfunktiot, eli toteuttavat
− d (
p(x) du )
k(x)
+ q(x)u k (x) = λ k w(x)u k (x) ja
dx dx
∫ b
a
dxw(x)u m (x)u n (x) = δ nm .
Ominaisfunktiot muodostavat täydellisen funktiojoukon, joten voidaan kehittää
y(x) = ∑ k
=⇒ J[y] = ∑ k,l
= ∑ k
a k u k (x)
∫ b
a k λ l a l dxw(x)u k (x)u l (x)
a
λ k a 2 k (3.61)
ja
K[y] = ∑ k
a 2 k = 1 (3.62)
Olkoon λ 0 pienin ominaisarvo (λ k ≥ λ 0 kaikilla k). Jos λ 0 ei ole degeneroitunut J[y] saavuttaa globaalin
miniminsä λ 0 , kun y(x) = u 0 (x) (a 2 0 = 1)5 . Voidaan siis kirjoittaa
λ 0 = inf u∈D(L)
J[u]
K[u] ,
missä D(u) on joukko funktioita joille vastaava S-L operaattori L on hyvin määritelty. Huom! funktioluokan
yleien alkio u ei ole ominaisfunktio, joten K[u] ≠ 1 yleensä. Pienintä ominaisarvoa voidaan yrittää
etsiä rajoittumalla sopiviin yritefunktiohin u(α 1 , . . . , α p ) jotka riippuvat parametreista α 1 , . . . , α p
ja jotka toteuttavat vaaditut reunaehdot, ja varioimalla parametrejä. Tätä likiarvomenetelmää kutsutaan
Rayleighin ja Ritzin menetelmäksi. Samantapaista menetelmää käytetään kvanttimekaniikassa
Hamilton-operaattorin pienimmän ominaiarvon (eli systeemin perustilan energian) etsintään.
3.6 Rayleighin ja Ritzin menetelmä
Etsitään pienimmälle ominaisarvolle λ 0 likiarvoa aloittamalla parametreista (α 1 , . . . , α p ) riippuvasta
yritteestä u(α 1 , . . . , α p ). Lasketaan ensin
J[u(α 1 , . . . , α p )] = F (α 1 , . . . , α p )
K[u(α 1 , . . . , α p )] = G(α 1 , . . . , α p )
, sekä
ja minimoidaan tämän jälkeen F (α 1 , . . . , α p ) ehdolla G(α 1 , . . . , α p ) = 1. Otetaan käyttöön Lagrangen
kerroin λ. Eulerin yhtälöt ovat:
Ratkaisu antaa ylärajan miniarvolle.
∂
∂a j
(F (α 1 , . . . , α p ) + λG(α 1 , . . . , α p )) = 0 (3.63)
G(α 1 , . . . , α p ) − 1 = 0 (3.64)
4 Periaatteessa pintatermi voitaisiin hävitää myös ehdolla p(a)y(a)y ′ (a) − p(b)y(b)y ′ (b) = 0. Tämän ehdon ongelma
on se että se on oleellisesti periodinen reunaehto, jonka ominaisarvot saattavat olla degeneroituneita kuten yllä näimme.
S-L ongelmassahan asetettiin reunaehdot erikseen päätepisteissä x = a, b, joten siksi teemme samantapaisen rajoituksen
variaatio-ongelman reunaehtoihin.
5 Jos λ 0 olisi deneroitunut ja sitä vastaa ominaisfunktiot u (1)
0 , u(2) 0 , . . . , u(N) 0 , niin mikä tahansa näiden lineaarikombinaatio
minimoi J:n.

31
3.6.1 Esimerkki: Patarummun säveltaajuus
Orkesterin patarummut ovat rumpuja jotka on suunniteltu niin että värisevän kalvon perustaajuus (eli
matalin ominaistaajuus) vahvistuu siten että rummun äänessä erottuu selvä säveltaajuus. Patarummut
viritetään eri taajuuksiin ja orkesteripartituurissa ne nuotinnetaan sävelinä kuten muut instrumentit.
Rumpukalvo on kiekon muotoinen ja kiinni reunoistaan. Sen värähtelyjä kuvaa siten 2+1 ulotteinen
aaltoyhtälö joka on luontevaa ratkaista napakoordinaateissa, Dirichlet’n reunaehdolla u(R, φ) = 0
missä R on rumpukalvon säde. Kuten Fymm IIa:lla opittiin, yhtälön separointi johtaa radiaaliselle
osalle Besselin yhtälöön
y ′′ + 1 x + λy = 0 ,
missä x = r/R on uudelleen skaalattu radiaalinen koordinaatti. Reunaehdot ovat nyt y(1) = 0 ja y(x)
säännöllinen origossa (muuten kalvo repeää). Ominaisarvo λ = R 2 ω 2 /v 2 missä v on äänen nopeus
kalvolla, ja ω = 2πf missä f on kuultava taajuus. Fymm IIa:lla opimme toki ratkaisemaan Besselin
yhtälön ja sen ominaisarvot eksaktisti, mutta seuraavaksi harjoittelemme Rayleighin ja Ritzin menetelmää.
Kirjoitetaan ensin Besselin yhtälö standardissa S-L muodossa:
− d
dx
(
x dy
dx
)
= λxy .
Näin ollen p(x) = x, q(x) = 0 ja w(x) = x. Etsitään seuraavaksi sopiva yritefunktio. Kalvon värähdellessä
sen profiili vaihtelee x = 0:ssa maksimipoikkeaman ja minimipoikkeaman välillä. Profiilin
Taylor-sarja ääripoikkeamalla on
y(x) = y(0) + 1 2 y′′ (0)x 2 + 1 4! y′′′′ (0)x 4 + · · · ,
parittomat termit häviävät sillä ääriprofiili on parillinen funktio. Näin motivoimme R-R menetelmän
yritefunktioiksi neljännen asteen parilliset polynomit
y(x) = a + bx 2 + cx 4 .
Vaadimme nyt että ne myös toteuttavat annetut reunaehdot. Ehdosta y(1) = 0 seuraa relaatio a+b+c =
0. Valitaan riippumattomiksi parametreiksi b, c. Lasketaan seuraavaksi
ja
J[y] =
K[y] =
∫ 1
0
∫ 1
0
dx xy ′2 = b 2 + 8 3 bc + 22 = F (b, c)
dx xy 2 = 1 6 b2 + 5
12 bc + 4 15 c2 = G(b, c) .
Etsitään nyt funktionaalin J[y] + λK[y] = F (b, c) + λG(b, c) stationääriset pisteet:
ja
0 = ∂ ∂b (F + λG) = (2 + 1 3 λ)b + (8 3 + 5
12 λ)c
0 = ∂ ∂c (F + λG) = (8 3 + 5 12 λ)b + (4 + 8 15 λ)c .
Eliminoimalla b ja c saadaan yhtälö
3λ 2 − 128λ + 640 = 0 ,
jonka pienin juuri on
λ = 1 3 (64 − √ 2176) ≈ 5, 7841 ,

32
joka ei ole kovin kaukana eksaktista ratkaisusta 5, 7832.
Lopetamme tämän kappaleen pienellä lisätarkastelulla. Olkoon L Sturm-Liouville-operaattori (3.7). Mitkä ovat funktionaalin
F RR [u] = N[u]
D[u]
(3.65)
stationaariset pisteet, kun
∫ b
N[u] = dxu(x)Lu(x)
a
∫ b
=
a
−
dx
[p(x)(u ′ (x)) 2 + q(x)u(x) 2]
(
p(b)u ′ (b)u(b) − p(a)u ′ (a)u(a)
)
(3.66)
ja
∫ b
D[u] = dxw(x)u(x) 2 . (3.67)
a
Olkoon λ n L-operaattorin ominaisarvot ja ϕ n niitä vastaavat normitetut ( ∫ b
a dxw(x)ϕ n(x) 2 = 1) ominaisfunktiot (n ∈ N). Tällöin siis
Lϕ n(x) = λ nw(x)ϕ n(x)
∫ b
dxw(x)ϕ n(x)ϕ m(x) = δ nm.
a
ja
Jos kyseessä on säännöllinen ongelma, niin ϕ n : n ∈ N on täydellinen ja voidaan kirjoittaa
∞∑
u(x) = a nϕ n(x), (3.68)
n=1
joten
∞∑ ∞∑
∫ b
N[u] =
a ma n dxϕ m(x)Lϕ m(x)
n=1 m=1
a
∞∑ ∞∑
=
a ma nλ nδ mn
n=1 m=1
=
∞∑
λ na 2 n (3.69)
n=1
ja
sekä
Stationaariset pisteet:
eli
∞∑
D[u] = a 2 n (3.70)
n=1
F RR [u] = N[u] ∑ ∞n=1
D[u] = λ na 2 n
∑ ∞n=1 a 2 =: f RR (a 1 , a 2 , . . .). (3.71)
n
∂f RR
∂a i
= 2λ ia i
∑ ∞n=1 a 2 n
2a i
− F RR [u] ∑ ∞n=1 a 2 = 0
n
∑ ∞n=1
λ na 2 n
λ i = F RR [u] = ∑ ∞n=1 a 2 . (3.72)
n
Ratkaisu: a n = 0, kun n ≠ i ja a i mielivaltainen sekä u(x) = a i ϕ i (x). Lisäksi F [a i ϕ i ] = λ i riippumatta a i :n arvosta. Minimin F [a 1 ϕ 1 ] = λ 1 antava
ϕ 1 on vakiokerrointa vaille yksikäsitteinen ja muut ratkaisut ovat satulapisteitä. Kuitenkin funktiot a nϕ n on funktionaalin F RR minimejä avaruudessa
{
F n = u(x) :
∫ b
a
}
dxw(x)u(x)ϕ k (x) = 0, k = 1, 2, . . . , n − 1
(3.73)
4 Hilbertavaruuksista
4.1 Vektori-, normi- ja sisätuloavaruudet
Tästä eteenpäin skalaarikunta on K = C tai R. Määritellään, että joukko V on (K-kertoiminen)
vektoriavaruus, jos jokaista paria ¯v, ū ∈ V vastaa kolmas alkio ū + ¯v, sekä jokaista paria ū ∈ V ja
a ∈ K vastaa kolmas alkio aū ∈ V s.e.
1. ū + ¯v = ¯v + ū
2. ū + (¯v + ¯w) = (ū + ¯v) + ¯w
3. a(ū + ¯v) = aū + a¯v

33
4. (a + b)ū = aū + bū
5. a(bū) = (ab)ū
6. 1ū = ū
7. ∃ ¯0 s.e. ū + ¯0 = ū ∀ ū ∈ V
8. ∃ − ū s.e. ū + (−ū) = 0.
Näistä seuraa tutut vektoreiden laskulait, kuten 0 · ū = ¯0 ja −1 · ū = −ū jne. Vektorit ¯v 1 , ¯v 2 , . . . , ¯v N
ovat lineaarisesti riippumattomat, jos ∑ N
n=1 a n¯v n = ¯0 jos ja vain jos a 1 = a 2 = . . . = a N = 0. Huom.
jos yksikin ¯v n = ¯0, niin vektorit eivät ole lin. riippumattomia. Joukko {u 1 , u 2 , . . .} virittää V :n, jos
jokainen ū ∈ V voidaan lausua muodossa
ū = ∑ k
a k ū k . (4.1)
Jos {u 1 , u 2 , . . .} on lisäksi lineaarisesti riippumaton, niin sen vektorit muodostavat avaruuden V kannan.
Kannassa on aina sama määrä vektoreita ja tätä määrää kutsutaan V :n dimensioksi dim(V ).
Esimerkki 4.1 K n := n tai C n
¯x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) x i ∈ K
¯x + ȳ = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , . . . , x n + y n )
a¯x = (ax 1 , ax 2 , . . . , ax n )
¯0 = (0, 0, . . . , 0)
−¯x = (−x 1 , −x 2 , . . . , −x n )
Kanta = {ē 1 , ē 2 , . . . , e¯
n } , missä
ē i = (0, . . . , 0, }{{} 1 , 0, . . . , 0).
i:s
Huom. dim(K n ) = n ja myös n = ∞ on mielekäs!
Esimerkki 4.2 V = funktiot f : A → C, A ⊂ C
(f + g)(z) = f(z) + g(z)
(af)(z) = af(z), a ∈ C
¯0(z) = 0 ∀ z ∈ A
(−f)(z) = −f(z)
Huom. dim(V ) = ∞, lisäksi V :llä ei ole luonnollista kantaa.
Esimerkki 4.3 V = astetta n-1 olevat polynomit P : A → C, A ⊂ C
n−1
∑
P (z) = a k z k
k=0
Laskutoimitukset kuten edellisessä esimerkissä, mutta nyt dim(V ) = n. Eräs kanta on {1, z, z 2 , . . . , z n−1 }.
Vektoriavaruus on normitettu, eli normiavaruus, jos on lisäksi olemassa kuvaus ‖·‖ : V → R s.e.
1. ‖¯v‖ ≥ 0 ∀ ¯v ∈ V
2. ‖¯v‖ = 0 ⇐⇒ ¯v = ¯0

34
3. ‖¯v + ū‖ ≤ ‖¯v‖ + ‖ū‖ (”kolmioepäyhtälö”, ∆ − ey.)
4. ‖a¯v‖ = |a| ‖¯v‖
Esimerkki 4.4 Esimerkiksi K n (esimerkki 4.1) varustettuna normilla
∑
‖x‖ = ‖(x 1 , x 2 , . . . , x n )‖ = √ n |x k | 2 (4.2)
ja polynomien avaruus V (esimerkki 4.3) varustettuna normilla
ovat normiavaruuksia. Tarkista!
Normi määrää avaruuteen myös etäisyyden eli metriikan
k=1
‖f‖ = sup |f(x)| (4.3)
x∈A
d(ū, ¯v) = ‖u − v‖ . (4.4)
Metriikka puolestaan määrää suppenemisen: Sanomme, että jono ¯v 1 , ¯v 2 , . . . suppenee kohti ¯v ∈ V jos
ja merkitsemme
lim ‖¯v n − v‖ = 0 (4.5)
n→∞
Määritelmä 4.1 (Cauchyn jono) Jono (¯v n ) ∞ n=1 on Caychyn jono, jos
¯v = lim
n→∞ ¯v n (4.6)
‖¯v n − ¯v m ‖ −→ 0, kun n, m → ∞
Huomataan, että jokainen suppeneva jono on Cauchyn jono, sillä
‖¯v n − ¯v m ‖ = ‖(¯v n − ¯v) + (¯v − ¯v m )‖ ≤ ‖¯v n − ¯v‖ + ‖¯v − ¯v m ‖ → 0, mutta päinvastainen ei ole välttämättä
voimassa kaikissa vektoriavaruuksissa. Tätä varten määritellään täydelliset normitetut vektoriavaruudet
eli Banachin avaruudet.
Määritelmä 4.2 Normitettu vektoriavaruus on täydellinen, jos jokainen Cauchyn jono suppenee eli
lim ‖¯v n − ¯v m ‖ = 0 =⇒ ∃ ¯v ∈ V s.e.
n,m→∞
lim ¯v n = ¯v
n→∞
Vektoriavaruuteen V saadaan vielä enemmän rakennetta, jos siinä on määritelty sisätulo eli skalaaritulo.
Määritelmä 4.3 (Skalaaritulo) Kuvaus V ∗ V → C, (ū, ¯v) ↦→ 〈ū|¯v〉 on skalaaritulo, jos
1. 〈ū|ū〉 ∈ R ja 〈ū|ū〉 ≥ 0 ∀ ū ∈ V .
2. 〈ū|ū〉 = 0 ⇐⇒ ū = ¯0.
3. 〈ū|¯v〉 = 〈¯v|ū〉 ∗ .
4. 〈ū|¯v + ¯w〉 = 〈ū|¯v〉 + 〈ū| ¯w〉
5. 〈ū|a¯v〉 = a〈ū|ū〉

35
Esimerkiksi ”pistetulo” C n ∗ C n → C.
x · y := 〈(x 1 , . . . , x n )|(y 1 , . . . , y n )〉 =
n∑
x ∗ i y i (4.7)
on sisätulo. Vektoriavaruutta, jossa on määritelty sisätulo kutsutaan sisätuloavaruudeksi.
Lause 4.1 (Schwarzin epäyhtälö) Sisätuloavaruudessa pätee aina
ja yhtäsuuruus pätee vain jos vektorit ovat lin. riippuvia.
i=1
|〈ū|¯v〉| 2 ≤ 〈ū|ū〉〈¯v|¯v〉 (4.8)
Todistus 4.1 Koska väite pätee kun ¯v = ¯0 (0 = 0), niin riittää tutkia tapaus ¯v ≠ ¯0, jolloin erityisesti
〈¯v|¯v〉 > 0. Olkoon
¯w = ū − 〈¯v|ū〉
〈¯v|¯v〉 ¯v.
Nyt sisätulon 1. ominaisuuden nojalla
mistä väite tietysti seuraa.
〈 ¯w| ¯w〉 = 〈ū|ū〉 − 〈ū|¯v〉〈¯v|ū〉
〈¯v|¯v〉
= 〈ū|ū〉 − |〈ū|¯v〉|2
〈¯v|¯v〉
≥ 0,
− 〈¯v|ū〉〈ū|¯v〉
〈¯v|¯v〉
Schwarzin epäyhtälön avulla saadaan todistettua tärkeä tulos:
Lause 4.2 Sisätuloavaruus on normiavaruus, kun normiksi otetaan
Todistus 4.2 Muut ominaisuudet ilmeisiä, paitsi kolmioepäyhtälö:
mistä väite seuraa ottamalla neliöjuuri.
+ |〈ū|¯v〉|2 〈¯v|¯v〉
〈¯v|¯v〉 2
‖ū‖ = √ 〈ū|ū〉. (4.9)
‖ū + ¯v‖ 2 = 〈ū + ¯v|ū + ¯v〉
= 〈ū|ū〉 + 〈ū|¯v〉 + 〈¯v|ū〉 + 〈¯v|¯v〉
= ‖ū‖ 2 + ‖¯v‖ 2 + 2Re(〈ū|¯v〉)
≤ ‖ū‖ 2 + ‖¯v‖ 2 + 2|〈ū|¯v〉|
Schwarz → ≤ ‖ū‖ 2 + ‖¯v‖ 2 + 2 ‖ū‖ ‖¯v‖
= (‖ū‖ + ‖¯v‖) 2 ,
Hilbertin avaruudet ovat täydellisiä sisätuloavaruuksia. Esimerkiksi C n ja R n ovat Hilbertin avaruuksia
sisätulona pistetulo (4.7).
Esimerkki 4.5 (l 2 ) Jonot x = (x 1 , x 2 , . . .), x i ∈ C, joille
Sisätulo:
∞∑
|x i | 2 < ∞.
i=1
∞∑
〈x|y〉 = x ∗ i y i (4.10)
i=1

36
Normi:
Kantana {e i : i ∈ N}, missä
‖x‖ =
∞∑
|x i | 2 (4.11)
i=1
e i = (0, . . . , 0, }{{} 1 , 0, . . .)
i:s
Esimerkki 4.6 (L 2 (a, b)) Funktiot [a, b] → C, joille
Sisätulo:
Normi:
∫ b
a
〈f|g〉 =
‖f‖ =
dx|f(x)| 2 < ∞.
∫ b
a
∫ b
a
dxf(x) ∗ g(x) (4.12)
dx|f(x)| 2 (4.13)
Koska on oltava ‖f − g‖ = 0 ⇔ f = g, niin on samaistettava funktiot joilla ∫ b
a dx|f(x) − g(x)|2 = 0
t.s. f(x) = g(x) melkein kaikkialla. Eräs avaruuden L 2 kanta on trigonometriset funktiot (todistus
epätriviaali).
Huomautus 4.1 l p - ja L p -avaruudet voidaan määritellä vastaavasti myös, kun p ≠ 2. Tällöin avaruuksissa
ei ole sisätuloa, mutta ne ovat Banach avaruuksina varsin käyttökelpoisia.
4.2 Gram-Schmidt ja projektio
Olkoon V sisätuloavaruus ja {¯v 1 , ¯v 2 , . . .} joukko lineaarisesti riippumattomia vektoreita. Voimme rakentaa
niistä ortonormitetun joukon
{ē 1 , ē 2 , . . .}, joille 〈ē i |ē j 〉 = δ ij seuraavasti:
Valitaan
ē 1 = ¯v 1
‖¯v 1 ‖ (⇒ 〈ē 1|ē 1 〉 = 1).
Nyt
ja k 2 määrätään ehdosta
e 2 = k 2 (¯v − 〈ē 1 |¯v 2 〉ē 1 ) toteuttaa
⎛
⎞
〈ē 1 |ē 2 〉 = k 2
⎝〈ē 1 |¯v 2 〉 − 〈ē 1 |¯v 2 〉 〈ē 1 |ē 1 〉 ⎠ = 0
} {{ }
=1
1 = 〈ē 2 |ē 2 〉 = |k 2 | 2 ( ‖ ¯v 2 ‖ 2 − |〈ē 1 |¯v 2 〉| 2) .
Jatketaan induktiivisesti: Olkoon ē 1 , . . . , ē n jo rakennettu. Asetetaan
)
n∑
ē n+1 = k n+1
(¯v n+1 − 〈ē i |¯v n+1 〉ē i , (4.14)
joka toteuttaa 〈ē n+1 |ē i 〉 = 0, i = 1, 2, . . . , n ja k n+1 määrätään ehdosta
〈ē n+1 |ē n+1 〉 = 1. (4.15)
Jatkamalla näin saadaan ortonormitettu jono.
i=1

37
Olkoon nyt ē 1 , ē 2 , . . . , ē n ortonormitettu (o.n.) joukko V:n alkioita. Vektoreiden virittämä aliavaruus
L koostuu kaikista vektoreista ū ∈ V , jotka ovat muotoa
ū =
n∑
a i ē i . (4.16)
i=1
Approksimointiongelma: Olkoon ¯v ∈ V annettu. Mikä L:n vektori ū approksimoi ¯v:tä parhaiten, s.o.
mille ū ‖ū − ¯v‖ saa miniminsä?
Kirjoitetaan u = ∑ n
i=1 a iē i ja muodostetaan
F (a 1 , a 2 , . . . , a n ) = ‖ū − ¯v‖ 2
= 〈ū − ¯v|ū − ¯v〉
n∑
= ‖¯v‖ 2 − (a ∗ i 〈ē i |¯v〉 + a i 〈¯v|ē i 〉) +
i=1
Kirjoitetaan a j = b j + ic j , missä b j , c j ∈ R, jolloin
F = ‖¯v‖ 2 +
n∑
|a i | 2 (4.17)
n∑ [
b
2
j + c 2 j − (b j − ic j )〈ē i |¯v〉 − (b j + ic j )〈¯v|ē i 〉 ] , (4.18)
j=1
i=1
jonka stationaariset pisteet:
sekä
∂F
∂b j
= 2b j − (〈ē j |¯v〉 + 〈¯v|ē j 〉)
= 2(b j − Re(〈ē j |¯v〉)) = 0
=⇒ b j = Re(〈ē j |¯v〉),
∂F
∂c j
= 2c j + i(〈ē j |¯v〉 − 〈¯v|ē j 〉)
= 2(c j − Im(〈ē j |¯v〉)) = 0
=⇒ c j = Im(〈ē j |¯v〉).
Nyt siis a j = 〈ē j |¯v〉 eli paras approksimaatio on
n∑
¯v L = 〈ē j |¯v〉ē j . (4.19)
j=1
Voidaan myös määritellä projektio-operaattori P L kaavalla
n∑
P L¯v = ¯v L = 〈ē i |¯v〉ē i , (4.20)
joka on ¯v : n projektio aliavaruudelle L. Kuvaus todellakin on projektio, sillä kaikilla v pätee
PL¯v 2 = P L¯v L
n∑ n∑
= 〈ē i | 〈ē j |¯v〉ē j 〉ē i
=
i=1
i=1
j=1
n∑
〈ē i |¯v〉ē i
i=1
= ¯v L ,

38
eli P 2 L = P L. Määritellään sitten ¯v ⊥ = ¯v − ¯v L , ”¯v:n L:ää vastaan kohtisuora komponentti”, jolle
Lisäksi, jos ū ∈ L, niin ū = ∑ n
j=1 u jē j ja
P L¯v ⊥ = P L¯v − P L¯v L = ¯v L − ¯v L = ¯0.
〈¯v ⊥ |ū〉 =
=
n∑
u i 〈¯v ⊥ |ē i 〉
i=1
n∑
u i
(〈¯v|ē i 〉 −
i=1
= 0,
eli ¯v ⊥ on kohtisuorassa jokaista ū ∈ L kohtaan, erityisesti
Lisäksi tästä seuraa
eli (Besselin epäyhtälö)
)
n∑
〈ē k |¯v〉 ∗ δ kj
k=1
〈¯v ⊥ |¯v L 〉 = 0. (4.21)
‖¯v‖ 2 = ‖¯v ⊥ + ¯v L ‖ 2 = ‖¯v L ‖ 2 + ‖¯v ⊥ ‖ 2 ≥ ‖¯v L ‖ 2
‖¯v‖ 2 ≥
n∑
|〈ē i |¯v〉| 2 . (4.22)
i=1
Otetaan ilman todistusta käyttöön tulos: Separoituvalla 6 Hilbertin avaruudella H on numeroituva
kanta, joka voidaan olettaa ortonormaaliksi. Tällöin jokainen ¯v ∈ H voidaan lausua muodossa
¯v = ∑ k
v k ē k . (4.23)
Nyt
〈ē j |¯v〉 = ∑ k
v k 〈ē j |ē k 〉 = v j
eli
¯v = ∑ k
〈ē k |¯v〉ē k . (4.24)
Lisäksi
‖¯v‖ 2 = ∑ k,l
v ∗ k v l〈ē k |ē l 〉 = ∑ k
|v k | 2
eli
‖¯v‖ 2 = ∑ k
|〈ē k |¯v〉| 2 , (4.25)
joka tunnetaan Parsevalin kaavana.
Huom. Esimerkiksi l 2 , L 2 , C n ja R n ovat separoituvia.
Huom. Erikoistapauksena saamme Parsevalin kaavan Fourier-sarjoille (vrt. FyMM Ib).
6 Avaruus on separoituva jos siihen sisältyy numeroituva tiheä joukko. Esim. R on separoituva, sillä Q on tiheä ja
numeroituva.

39
4.3 Hilbert avaruudet
Kertausta:
– V on C-kertoiminen vektoriavaruus
– Normi: kuvaus ‖·‖ : V → R, jolle
1. ‖u‖ ≥ 0, ‖u‖ = 0 ⇔ u = ¯0.
2. ‖au‖ = |a| ‖u‖, a ∈ C
3. ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖
– Suppeneminen: u n → u ⇔ ‖u n − u‖ → 0
– Cauchyn jono: ‖u n − u m ‖ → 0, n, m → ∞
– Banach-avaruus: Normiavaruus, jonka jokainen Cauchyn jono myös suppenee. (Täydellinen normiavaruus)
– Sisätulo: kuvaus V × V → C, jolle
1. 〈u|v〉 = 〈v|u〉 ∗
2. 〈u|av + bw〉 = a〈u|v〉 + b〈u|w〉
3. 〈u|u〉 ≥ 0, 〈u|u〉 = 0 ⇔ u = ¯0
– Sisätuloavaruus on normiavaruus: ‖u‖ = √ 〈u|u〉
– Hilbert avaruus: Täydellinen sisätuloavaruus.
Lisäksi palautetaan mieleen funktion jatkuvuus
Määritelmä 4.4 Funktio f : V → C on jatkuva (pisteessä u) jos
tai
u n → u =⇒ f(u n ) → f(u) (4.26)
∀ ɛ ∃ δ s.e. ‖u − v‖ < δ =⇒ |f(u) − f(v)| < ɛ. (4.27)
Funktio on jatkuva joukossa A, jos se on jatkuva jokaisessa joukon pisteessä.
Kuvausta ϕ : V → C sanotaan (lineeariseksi) funktionaaliksi, jos se on sekä jatkuva että lineaarinen.
Toisin sanoen ϕ on jatkuva ja ϕ(au + bv) = aϕ(u) + bϕ(v). (Lineaariset) Funktionaalit muodostavat
myös vektoriavaruuden, duaaliavaruuden V ∗ , kun määritellään
(ϕ + ψ)(u) = ϕ(u) + ψ(u)
(aϕ)(u) = aϕ(u)
¯0(u) = 0 ∀ u ∈ V

40
Määritelmä 4.5 Kuvaus ϕ on rajoitettu jos on olemassa M > 0 s.e.
|ϕ(u)| ≤ M ‖u‖ ∀ u ∈ V (4.28)
Lause 4.3 Olkoon V Banach avaruus. Lineaarinen funktionaali ϕ : V → C on jatkuva jos ja vain jos
se on rajoitettu.
Todistus 4.3 ”⇒”. Koska ϕ on jatkuva, se on jatkuva erityisesti origossa. On siis olemassa δ s.e.
|ϕ(u)| < 1, kun ‖u‖ < δ. Olkoon ¯0 ≠ u ∈ V ja δ kuten edellä, jolloin
( )∣ |ϕ(u)| =
2 ‖u‖ δu ∣∣∣
∣ ϕ < 2 ‖u‖ · 1,
δ 2 ‖u‖ δ
sillä
∥ ∥∥∥ δu
2 ‖u‖ ∥ = δ 2 < δ.
M:ksi voidaan siis valita esimerksi 2/δ.
”⇐”. Olkoon ɛ > 0. Jos |ϕ(u)| ≤ M ‖u‖ ∀u ∈ V , niin
joten ϕ on jatkuva.
‖u − v‖ < ɛ M ⇒ |ϕ(u) − ϕ(v)| = |ϕ(u − v)| ≤ M ‖u − v‖ < M · ɛ
M = ɛ,
Esimerkki 4.7 V = l 1 eli jonot (x 1 , x 2 , . . .), joille
‖x‖ =
∞∑
|x k | < ∞. (4.29)
Olkoon c = (c 1 , c 2 , . . .) jono kompleksilukuja ja ϕ c : l 1 → C määritelty kaavalla
k=1
ϕ c (x) =
∞∑
c k x k . (4.30)
ϕ c on selvästi lineaarinen. Jos |c k | < K kaikilla i, niin ϕ c on rajoitettu, sillä
|ϕ c (x)| ≤
k=1
k=1
∞∑
∞∑
|c k x k | ≤ K |x k | = K ‖x‖ .
ϕ on siis jatkuva jos c on rajoitettu. Osoitetaan vielä, että muussa tapauksessa ϕ c ei ole jatkuva. Jos
|c i | ei ole ylhäältä rajoitettu on olemassa osajono (c ij ) ∞ j=1 s.e. |c i j
| → ∞, kun i j → ∞. Käytetään
jatkuvuuden jonomääritelmää, ja muodostetaan jono (x (j) ) ⊂ l 1 , missä
Nyt ∥ ∥x (j)∥ ∥ = 1/|c ij | → 0, koska |c ij | → ∞, mutta
k=1
x (j) = (0, 0, . . . , 0, 1/c ij , 0 . . .).
} {{ }
i j :s
ϕ c (x (j) ) =
∞∑
i=1
c i x (j)
i
= c ij · 1/c ij = 1
kaikilla i, mikä on ristiriita, sillä jatkuvuuden nojalla pitäisi ϕ(x (j) ) → 0 = ϕ x (¯0), koska x (j) → ¯0.

41
Lause 4.4 (Suunnikassääntö) Hilbert avaruudessa pätee
Todistus 4.4 Suora lasku:
‖u + v‖ 2 + ‖u − v‖ 2 = 2 ‖u‖ 2 + 2 ‖v‖ 2
‖u + v‖ 2 + ‖u − v‖ 2 = 〈u + v|u + v〉 + 〈u − v|u − v〉
= 2 ‖u‖ 2 + 2 ‖v‖ 2 + 〈u|v〉 + 〈v|u〉 − 〈u|v〉 − 〈v|u〉
= 2 ‖u‖ 2 + 2 ‖v‖ 2 .
Tästä seuraa mm. ‖u + v‖ 2 ≤ 2 ‖u‖ 2 + 2 ‖v‖ 2 . Suunnikassäännön avulla on myös helppo osoittaa, ettei
jokin normi ole sisätulon määräämä ts. että jokin Banach avaruus ei ole Hilbert avaruus. Esim l p - ja
L p -avaruudet eivät ole Hilbert-avaruuksia, kun p ≠ 2.
Eräs tärkeä Hilbertin avaruus on L 2 (Ω), missä Ω ⊂ R n ja
∫
f ∈ L 2 (Ω) ⇐⇒ ‖f‖ 2 := d n x|f(x)| 2 < ∞.
Sisätulo on
∫
〈f|g〉 =
Ω
Ω
d n xf(x) ∗ g(x).
Samaistetaan f ja g jos ‖f − g‖ = 0 (”f = g melkein kaikkialla”). Seuraava lause on osa Riesz-Fischerin
lauseesta.
Lause 4.5 (Riesz-Fischer, p = 2.)
Jos f 1 , f 2 , . . . on Cauchyn jono L 2 (Ω):ssa, niin on olemassa f ∈ L 2 (Ω) jolle ‖f n − f‖ → 0, kun n → ∞
Todistuksen pääpiirteet. (f n ) Cauchyn jono, joten voidaan siirtyä osajonoon (f nk ), jolle
‖f nk − f nk −1‖ < 2 −n .
Indeksöidään osajono uudelleen, merk. (f k ). Muodostetaan sitten
ja koska
‖h‖ ≤
h(x) =
∞∑
|f k (x) − f k−1 (x)|
k=1
∞∑
‖f k (x) − f k−1 (x)‖ ≤
k=1
∞∑
2 −n = 1
on h 2 integroituva ja tällöin |h(x)| < ∞ melkein kaikkialla. Määritellään
{
fn (x) − f
g n (x) =
n−1 (x), kun |h(x)| < ∞
0 , kun |h(x)| = ∞ .
Nyt haluttu f on ∑ n g n. Näin määritelty f kuuluu L 2 :een, sillä
∥ ∞∑ ∥∥∥∥ ∞∑
‖f‖ =
g n ≤
|g n |
= ‖h‖ (4.31)
∥ ∥ ∥
n=1
n=1
k=1
ja h ∈ L 2 . Lisäksi
‖f − f n ‖ =
∥
∥
∞∑ ∥∥∥∥ ∞∑
∞∑
g k ≤ ‖g k ‖ < 2 −k = 2 −n → 0.
k=n+1
k=n+1 k=n+1

42
4.4 Aliavaruudet ja separoituvuus
Vektoriavaruuden V vektorialiavaruus on mikä tahansa joukko W ⊂ V , jonka alkioille pätee u, v ∈
W ⇒ αu + βv ∈ W kaikilla α, β ∈ C. Hilbert avaruudessa määritellään: Hilbertin avaruuden H
aliavaruus H ′ on H:n vektorialiavaruus, joka on lisäksi joukkona suljettu, t.s. jos u n ∈ H ′ ∀ n ja
‖u n − u‖ → 0, niin u ∈ H ′ . Jos W on H:n vektorialiavaruus, sen sulkeuma W on pienin H:n aliavaruus,
joka sisältää W :n. Oleellisesti W saadaan lisäämällä W :hen kaikkien W :n alkioista muodostettujen
suppenevien jonojen raja-arvot. Olkoon K H:n mielivaltainen osajoukko. K:n generoima
vektorialivaruus L(K) on
{ n∑
}
L(K) = α i u i : α i ∈ C, u i ∈ K . (4.32)
i=1
Vastaavasti K:n generoima H:n aliavaruus on L(K).
Kuten aiemmin todettin (ilman todistusta), jos H on separoituva on olemassa numeroituva joukko
K = {u 1 , u 2 , . . .} ⊂ H s.e. H = L(K). Jos H on separoituva, niin lähtien vektoreista u i voimme
Gram-Schmidtin menetelmää käyttäen ja jättäen pois lineaarisesti riippuvia vektoreita muodostaa
ortonormitetun joukon {e 1 , e 2 , . . .} (〈e i |e j 〉 = δ ij ) ja tällöin
H = L(K) ⇐⇒ H = L({e 1 , e 2 , . . .})
eli separoituvalla Hilbert avaruudella on numeroituva ortonormaali kanta.
Lause 4.6 Jos H on separoituva Hilbert avaruus ja {e 1 , e 2 , . . .} on o.n. kanta, niin jokainen u ∈ H
voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa
u =
∞∑
c i e i , (4.33)
i=1
missä c i = 〈e i |u〉.
Lauseen todistamiseksi ensin kaksi aputulosta.
Apulause 4.1 Hilbert avaruuden sisätulo on jatkuva, t.s. kaikilla u ∈ H pätee
lim v n = v =⇒ lim 〈u|v n〉 = 〈u|v〉.
n→∞ n→∞
Todistus 4.5 |〈u|v n 〉−〈u|v〉| = |〈u|v n −v〉| ≤ ‖u‖ ‖v n − v‖ → 0, missä epäyhtälö on Cauchy-Schwarzin
epäyhtälö (4.8). Oikeastaan pelkkä Cauchy-Schwarzin epäyhtälö riittää kun huomaa että sisätulo on
rajoitettu funktionaali.
Apulause 4.2 Jos {e 1 , e 2 , . . .} on Hilbert avaruuden H o.n. kanta ja 〈v|e k 〉 = 0 kaikilla k, niin v = ¯0
Todistus 4.6 Koska H = L({e 1 , e 2 , . . .}), niin v = lim n→∞ v n , missä v n = ∑ N n
i=1 v n,ie i . Lisäksi
〈v|e k 〉 = 0 ∀ k =⇒ 〈v|v n 〉 = 0.
Nyt aputuloksen 4.1 mukaan
eli v = ¯0.
‖v‖ 2 = 〈v|v〉 = lim
n→∞ 〈v|v n〉 = 0

43
Todistus 4.7 (Lauseen 4.6 todistus) Besselin epäyhtälön mukaan
N∑
|〈e n |u〉| 2 ≤ ‖u‖ 2
n=1
∀ N ∈ N
eli sarja ∑ k |〈e n|u〉| 2 suppenee. Määritellään nyt
jolloin (u n ) on Cauchyn jono, sillä
u N =
‖u N − u M ‖ 2 =
N∑
〈e n |u〉e n ,
n=1
N∑
n=M+1
|〈e n |u〉| 2 −→ 0
osana suppenevan sarjan häntää. Koska H on täydellinen on olemassa u ′ , jolle u n → u ′ . Nyt aputuloksen
4.1 mukaan
Kuitenkin 〈e k |u N 〉 = 〈e k |u〉, kun N ≥ k, joten
〈e k |u − u ′ 〉 = 〈e k |u〉 − 〈e k |u ′ 〉
= 〈e k |u ′ 〉 − lim
N→∞ 〈e k|u N 〉.
lim 〈e k|u N 〉 = 〈e k |u〉 ja 〈e k |u − u ′ 〉 = 0.
N→∞
Koska tämä pätee kaikilla k ∈ N on aputuloksen 4.2 mukaan oltava u − u ′ = ¯0 eli
mikä kuuluikin todistaa.
u = u ′ =
∞∑
〈e n |u〉e n , (4.34)
n=1
Voidaan osoittaa, että esimerkiksi L 2 ([a, b]), L 2 (R) ja L 2 (R n ) ovat separoituvia.
Todistuksn idea. Weierstrassin approksimaatiolauseen mukaan jokaista f ∈ L 2 ([a, b]) voidaan approksimoida
mielivaltaisen tarkasti polynomeilla. Eli kaikilla f ∈ L 2 ([a, b]) on olemassa polynomi
P s.e. ‖f − P ‖ < ɛ. Pätee siis L 2 ([a, b]) = L({1, x, x 2 , . . .}). Monomien joukkoon voi soveltaa Gram-
Schmidtiä tai o.n. kannan voi rakentaa vaikka suoraan Legendren polynomeista. Vastaavasti L 2 (R) =
L({ϕ 0 , ϕ 1 , . . .}, missä
ϕ n (x) =
1
√
2 n n! √ π H n(x)exp
) (− x2
2
ja H n on Hermiten n:s polynomi. Tästä seuraa myös L 2 (R d ):n separoituvuus:
ϕ n1 n 2···n d
(x 1 , x 2 , . . . , x d ) = ϕ n1 (x 1 )ϕ n2 (x 2 ) · · · ϕ nd (x d )
Jotta saisimme todistettua vielä Plancherelin kaavan separoituvissa Hilbert avaruuksissa todistetaan
ensin skalaaritulon jatkuvuus kahden muuttujan funktiona.
Apulause 4.3 Jos u n → u ja v n → v, niin
〈v n |u n 〉 −→ 〈v|u〉

44
Todistus 4.8
|〈v n |u n 〉 − 〈v|u〉| = |〈v n |u n 〉 − 〈v|u n 〉 + 〈v|u n 〉 − 〈v|u〉|
≤ |〈v n |u n 〉 − 〈v|u n 〉| + |〈v|u n 〉 − 〈v|u〉|
≤ ‖u n ‖ ‖v n − v‖ + ‖u n − u‖ ‖v‖
−→ 0,
kun n → ∞.
Lause 4.7 (Plancherel) Olkoon {e 1 , e 2 , . . .} Hilbertin avaruuden H o.n. kanta. Tällöin kaikilla u, v ∈
H pätee
∞∑
〈u|v〉 = 〈u|e n 〉〈e n |v〉. (4.35)
n=1
Todistus 4.9 Määritellään
Nyt apulauseen 4.3 mukaan
u n =
v n =
n∑
〈e i |u〉e i (−→ u) ja
i=1
n∑
〈e i |v〉e i (−→ v).
i=1
〈u|v〉 = lim 〈u n|v n 〉
n→∞
n∑ n∑
= lim 〈u|e i 〉〈e i |e j 〉〈e j |v〉
n→∞
= lim
n→∞
=
i=1 j=1
n∑
〈u|e i 〉〈e i |v〉
i=1
∞∑
〈u|e i 〉〈e i |v〉.
Huom. erikoistapaus u = v, jolloin ‖u‖ = ∑ i |〈e i|u〉| 2 (Parseval).
i=1
Kertauksena u, v ∈ H ovat ortogonaalisia (u⊥v) jos 〈u|v〉 = 0. Olkoon V H:n aliavaruus, sen ortogonaalinen
komplementti on
V ⊥ = {u : u⊥v ∀ v ∈ V } . (4.36)
Myös V ⊥ on H:n aliavaruus:
Se on vektoriavaruus, koska
u, u ′ ∈ V ⊥ =⇒ 〈au + bu ′ |v〉 = a ∗ 〈u|v〉 + b ∗ 〈u ′ |v〉 = 0 + 0 = 0
kaikilla v ∈ V eli au + bu ′ ∈ V ⊥ . Lisäksi se on suljettu, sillä jos u n ∈ V ⊥ ja u n → u, niin
〈u|v〉 = lim
n→∞ 〈u n|v〉 = lim
n→∞ 0 = 0
eli u ∈ V ⊥ .
Huom. V ∩ V ⊥ = {¯0}, sillä jos v ∈ V ∩ V ⊥ , niin 〈v|v〉 = 0 eli v = ¯0.
Lause 4.8 Jos V on Hilbert avaruuden H aliavararuus, niin jokainen u ∈ H voidaan yksikäsitteisesti
hajoittaa muotoon u = u ′ + u ′′ , missä u ′ ∈ V ja u ′′ ∈ V ⊥ .

45
Todistus 4.10 (Olemme jo todistaneet lauseen äärellisulotteisen aliavaruuden tapauksessa ja nyt tehdään
se yleisesti.) Olkoon u ∈ H annettu, merkitään
d = inf {‖u − v‖ : v ∈ V } (4.37)
Olkoon (v n ) jokin V:n jono jolle ‖u − v n ‖ → d. (v n ) on Cauchyn jono, sillä suunnikassäänön mukaan
‖u − v m ‖ 2 + ‖u − v n ‖ 2 =
∥ u − 1 2 (v n + v m ) + 1 2 (v 2
n − v m )
∥
+
∥ u − 1 2 (v n + v m ) − 1 2 (v 2
n − v m )
∥
= 2
∥ u − 1 2 (v 2
n + v m )
∥ + 2
1
∥2 (v n − v m )
∥
2
,
joten
‖v n − v m ‖ 2 = 2 ‖u − v n ‖ 2 + 2 ‖u − v m ‖ 2 − 4
∥ u − 1 2 (v n + v m )
∥
2
joka lähestyy nollaa, kun n, m → ∞, sillä
‖u − v n ‖ 2 −→ d 2
‖u − v m ‖ 2 −→ d 2
∥ u − 1 2 (v 2
n + v m )
∥ −→ d 2 .
V on suljettu joten on olemassa u ′ ∈ V s.e. v n → u ′ . Määritellän u ′′ = u − u ′ (‖u ′′ ‖ = d). Osoitetaan,
että u ′′ ∈ V ⊥ . Olkoon v ∈ V ja v 0 = v/ ‖v‖. Koska V on vektoriavaruus ja u ′ , v 0 ∈ V , niin u ′ +
〈v 0 |u ′′ 〉v 0 ∈ V . Tällöin
d 2 ≤ ∥ ∥ u − (u ′ + 〈v 0 |u ′′ 〉v 0 ) ∥ ∥ 2
= ∥ ∥u ′′ − 〈v 0 |u ′′ 〉v 0
∥ ∥
2
= ∥ ∥u ′′∥ ∥ 2 − |〈v 0 |u ′′ 〉| 2
= d 2 − |〈v 0 |u ′′ 〉| 2 .
Tämä on mahdollista vain jos 〈v 0 |u ′′ 〉 = 0 eli 〈v|u ′′ 〉 = 0, joten u ′′ ∈ V ⊥ ja u = u ′ − u ′′ on haluttu
esitys. Lisäksi esitys on yksikäsitteinen: Oletetaan, että on olemassa u ′ , v ′ ∈ V ja u ′′ , v ′′ ∈ V ⊥ s.e.
u = u ′ + u ′′ = v ′ + v ′′ . Tällöin
u
} ′ {{
− v
}
′ =
}
u ′′ {{
− v ′′
}
∈V ∈V ⊥
eli u ′ − v ′ = u ′′ − v ′′ = ¯0, sillä V ∩ V ⊥ = {¯0}.
Seuraus 4.1 (V ⊥ ) ⊥ = V .
Todistus 4.11 ”⊇”. Jos v ∈ V , niin 〈v|u〉 = 0 ∀ u ∈ V ⊥ ⇒ v ∈ (V ⊥ ) ⊥ ⇒ V ⊆ (V ⊥ ) ⊥ .
”⊆”. Olkoon v ∈ (V ⊥ ) ⊥ . v = v ′ + v ′′ joillakin v ′ ∈ V, v ′′ ∈ V ⊥ . Edellisen kohdan mukaan v ′ ∈ V ⊆
(V ⊥ ) ⊥ , joten v ′′ = v − v ′ ∈ (V ⊥ ) ⊥ sekä (V ⊥ ) joten v ′′ = ¯0 ja siis v ∈ V eli (V ⊥ ) ⊥ ⊆ V .
Nyt V ⊆ (V ⊥ ) ⊥ & (V ⊥ ) ⊥ ⊆ V =⇒ (V ⊥ ) ⊥ = V .

46
4.5 Hilbertin avaruuden jatkuvat funktionaalit
Olemme jo kahdesti (4.8 ja 4.1) osoittaneet, että kuvaus u ↦→ 〈v|u〉 on jatkuva kaikilla v ∈ H ja
lisäksi se on määritelmänsä mukaan lineaarinen. Seuraava lause osoittaa että kaikki Hilbert avaruuden
jatkuvat funktionaalit ovat tätä muotoa.
Lause 4.9 (Rieszin esityslause) Jos ϕ on Hilbert avaruuden jatkuva funktionaali, niin on olemassa
yksikäsitteinen vektori v ∈ H s.e. ϕ(u) = 〈v|u〉 ∀ u ∈ H.
Todistus. Olkoon V = Ker(ϕ) := {x ∈ H : ϕ(x) = 0}, joka on H:n aliavaruus: x, y ∈ V ⇒ ϕ(ax+by) =
aϕ(x) + bϕ(y) = 0. Lisäksi V on ϕ:n jatkuvuuden nojalla suljettu.
Jos V = H, niin ϕ(u) = 0 ∀ u ∈ H ja voidaan valita v = ¯0. Tämä on yksikäsitteinen, sillä 〈v|u〉 =
0 ∀ u ∈ H vain kun v = ¯0.
Jos V ≠ H, niin on olemassa ¯0 ≠ w ∈ H \ V , joka voidaan esittää w = w ′ + w ′′ , missä w ′ ∈ V ja
w ′′ ∈ V ⊥ . Huomataan
joten mielivaltaiselle u ∈ H voidaan kirjoittaa
ϕ(w ′′ ) = ϕ(w − w ′ ) = ϕ(w) − ϕ(w ′ ) = ϕ(w) ≠ 0,
u = u − ϕ(u)
ϕ(w ′′ ) w′′ + ϕ(u)
ϕ(w
} {{ }
′′ ) w′′ . (4.38)
} {{ }
∈V
∈V ⊥
Olkoon nyt v = ϕ(w ′′ ) ∗
w′′
‖w ′′ ‖ 2
∈ V ⊥ , jolloin
〈v|u〉 = ϕ(w′′ )
‖w ′′ ‖ 2 〈w′′ | ϕ(u)
ϕ(w ′′ ) w′′ 〉
= ϕ(u)
‖w ′′ ‖ 2 〈w′′ |w ′′ 〉
= ϕ(u). (4.39)
Lisäksi löydetty v on yksikäsitteinen, sillä jos 〈v|u〉 = 〈v ′ |u〉 ∀ u ∈ H, niin valitsemalla u = v − v ′
saadaan ‖v − v ′ ‖ 2 = 0 eli v − v ′ = ¯0.
Rieszin esityslause sanoo siis, että on olemassa 1-1 vastaavuus H:n ja sen duaalin H ∗ välillä (ϕ ↔ v).
5 Operaattorit
5.1 Perusominaisuudet
Olkoon V normitettu vektoriavaruus. Operaattori A on lineaarinen kuvaus A : V → V , u ↦→ Au ja
A(αu + βv) = αAu + βAv.
Lisäksi operaattori A on jatkuva jos u n → u ⇒ Au n → Au t.s. ∀ ɛ > 0 ∃ δ > 0 s.e. ‖u − v‖ < δ ⇒
‖Au − Av‖ < ɛ.
Operaattori on rajoitettu jos on olemassa K > 0 s.e. ‖Au‖ ≤ K ‖u‖ kaikilla u ∈ V ja aivan kuten
funktionaaleilla nämä kaksi ovat yhtäpitäviä ominaisuuksia.
Lause 5.1 A on rajoitettu ⇐⇒ A on jatkuva.
Todistus 5.1 ”⇒”. Olkoon ɛ > 0. Nyt
‖u − v‖ < ɛ K ⇒ ‖Au − Av‖ = ‖A(u − v)‖ < ɛ K K = ɛ.

47
”⇐”. Jos A ei olisi rajoitettu pitäisi jokaiselle K > 0 löytyä u K s.e ‖Au K ‖ ≥ K ‖u K ‖. Määritellään
jolloin
w K =
‖Aw K ‖ ≥
u K
K ‖u K ‖ ⇒ ‖w K‖ = 1 K ,
1
K ‖u K ‖ K ‖u K‖ = 1.
Kun K → ∞, niin w K → ¯0, mutta ‖Aw K ‖ → 1 ≠ 0, mikä on ristiriidassa jatkuvuuden kanssa, joten
A:n täytyy olla rajoitettu.
Määritellään rajoitetun operaattorin normi:
Pätee
‖A‖ = sup ‖Au‖ . (5.1)
‖u‖≤1
( )∥ ‖Au‖ = ‖u‖
u ∥∥∥
∥ A ≤ ‖u‖ ‖A‖ ,
‖u‖
joten A on rajoitettu (eli jatkuva) jos ja vain jos sen normi on äärellinen.
Esimerkki 5.1 V = l 2 eli jonot x = (x 1 , x 2 , . . .), joille
Määritellään siirto-operaattorit S − ja S + :
Nyt
‖x‖ 2 =
∞∑
|x i | 2 < ∞
i=1
S + (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , . . .) = (0, x 1 , x 2 , x 3 , . . .) (5.2)
S − (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , . . .) = (x 2 , x 3 , x 4 , . . .) (5.3)
‖S + x‖ 2 = 0 +
‖S − x‖ 2 =
∞∑
|x n | 2 = ‖x‖ 2
n=1
∞∑
|x n | 2 = ‖x‖ 2 − |x 1 | ≤ ‖x‖ 2 ,
n=2
joten molemmat ovat rajoitettuja. Ilmeisesti ‖S + ‖ = 1, mutta myös ‖S − ‖ = 1, sillä esimerkiksi
‖S − (0, 1, 0, 0, . . .)‖ = ‖(1, 0, 0, . . .)‖ = 1 = ‖(0, 1, 0, 0, . . .)‖ .
Operaattoreiden A : V → V ja B : V → V tulo määritellään kaavalla (AB)u = A(Bu). Määritelmästä
seuraa A(BC) = (AB)C (”assosiatiivisuus”). Ilmeisesti pätee id V A = Aid V = A, A 2 = AA, A k =
AA k−1 = A k−1 A (sovitaan A 0 = id V ).
Jos A on rajoitettu ja löytyy rajoitettu operaattori A −1 s.e. AA −1 = A −1 A = id V (Huom. molempien
on oltava voimassa!), niin A −1 on A:n käänteisoperaattori. Jos käänteisoperaattori on olemassa, se on
yksikäsitteinen, sillä jos BA = A −1 A = id V , niin BA = BAA −1 = A −1 AA −1 = A −1 .
Esimerkki 5.2 Jatkoa esimerkkiin 5.1. Kaikilla x ∈ l 2 pätee
S − S + x = S − S + (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , . . .)
= S − (0, x 1 , x 2 , x 3 , . . .)
= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , . . .)
= x
⇒ S − S + = id l 2.

48
Mutta
S + S − x = S + S − (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )
= S + (x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , . . .)
= (0, x 2 , x 3 , x 4 , . . .)
≠ x
⇒ S + S − ≠ id l 2.
S + ja S − eivät siis ole toistensa käänteisoperaattoreita.
Lause 5.2 (Neumannin sarja) Jos V on Banach avaruus ja A V :n operaattori s.e. ‖A‖ < 1, niin
id V − A:lla on käänteisoperaattori
∞∑
(id V − A) −1 = A n . (5.4)
Todistus 5.2 Kaikilla x ∈ V pätee
∥
∥A k ∥
x∥ ≤ ‖A‖ ∥A k−1 ∥ x∥ ≤ ‖A‖ 2 ∥A k−2 x∥ ≤ . . . ≤ ‖A‖ k ‖x‖ ,
joten A k on rajoitettu ja ∥ ∥A k∥ ∥ ≤ ‖A‖ k . Huomataan, että vektorit u n = (id V + A + A 2 + . . . + A n )x
muodostavat Cauchyn jonon (n ≥ m):
n=0
‖u n − u m ‖ = ∥ ∥(A m+1 + A m+2 + . . . + A n )x ∥ ∥
= (‖A‖ m+1 + ‖A‖ m+2 + . . . + ‖A‖ n ) ‖x‖
≤ ‖A‖m+1
1 − ‖A‖ ‖x‖
−→ 0.
Koska V on täydellinen, on olemassa u ∈ V s.e. u n → u. Määritellään operaattori T : V → V kaavalla
T x = u, joka on lineearinen ja
M∑
(T − A n )x = u − u M → ¯0.
Voimme siis kirjoittaa
Lisäksi nähdään
eli T = (id V − A) −1 .
5.2 Adjungoitu operaattori
n=0
T =
∞∑
A n .
n=0
(id V − A)T = id V + A + A 2 + . . . − A − A 2 − . . .
= id V
= T (id V − A)
Olkoon H Hilbert avaruus ja A : H → H rajoitettu operaattori H:lla. Operaattorin adjungoitu operaattori
A † : H → H määritellään yhtälön
〈u|Av〉 = 〈A † u|v〉 ∀ u, v ∈ H (5.5)

49
avulla. Määritelmä on mielekäs, sillä kun u on annettu, funktionaali ϕ u (v) = 〈u|Av〉 on selvästi lineaarinen
ja lisäksi jatkuva, koska
|ϕ u (v)| = |〈u|Av〉| ≤ ‖u‖ ‖Av‖ ≤ ‖u‖ ‖A‖ ‖v‖ =: K ‖v‖ .
Rieszin esityslauseen nojalla on olemassa yksikäsitteinen vektori A † u ∈ H s.e. ϕ u (v) = 〈A † u|v〉. Lisäksi
A † on lineaarinen:
〈A † (au + bw)|v〉 = 〈au + bw|Av〉
= a ∗ 〈u|Av〉 + b ∗ 〈w|Av〉
= a ∗ 〈A † u|v〉 + b ∗ 〈A † w|v〉
= 〈aA † u + bA † w|v〉.
Sekä jatkuva:
∥
∥A † u∥ 2 = 〈A † u|A † u〉
= 〈u|AA † u〉
∥
(Schwarz) → ≤ ‖u‖ ∥AA † u∥
∥
≤ ‖u‖ ‖A‖ ∥A † u∥
∥
⇒ ∥A † u∥ ≤ ‖A‖ ‖u‖ .
Esimerkki 5.3 (l 2 :n siirto-operaattoreiden adjungaatit)
S + (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , . . .) = (0, x 1 , x 2 , x 3 , . . .)
S − (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , . . .) = (x 2 , x 3 , x 4 , . . .).
Huomataan, että pätee
〈y|S + x〉 =
〈S − y|x〉 =
∞∑
yi ∗ (S + x) i =
i=1
∞∑
(S − y) ∗ i x i =
∞∑
i=1
i=1
i=1
y ∗ i+1x i
∞∑
yi+1x ∗ i ,
joten S − = S † + . Ilmeisesti myös S + = S † − (itse asiassa aina pätee (A† ) † = A).
Esimerkki 5.4 Olkoon H = L 2 (X) ja α : X → C rajoitettu (|α(x)| ≤ M ∀ x ∈ X). Määritellään
kertomisoperaattori A α kaavalla (A α f)(x) = α(x)f(x). Se on rajoitettu:
∫
∫
‖A α f‖ 2 = dx |α(x)| 2 |f(x)| 2 ≤ M 2 dx|f(x)| 2 = M 2 ‖f‖ 2 .
X } {{ }
X
≤M 2
Lisäksi kaikilla f, g ∈ L 2 (X) pätee
∫
∫
〈f|A α g〉 = dxf(x) ∗ α(x)g(x) =
eli (A † αf)(x) = α(x) ∗ f(x).
X
X
dx(f(x)α(x) ∗ ) ∗ g(x) = 〈α ∗ f|g〉

50
Operaattorin A matriisielementti vektoreiden u ja v välillä on 〈u|Av〉. Jos H on separoituva ja
{e i : i ∈ N} on sen o.n. kanta, voidaan kirjoittaa
∞∑
Ae j = e i a ij
missä a ij on matriisielementti 〈e i |Ae j 〉. Jos taas
u =
i=1
∞∑
u i e i ja v =
i=1
niin (vrt. vektori-matriisitoimituksiin A · v ja u ∗ · A · v)
ja
Operaattoritulolle
Av =
∞∑
v i Ae i =
i=1
∞∑
j=1 i=1
〈u|Av〉 =
∞∑
v i e i ,
i=1
∞∑
v i a ji e j =
∞∑
j=1 i=1
(
∞∑ ∑ ∞
)
a ji v i e j (5.6)
j=1
i=1
〈e i |ABe j 〉 = 〈A † e i |Be j 〉
∞∑
(Parseval) → = 〈A † e i |e k 〉〈e k |Be j 〉
=
=
k=1
∞∑
u ∗ ja ji v i . (5.7)
∞∑
〈e i |Ae k 〉〈e k |Be j 〉
k=1
∞∑
a ik b kj (5.8)
k=1
= (AB) ij
Annetussa kannassa voidaan siis operaattoria kuvata (yl. ∞×∞) matriisilla. Adjungoidun operaattorin
matriisi:
a ij = 〈e i |Ae j 〉 = 〈A † e i |e j 〉 = 〈e j |A † e i 〉 ∗ = (a † ji )∗
(
)
eli adjungoidun operaattorin matriisi on siis operaattorin matriisin hermiittinen konjugaatti (M † ) ij = (M) ∗ ji .
5.3 Hermiittiset ja unitaariset operaattorit, projektio
Operaattori on hermiittinen jos A † = A. Tästä seuraa
Separoituvassa Hilbert avaruudessa ({e i } o.n. kanta)
〈u|Av〉 = 〈A † u|v〉 = 〈Au|v〉. (5.9)
a ij = 〈e i |Ae j 〉 = 〈Ae i |e j 〉 = 〈e j |Ae i 〉 ∗ = a ∗ ji,
toisin sanoen hermiittisen operaattorin matriisi on hermiittinen (matriisi on hermiittinen jos M ij =
M ∗ ji ).
Aikaisemmin todistimme: Jos M on Hilbert avaruuden H aliavaruus niin kaikilla u ∈ H on yksikäsitteinen
hajoitelma u = u ′ + u ′′ , missä u ′ ∈ M ja u ′′ ∈ M ⊥ . Määrittelemme projektio-operaattorin:
P M : H → H, P M u = u ′
ja kutsumme u ′ :a vektorin u kohtisuoraksi projektioksi aliavaruudelle M.

51
Lause 5.3 Jokaiselle aliavaruudelle M projektio-operaattori P M on rajoitettu, hermiittinen ja toteuttaa
P 2 M = P M. Kääntäen jokainen yhtälön P 2 = P toteuttava hermiittinen operaattori on projektio jollekin
H:n aliavaruudelle.
Todistus 5.3 P M on hermiittinen:
P M on rajoitettu:
eli ‖P M ‖ 2 ≤ 1.P 2 M = P M:
〈u|P M v〉 = 〈u|v ′ 〉 = 〈u ′ + u ′′ |v ′ 〉 = 〈u ′ |v ′ 〉 = 〈u ′ |v ′ + v ′′ 〉 = 〈P M u|v〉.
‖P M u‖ 2 = ∥ ∥ u
′ ∥ ∥ 2 ≤ ∥ ∥ u
′ ∥ ∥ 2 + ∥ ∥u ′′∥ ∥ 2 = ∥ ∥u ′ + u ′′∥ ∥ 2 = ‖u‖ 2 .
P 2 Mu = P M u ′ = u ′ = P M u ∀ u ∈ H ⇒ P 2 M = P M .
Käänteinen puoli: Olkoon P † = P = P 2 . P on rajoitettu, koska
‖P u‖ 2 = |〈P u|P u〉| = |〈u|P 2 u〉| = |〈u|P u〉| ≤ ‖u‖ ‖P u‖
eli ‖P u‖ ≤ ‖u‖. P projektio-operaattori: Olkoon M = {u : u = P u}. M on vektoriavaruus, sillä
u = P u & v = P v ⇒ P (au + bv) = aP u + bP v = au + bv. Lisäksi M on suljettu: jos u n → u ja
P u n = u n , niin
u = lim u n = lim P u n =
n→∞ n→∞ }{{} P u.
P jva.
M on siis H:n aliavaruus. Olkoon v ∈ H, määritellään
Nyt v ′′ ∈ M ⊥ , sillä jos w ∈ M, niin
Siis P on projektio M:lle.
U : H → H on unitaarinen, jos
v ′ = P v
v ′′ = (id H − P )v = v − v ′ .
〈v ′′ |w〉 = 〈v − P v|w〉
= 〈v|w〉 − 〈P v|w〉
= 〈v|w〉 − 〈v|P w〉
= 〈v|w〉 − 〈v|w〉
= 0.
ja U −1 on olemassa. Suoraan määritelmästä seuraa:
joten
Lisäksi
〈Uu|Uv〉 = 〈u|v〉 ∀ u, v ∈ H (5.10)
〈U † Uu|v〉 = 〈u|v〉 ∀ u, v ∈ H,
U † U = id H eli U −1 = U † .
‖Uu‖ 2 = 〈Uu|Uu〉 = 〈u|u〉 = ‖u‖ 2 (5.11)
eli U on isometrinen (säilyttää normin). Kääntäen jokainen isometrinen operaattori S on unitaarinen:
〈S(u + v)|S(u + v)〉 − i〈S(u + iv)|S(u + iv)〉
= 〈u + v|u + v〉 − i〈u + iv|u + iv〉. (5.12)

52
Purkamalla sisätulot auki ja käyttämällä isometrisyyttä uudelleen saadaan:
Pätee siis
Oikea puoli = 〈u|u〉 + 〈u|v〉 + 〈v|u〉 + 〈v|v〉
− i〈u|u〉 + 〈u|v〉 − 〈v|u〉 − i〈v|v〉
= (1 − i)〈u|v〉 + (1 − i)〈v|v〉 + 2〈u|v〉.
Vasen puoli = 〈Su|Su〉 + 〈Su|Sv〉 + 〈Sv|Su〉 + 〈Su|Sv〉
− i〈Su|Su〉 + 〈Su|Sv〉 − 〈Sv|Su〉 − i〈Sv|Sv〉
= (1 − i)〈Su|Su〉 + (1 − i)〈Sv|Sv〉 + 2〈Su|Sv〉
(S isom. →) = (1 − i)〈u|u〉 + (1 − i)〈v|v〉 + 2〈Su|Sv〉.
5.12 ⇐⇒ 2〈Su|Sv〉 = 2〈u|v〉
jakamalla tämä 2:lla saadaan 〈Su|Sv〉 = 〈u|v〉 eli S on unitaarinen.
Olkoon nyt H separoituva, {e k } o.n. kanta sekä U unitaarinen operaattori H:lla. Tällöin myös vektorit
e ′ i = Ue i muodostavat o.n. kannan, sillä
〈e ′ i|e ′ j〉 = 〈Ue i |Ue j 〉 = 〈e i |e j 〉 = δ ij .
Kääntäen jos {e ′ k } ja {e k} ovat kaksi o.n. kantaa ja määritellään operaattori U s.e. Ue i = e ′ i ∀ i ∈ N,
niin U on unitaarinen: Olkoon
∞∑
∞∑
u = u i e i ja v = v i e i .
Tällöin
i=1
i=1
i=1
∞∑ ∞∑
〈Uu|Uv〉 = 〈 u i Ue i | v j Ue j 〉 =
=
j=1
∞∑
u ∗ i v j δ ij =
i,j=1
∞∑
u ∗ i v j 〈e ′ i|e ′ j〉
i,j=1
∞∑
u ∗ i v i = 〈u|v〉
i=1
eli U on unitaarinen.
6 Spektraaliteoriaa
6.1 Ominaisvektorit
Määritelmä 6.1 α ∈ C on rajoitetun operaattorin A : H → H ominaisarvo, jos on olemassa ¯0 ≠ u ∈
H s.e. Au = αu. Tällöin u on operaattorin A ominaisvektori.
Huom. Au = αu → A(βu) = α(βu). Monikäsitteisyyttä voidaan rajoittaa vaatimalla esimerkiksi
‖u‖ 2 = 1. Voi olla myös v ≠ βu, jolle Av = αv. Tällöin ominaisarvo on degeneroitunut.
Lause 6.1 Hermiittisen operaattorin ominaisarvot ovat reaalisia ja erisuuria ominaisarvoja vastaavat
ominaisvektorit ovat ortogonaalisia. (vrt. Sturm-Liouville)
Todistus 6.1 Olkoon α ja u s.e. Au = αu. Nyt
ja koska 〈u|u〉 ≠ 0 (u ≠ ¯0) on oltava α = α ∗ .
Jos lisäksi Av = βv, α ≠ β, niin
α〈u|u〉 = 〈u|Au〉 = 〈A † u|u〉 = 〈Au|u〉 = α ∗ 〈u|u〉
β〈u|v〉 = 〈u|Av〉 = 〈A † u|v〉 = α〈u|v〉
eli (α − β)〈u|v〉 = 0, ja koska α ≠ β on oltava 〈u|v〉 = 0.

53
Sanomme, että operaattori A on täydellinen, jos sen ominaisvektorit muodostavat täydellisen o.n.
joukon, eli mielivaltainen u ∈ H voidaan esittää
u = ∑ α
c α u α , (6.1)
missä Au α = αu α .
Esimerkki 6.1 (Projektio-operaattorin täydellisyys) Projektioille P 2 = P , joten jos P u = αu,
niin
αu = P u = P 2 u = αP u = α 2 u.
Tällöin siis α 2 = α eli α = 1 tai 0. P projisoi jollekin aliavaruudelle M:
u ∈ M =⇒ P u = u (ominaisarvo 1)
u ∈ M 2 =⇒ P u = 0 (ominaisarvo 0).
Todistimme aiemmin, että mikä tahansa u ∈ H voidaan esittää u = u ′ + u ′′ , missä u ′ ∈ M ja u ′′ ∈
M ⊥ . Erityisesti nämä ovat P M :n ominaisvektoreita ja ortogonaalisia, joten projektio-operaattorit ovat
täydellisiä.
Lause 6.2 Unitaarisen operaattorin ominaisarvot ovat muotoa α = e ia , missä a ∈ R, ja erisuuria
ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.
Todistus 6.2 Jos Uu = αu, niin
eli |α| = 1 t.s. α = e ia , jollakin a ∈ R.
Olkoon lisäksi Uv = βv, α ≠ β. Tällöin
Lisäksi
eli U † u = α −1 u = α ∗ u (|α| = 1). Pätee siis
ja koska α ≠ β on oltava 〈u|v〉 = 0.
6.2 Rajoitetun operaattorin spektri
‖u‖ = ‖Uu‖ = ‖αu‖ = |a| ‖u‖ ,
β〈u|v〉 = 〈u|Uv〉 = 〈U † u|v〉.
U † U = id H =⇒ u = U † Uu = αU † u,
β〈u|v〉 = 〈α ∗ u|v〉
⇐⇒ (α − β)〈u|v〉 = 0,
Äärellisulotteisessa sisätuloavaruudessa (dim(V ) = n) on kannan valinnan jälkeen ”operaattori ⇔ n×n
matriisi”. (Äärellisulotteisella) Matriisilla on aina ominaisarvoja: det(M − λI) on n:nnen asteen yhtälö
λ:lle ja algebran peruslauseen mukaan sillä on aina juuri(a). Ääretönulotteisessa avaruudessa tilanne
on monimutkaisempi.
Esimerkki 6.2 H = l 2 . Tutkitaan Siirto-operaattoreita S + , S − : l 2 → l 2
S + (x 1 , x 2 , x 3 , . . .) = (0, x 1 , x 2 , . . .) (6.2)
S − (x 1 , x 2 , x 3 , . . .) = (x 2 , x 3 , x 4 , . . .) (6.3)
Jos (0, x 1 , x 2 , . . .) = S + (x 1 , x 2 , . . .) = α(x 1 , x 2 , . . .), niin on oltava αx 1 = 0.

54
Jos x 1 = 0, niin x 2 = 0, joten x 3 = 0, joten x 4 = 0 jne. x i = 0 ∀ i ∈ N. ¯0 ei kuitenkaan kelpaa
ominaisvektoriksi.
Jos taas α = 0, niin x 1 = αx 2 = 0, x 2 = αx 3 = 0 jne. a i = αx i+1 = 0 ∀ i ∈ N. ¯0 ei kuitenkaan kelpaa
ominaisvektoriksi, joten S + :lla ei ole ominaisvektoreita!
Jos (x 2 , x 3 , . . .) = S − (x 1 , x 2 , . . .) = α(x 1 , x 2 , . . .), niin on oltava
x 2 = αx 1
x 3 = αx 2 = α 2 x 1
x 4 = αx 3 = α 3 x 1
.
x i = αx i−1 = α i−1 x 1 ,
joten ominais vektori on muotoa x = x 1 (1, α, α 2 , . . .). Lisäksi jotta
‖x‖ 2 = |x 1 | 2
∞ ∑
n=0
|α| 2n < ∞,
on oltava |α| < 1. Jokainen α ∈ C, jolle |α| < 1 on siis ominaisarvo! Huomaa ero (vaikka S − = S † + )!
Esimerkki 6.3 H = L 2 ([a, b])
Määritellään operaattori X : L 2 → L 2 :
Huomataan:
‖Xf‖ 2 =
∫ b
a
(Xf)(x) = xf(x) (6.4)
∫ b
x 2 |f(x)| 2 ≤ M 2 |f(x)| 2 = M 2 ‖f‖ 2 ,
missä M = max{|a|, |b|}, joten X on rajoitettu. Lisäksi X on myös hermiittinen (Tarkista!). X:n
ominaisfunktio toteuttaisi
xf λ (x) = λf λ (x) m.k. x ∈ [a, b],
joten täytyy olla f λ (x) = 0 m.k. x ∈ [a, b], mutta ¯0 ei käy ominaisvektoriksi. (Toisaalta distribuutio
f λ (x) = δ(x − λ) kävisi, muttei kuulu L 2 :een)
Tarvitaan siis uusi käsite spektri, joka yleistää ominaisarvot ja ottaisi huomioon edellisen esimerkin
kaltaiset tilanteet. Huomataan, että jos λ on A:n ominaisarvo, niin (A − λid H ) −1 ei ole olemassa: Jos
(A − λid H ) −1 olisi olemassa ja Au = λu, niin
u = (A − λid H ) −1 (A − λid H )u = (A − λid H ) −1¯0 = ¯0.
Määritelmä 6.2 λ ∈ C on operaattorin A säännöllinen arvo (engl. regular value) jos (A − λid H ) −1
on olemassa ja rajoitettu.
Määritelmä 6.3 Operaattorin A spektri on joukko
a
∑
(A) = {λ ∈ C : λ ei ole A:n säännöllinen arvo} (6.5)
Ainakin A:n kaikki ominaisarvot kuuluvat spektriin. ominaisarvot = ”pistespektri”, muut spektrin piteet
= ”jatkuva spektri”.

55
Esimerkki 6.4 (jatkoa esimerkkiin 6.3) Tarkastellaan siis L 2 :n operaattoria (Xf)(x) = xf(x).
Jos λ /∈ [a, b] (siis Im(λ) ≠ 0 tai Im(λ) = 0 ja λ < a tai λ > b) niin x − λ ≠ 0 kaikilla x ∈ [a, b] ja
sillä voidaan jakaa:
Lisäksi käänteisoperaattori on rajoitettu:
∥
∥(A − λid L 2) −1 f ∥ ∫ b
2 =
a
((X − λid L 2)f)(x) = (x − λ)f(x)
=⇒ ((X − λid L 2) −1 f)(x) = 1
x − λ f(x)
dx
|x − λ| 2 |f(x)|2 ≤ 1 ∫ b
d 2 dx|f(x)| 2 = 1 d 2 ‖f‖2 ,
missä 0 < d = inf x∈[a,b] |x − λ| = ”λ:n etäisyys janasta [a,b]”. Jokainen λ /∈ [a, b] on siis X:n säännöllinen
arvo. Jos taas λ ∈ [a, b], niin (X − λid L ) −1 ei ole rajoitettu (Osoita!), joten
∑
(A) = {λ : a ≤ λ ≤ b} = [a, b].
a
Lause 6.3 Olkoon A Hilbert avaruuden rajoitettu operaattori. Tällöin
1. λ ∈ ∑ (A) ⇒ |λ| ≤ ‖A‖.
2. A:n säännöllisten arvojen joukko on avoin.
3. ∑ (A) on C:n kompakti osajoukko.
Todistus 6.3 (1) Olkoon λ s.e. |λ| > ‖A‖. Operaattorin A/λ normi on tällöin < 1, joten
(id H − 1 λ A)−1 =
∞∑
( ) A n
λ
on olemassa ja rajoitettu. (A − λid H ) = λ(A/λ − id H ), joten (A − λid H ) −1 = −1/λ(id H − A/λ) −1 on
olemassa ja λ on säännöllinen. Siis jos λ ∈ ∑ (A) on oltava λ ≤ ‖A‖.
(2) Olkoon λ 0 säännöllinen arvo ja λ ∈ C. Muodostetaan
jolle
Tällöin on olemassa ja rajoitettu
n=0
B = id H − (A − λ 0 id H ) −1 (A − λid H )
= (A − λ 0 id H ) −1 [(A − λ 0 id H ) − (A − λid H )]
= (A − λ 0 id H ) −1 (λ − λ 0 )id H ,
‖B‖ = |λ − λ 0 | ∥ ∥(A − λ 0 id H ) −1∥ ∥ < 1
1
kun |λ − λ 0 | <
‖(A − λ 0 id H ) −1 ‖ .
(id H − B) −1 = [(A − λ 0 id H )(A − λid H )] −1
= (A − λid H ) −1 (A − λ 0 id H ),
joten myös λ on säännöllinen. On siis olemassa λ 0 :n ympäristö, jossa kaikki λ:t ovat säännöllisiä,
joten säännöllisten arvojen joukko on avoin.
(3) ∑ (A) on (1)-kohdan nojalla rajoitettu ja (2)-kohdan nojalla suljettu (avoimen joukon komplementtina),
joten se on Heine-Borelin lauseen nojalla kompakti.

56
6.3 Hermiittisen operaattorin spektri
Lause 6.4 Rajoitetun hermiittisen operaattorin spektri on reaalinen.
Todistus 6.4 Olkoon λ = a + ib, b ≠ 0 ja
V = {(A − λid H )u : u ∈ H} . (6.6)
Osoitetaan ensin että V on H:n aliavaruus. V on selvästi vektorialiavaruus, joten riittää osoittaa, että
se on suljettu. Olkoon v n = (A−λid H )u n → v jono V:n vektoreita. On osoitettava, että v ∈ V . Kaikilla
w ∈ H pätee:
joten
‖(A − id H )w‖ 2 = 〈(A − id H )w|(A − id H )w〉
= ‖Aw‖ 2 + |λ| 2 ‖w‖ 2 − λ〈Aw|w〉 − λ ∗ 〈w|Aw〉
= ‖Aw‖ 2 + |λ| 2 ‖w‖ 2 − (λ + λ ∗ )〈w|Aw〉
} {{ }
2a
= ‖Aw‖ 2 + (a 2 + b 2 ) ‖w‖ 2 − a (〈w|Aw〉 + 〈Aw|w〉)
= ‖(A − aid H )w‖ 2 + b 2 ‖w‖ 2
=⇒ ‖w‖ 2 = 1 b 2 (
‖(A − λid H )w‖ 2 − ‖(A − aid H )w‖ 2)
≤ 1 b 2 ‖(A − λid H)w‖ 2
⇐⇒ ‖w‖ ≤ 1
|b| ‖(A − λid H)w‖ , (6.7)
‖u n − u m ‖ ≤ 1
|b| ‖(A − λid H)(u n − u m )‖ = 1
|b| ‖v n − v m ‖ −→ 0,
koska (v n ) on suppeneva (erityisesti Cauhcy) jono. Myös u n on siis Cauchyn jono, joten se on myös
suppeneva (H täydellinen) eli on olemassa lim n u n = u. Mutta A − λid H on jatkuva operaattori, joten
siis v ∈ V .
Olkoon nyt w ∈ V ⊥ eli
(A − λid H )u = lim
n→∞ (A − λid H)u n = lim
n→∞ v n = v
〈(A − λid H )u|w〉 = 〈u|(A − λ ∗ id h )w〉 = 0 ∀ u ∈ H.
Valinnalla u = (A − λ ∗ id H )w seuraa Aw = λ ∗ w. Jos w ≠ ¯0 on siis λ ∗ = a − ib, b ≠ 0 A:n ominaisarvo.
Mutta A † = A ja kaikki ominaisarvot ovat reaalisia, joten w = ¯0 on ainoa mahdollisuus. On siis
V ⊥ = {¯0} eli V = H.
Olemme siis osoittaneet, että jokainen v ∈ H voidaan kirjoittaa v = (A − λid H )u, jollakin u ∈ H.
Tässä u on yksikäsitteinen, sillä jos (A − λid H )u 1 = (A − λid H )u 2 , niin A(u 1 − u 2 ) = λ(u 1 − u 2 ).
Koska λ /∈ R, se ei voi olla ominaisarvo, joten on oltava u 1 − u 2 = ¯0 eli u 1 = u 2 .
Koska yo. u on yksikäsitteinen, voidaan määritellä operaattori B kaavalla Bv = u. Ilmeisesti B(A −
λid H ) = (A − λid H )B = id H , joten B = (A − λid H ) −1 ja todistuksen alkuosan (6.7) mukaan se on
rajoitettu, joten λ on säännöllinen arvo. Pätee siis ∑ (A) ⊂ R.
6.4 Spektraaliesitys
Kvanttimekaniikkaa tunteville on varmaankin avuksi tarkastella ensiksi pienenä alkumotivaationa kvanttimekaanisen
systeemin Hamiltonin operaattoria H. Olkoon systeemillä ominaisenergiat E n , n = 0, . . ..

57
Oletetaan että kaikkien mahdollinen degeneraatioaste on sama, eli kutakin energian ominaisarvoa vastaa
K ominaistilaa |n k 〉:
H|n k 〉 = E n |n k 〉 , k = 1, . . . , K ,
jotka ovat ortogonaaleja,
〈n k |m l 〉 = δ n,m δ k,l .
Energian ominaistilat muodostavat ortonormaalin kannan jossa systeemin tilat |ψ〉 voidaan esittää,
missä kertoimet
|ψ〉 =
∞∑
n=0 k=1
K∑
c nk |n k 〉 ,
c nk = 〈n k |ψ〉 .
Koska tilat |n k 〉 muodostavat ortonormaalin kannan, pätee täydellisyysrelaatio
Voimme nyt kirjoittaa
H = id H id =
Määritelemällä operaattori
∞∑
voidaan siis kirjoittaa H muodossa
K∑
id =
∞∑
n=0 k=1 m=0 l=1
∞∑
n=0 k=1
K∑
|n k 〉〈n k | .
K∑
|n k 〉〈n k |H|m l 〉〈m l | =
P n ≡
H =
K∑
|n k 〉〈n k |
k=1
∞∑
E n P n ,
n=0
∞∑
n=0
E n
K ∑
k=1
|n k 〉〈n k |
tämä on Hamiltonin operaattorin ns. spektraalihajotelma eli spektraaliesitys. On helppo tarkistaa että
P n on projektio-operaattori ominaisarvoa E n vastaavaan (K-ulottaiseen) ominaisavaruuteen, jonka
virittävät tilat {n k }, =˛1 . . . K.
Siirrymme nyt takaisin matematiikkaan ja johdamme spektraaliesityksen yleisemmin hermiittisille ja
täydellisille operaattoreille A. Aiheen täsmällinen esitys on varsin tekninen, joten tyydymme tässä
vain luonnostelemaan teoriaa. Aloitetaan yksinkertaisesta tapauksesta: A : H → H hermiittinen,
täydellinen ja H separoituva. A:n ominaisvektoreista voidaan rakentaa kanta {e nk }
Ae nk = λ n e nk , k = 1, 2, . . . , K n ,
missä K on n:nnen ominaisarvon degeneraatioaste.
ja jokainen u ∈ H voidaan esittää
u =
〈e nk |e ml 〉 = δ nm δ kl (6.8)
∞∑
n=1
(
Kn
)
∑
u nk e nk . (6.9)
k=1
Ominaisarvot λ n ovat diskreettejä, joten ne voidaan järjestää kasvavaan jonoon λ 1 < λ 2 < λ 3 < . . ..
Olkoon P n projektio-operaattori aliavaruuteen, joka vastaa ominaisarvoa λ n (”λ n :n ominaisavaruus”,
vektoreiden e n1 , e n2 , . . ., e nKn virittämä):
P n u = P n
( ∞
∑
n=1
(
Kn
))
∑
∑K n
u nk e nk = u nk e nk . (6.10)
k=1
k=1

58
Helposti nähdään Pn 2 = P n . Operaattorit P n toteuttavat lisäksi P n P m = δ nm P n sekä ∑ n P n = id H .
Lasketaan (formaalisti):
(
)
∞∑
∞∑ ∑K n
( λ n P n )u = λ n u nk e nk (6.11)
Toisaalta
joten
Au = A
( ∞
∑
n=1
(
Kn
n=1
))
∑
u nk e nk =
k=1
∞∑
n=1
A =
n=1
(
Kn
k=1
)
∑
u nk Ae nk =
k=1
(
∞∑
n=1
)
∑
u nk e nk ,
λ n
K n
k=1
∞∑
λ n P n . (6.12)
n=1
Tämä on operaattorin A spektraaliesitys. Kirjoitetaan (6.12) toiseen muotoon. Tätä varten tarvitaan
uusi käsite, Stieltjesin integraali:
∫ b
a
f(x)dg(x) = lim
N→∞
N∑
f(c i ) (g(x i+1 ) − g(x i ))
i=0
= lim
|∆x i |→0
N∑
f(c i ) (g(x i+1 ) − g(x i )) , (6.13)
i=0
missä a = x 0 < x 1 < . . . < x N < x N+1 = b on välin [a, b] jako, c i ∈ [x i , x i+1 ] ja |∆x i | = |x i+1 − x i |.
Jos g on differentioituva, niin
∫ b
a
f(x)dg(x) =
∫ b
Erityisesti valinta g(x) = x antaa Riemannin integraalin
∫ b
a
a
f(x)g ′ (x)dx. (6.14)
f(x)dx. (6.15)
Stieltjesin integraali on hyvin määritelty laajemmalle funktiojoukolle. Esimerkiksi jos
{ 0 , x < 0
g(x) = θ(x) =
1 , x ≥ 0
ja a < 0 < b, niin
∫ b
a
f(x)dθ(x) = f(0).
(Mikä on yhtäpitävää kaavan θ ′ (x) = δ(x) kanssa.) Tulos seuraa siitä että määritelmän (6.13) oikean
puolen summassa ainoa ei-häviävä termi tulee sillä indeksin i arvolla jolla x i+1 > 0 > x i , tällöin
g(x i+1 ) − g(x i ) = 1 − 0, muulloin joko 0 − 0 tai 1 − 1.
Kaikkien operaattorien spektrissä ei ole ollenkaan ominaisarvoja, mutta edellinen tulos voidaan yleistää
käyttämättä eksplisiittisesti ominaisavaruuksien projektio-operaattoreita: Jos g on paloittain vakio
välillä [a, b]:
⎧
g 0 , a < x < y 1
g 1 = g 0 + h 1 , y 1 ≤ x < y 2
⎪⎨
· · ·
g(x) =
,
g i = g i−1 + h i , y i ≤ x < y i+1
· · · ⎪⎩
g p = g p−1 + h p , y p ≥ x ≤ b

59
funktion g(x) arvo hyppää siis p kertaa, aina askeleen h i kohdassa x = y i . Vastaavaan tapaan kuin
askelfunktiolle θ nähdään että
∫ b
p∑
f(x)dg(x) = h i f(y i ) .
a
Operaattorin A ominaisarvot kuuluvat spektriin ∑ (A) (⊂ R), joka on kompakti, joten on ¯λ 0 =
inf ∑ (A) ja ¯λ 0 = sup ∑ (A), joilla ¯λ 0 ≤ λ n ≤ ¯λ M . Määritellään operaattoriarvoinen funktio E A (λ):
i=1
⎧
⎨ ¯0 , λ < λ
∑ 1
E A (λ) = k
⎩ ∑ i=1 P i , λ k ≤ λ < λ k+1 , (6.16)
i P i = id , λ ≥ λ M
missä ¯0 on siis 0-operaattori. E A toteuttaa
E A (λ 1 )E A (λ 2 ) = E A (min(λ 1 , λ 2 )),
koska projektioille P i P j = δ ij P i . Tästä seuraa E A (λ) 2 = E A (λ) eli E A on projektio-operaattori. Määritellään
seuraavaksi operaattoriarvoinen Stieltjesin integraali:
∫ ¯λM
¯λ 0
f(λ)dE A (λ) = lim
N→∞
N∑
f(c i )(E A (λ i+1 ) − E A (λ i ))
i=1
= lim
|∆λ i |→∞
N∑
f(c i )(E A (λ i+1 ) − E A (λ i )), (6.17)
i=1
missä taas λ i : i = 1, . . . , N on välin [¯λ 0 , ¯λ M ] jako, c i ∈ [λ i , λ i+1 ] ja |∆λ i | = |λ i+1 −λ i |. Ilmeisesti pätee:
∫ λ
¯λ 0
dE A (λ) = E A (λ) (6.18)
∫ ¯λM
¯λ 0
λdE A (λ) = A. (6.19)
Tämä esitys yleistyy: Rajoitetun, hermiittisen operaattorin spektraaliesitys:
A =
∫ sup
∑ (A)
inf ∑ (A)
missä E A on operaattoriarvoinen funktio, joka toteuttaa:
E A (λ 1 )E A (λ 2 ) = E A (min(λ 1 , λ 2 ))
lim E A(λ) = ¯0
λ→−∞
∫ sup
∑ (A)
inf ∑ (A)
lim E A(λ) = id
λ→∞
dE A (λ) = id.
λdE A (λ), (6.20)
Esimerkki 6.5 Operaattori X L 2 [a, b]:ssa (kts. esimerkki 6.3).
Määritelllään operaattoriarvoinen funktio E kaavalla
{ f(y) , y ≤ x
(E(x)f)(y) =
0 , y > x . (6.21)

60
Jaetaan osaväli N:ään osaväliin a = x 0 < x 1 < . . . < x N−1 < x N = b. Olkoon y ∈ [a, b] annettu,
jolloin y ∈ [x k−1 , x k ] jollakin k. Nyt
[(
∑ N
) ]
c i (E(x i ) − E(x i−1 ) f (y)
i=1
= 0 + 0 + . . . + c k (f(y) − 0)
+ c k+1 (f(y) − f(y)) + . . . + c N (f(y) − f(y))
= c k f(y) −→ yf(y) = (Xf)(y)
( ∑N
)
eli operaattori
i=1 c i(E(x i ) − E(x i−1 ) lähestyy operaattoria X, toisaalta se myös määrittelee Stieltjesintegraalin
(6.13) jonka integrandissa esiintyy funktio f(x) = x. Kaiken kaikkiaan siis
X =
∫ b
a
xdE(x) . (6.22)
Näin saatiin paikkaoperaattorille X spektraaliesitys, vaikka sillä ei ole lainkaan ominaisarvoja, ainoastaan
jatkuva spektri.
6.5 Rajoittamattomat operaattorit
A on rajoittamaton jos jokaiselle M > 0 löytyy u ∈ H se. ‖Au‖ ≥ M ‖u‖. Kiinnostavat rajoittamattomat
operaattorit A eivät ole määriteltyjä koko H:lla vaan määrittelyjoukossa (engl. domain) D A ⊂ H.
Operaattorin täydellinen määrittely sisältää myös D A :n, merk. (A, D A ). Huom:
(A, D A ) ≠ (A, D ′ A) jos D A ≠ D ′ A.
Vastaavasti R A = A(D A ) = {u ∈ H|u = Av, v ∈ D A } on A:n maalijoukko (engl. range).
D A on H:n tiheä (dense) osajoukko, jos jokaiselle u ∈ H ja jokaiselle ɛ > 0 löytyy v ∈ D A s.e.
‖u − v‖ < ɛ. A on tällöin tiheästi määritelty.
A on operaattorin B laajennus (extension), merkit. B ≤ A jos D B ⊂ D A ja Au = Bu, kun u ∈ D B .
Merkitään myös A| DB = B.
(A, D A ) = (B, D B ) tarkoittaa siis, että D A = D B ja Au = Bu ∀ u ∈ D A .
Huom. Selvästikin
D A+B = D A ∩ D B
D AB = B −1 (R B ∩ D A ),
joten operaattorit eivät yleensä muodosta vektoriavaruutta tai algebraa.
Esimerkki 6.6 H = l 2 , x = (x 1 , x 2 , . . .) ∈ H
Ax = (x 1 , x 2
2 , x 3
3 , . . . , x n
, . . .) (6.23)
n
A on rajoitettu ja hermiittinen, joten voidaan ottaa D A = H = l 2 . Huomataan lisäksi
{
}
∞∑
R A = y ∈ l 2 : n 2 |y n | 2 < ∞ ⊂ l 2 (6.24)
n=1
ja R A on tiheä l 2 :ssa: Olkoon x ∈ l 2 ja ɛ > 0 annettu. Koska x ∈ l 2 löytyy N s.e. ∑ ∞
i=N+1 |x i| 2 < ɛ 2 .
Valitaan y n = x n , kun 0 < n ≤ N ja y n = 0 kun n > N. Nyt y ∈ R A ja ‖x − y‖ ≤ ɛ.
A:lla on käänteisoperaattori, jonka määrittelyjoukko on D A −1 = R A ja (A −1 x) n = nx n . A −1 on
rajoittamaton, sillä:
||A(0, 0, . . . , 0 , 1, 0, . . .)|| = ||n(0, 0, . . . , 0 , 1, 0, . . .)|| = n −→ ∞
}{{}
}{{}
n:s
n:s

61
Esimerkki 6.7 H = L 2 (R) ja X kuten esimerkki 6.3:ssa.
X on rajoittamaton: Olkoon f n (x) = 1, kun x ∈ [n, n + 1), 0 muuten. Tällöin
||f n || = 1, mutta ||Xf|| = n 2 + n + 1 3
−→ ∞.
Laajin mahdollinen määrittelyjoukko on
{ ∫
D X = f ∈ L 2 :
R
}
dx|xf(x)| 2 < ∞ ⊂ L 2 . (6.25)
Huom. esimerkiksi f(x) = 1/(1 + |x|) ∈ L 2 \ D X .
D X on tiheä L 2 :ssa (vrt. edelliseen esimerkkiin l 2 :ssa): Olkoon g ∈ L 2 (R) mielivaltainen. Määritellään
{ g(x) , |x| ≤ n
g n (x) =
0 , |x| > n , (6.26)
jolloin g n ∈ D X ja g n −→ g, joten D X on tiheä. On muitakin L 2 :ssa tiheitä määrittelyjoukkoja, esim.
testifunktioavaruudet
D(R) = {f ∈ C ∞ (R) : ∃ M s.e. |x| > M ⇒ f(x) = 0} (6.27)
{
}
S(R) = f ∈ C ∞ (R) : |x| p f(x) |x|→∞
−→ 0, |x| −→ ∞ ∀p > 0
(6.28)
Ilmeisesti (X, D) ≤ (X, S) ≤ (X, D X ) ja kaikki nämä ovat rajoittamattomia.
Esimerkki 6.8 X = L 2 (R) ja P = −i d
dx , eli (P f)(x) = −if ′ (x).
Laajin määrittelyjoukko ilmeisesti
D P = { f ∈ L 2 : f differentiotuva m.k. ja f ′ ∈ L 2} ⊂ L 2 (6.29)
Esim f(x) = 4√ xe −x2 /∈ D P , sillä f ′ /∈ L 2 . Se, että f ′ (0) ei ole olemassa ei haittaa. Toisaalta voimme
myös ottaa määrittelyjoukoksi S:n tai D:n jolloin (P, D) ≤ (P, S) ≤ (P, P D ).
6.6 Adjungoitu operaattori
Apulause 6.1 Olkoon V tiheä H:ssa. Jos 〈u|v〉 = 0 kaikille v ∈ V ,niin u = ¯0.
Todistus 6.5 Olk. w ∈ H, ɛ > 0. V tiheä, joten on olemassa v ∈ V s.e. ||v − w|| < ɛ. Nyt
〈u|w〉 = 〈u|w − v〉 ≤ ||u||||w − v|| < ɛ||u||.
ɛ > 0 mielivaltainen, joten 〈u|w〉 = 0. w ∈ H mielivaltainen, joten u = ¯0.
Olkoon (A, D A ) tiheästi määritelty operaattori H:ssa. Määrittelemme joukon D A †
seuraavasti:
Jos u † on olemassa, se on yksikäsitteinen:
u ∈ D A † ⇐⇒ ∃ u † s.e. 〈u † |v〉 = 〈u|Av〉 ∀ v ∈ D A .
〈u † 1 |v〉 = 〈u† 2 ∀ v ∈ D A =⇒ 〈u † 1 − u† 2 |v〉 = 0 ∀ v ∈ D A =⇒ 〈u † 1 − u† 2 = ¯0
edellisen apulauseen nojalla.
Vektoreille u ∈ D A † määrittelemme
(A † , D A †) on (A, D A ):n adjungoitu operaattori.
Huom. Jos A on rajoitettu ja D A = H, niin määritelmä yhtyy aiempaan.
Huom. (A † , D A †) voidaan määritellä vain jos D A on tiheä.
Huom. (A † , D A †) riippuu myös D A :sta!
A † u = u † . (6.30)

62
Määritelmä 6.4 Operaattori on suljettu (engl. closed) jos jokaiselle jonolle (u n ) ⊂ D A s.e. u n → u
ja Au n → v pätee u ∈ D A ja v = Au.
Määritelmästä seuraa suoraan, että jokainen jatkuva operaattori on myös suljettu, mutta suljettu
operaattori ei välttämättä ole jatkuva.
Lause 6.5 Jos (A, D A ) on tiheästi määritelty, niin (A † , D A †) on suljettu
Todistus 6.6 Olkoon y n ∈ D A †
jono s.e. y n → y ja A † y n → z. Tällöin kaikille x ∈ D A
〈y|Ax〉 = lim 〈y|Ax〉 = lim
n→∞ n→∞ 〈A† y n |x〉 = 〈z|x〉,
joten y ∈ D A † ja z = A † y.
Esimerkki 6.9 H = l 2 , x = (x 0 , x 1 , x 2 , . . .) ∈ l 2 . Kanta {ē i : i ≥ 0}, (ē i ) j = δ ij .
Määritellään operaattori a:
eli
Voimme valita
ax =
∞∑
x i aē i =
i=0
aē n = √ nē n−1 , n ≥ 1 (6.31)
aē 0 = ¯0, (6.32)
∞∑ √
i + 1x+1 ē i = (x 1 , √ 2x 2 , √ 3x 3 , . . . , √ nx n , . . .).
i=0
D a =
{
x :
}
∞∑
n|x n | 2 < ∞ , (6.33)
n=1
joka on tiheä l 2 :ssa (todistus kuten esimerkissä 6.6). R a = l 2 , koska jos y ∈ l 2 , niin y = ax, missä
x n = √ yn
n
, n ≥ 1 (x 0 mieliv.).
On siis operaattori (a, D a ), missä D a kuten (6.33):ssa, mikä on (a † , D a †)?
Etsitään y † s.e.
∞∑
(y † ) ∗ nax n = 〈y † |x〉 = 〈y|ax〉 =
n=0
Kandidaatti: y † 0 = 0 ja y† n = √ ny n−1 muuten, jolle
||y † || =
∞∑
yn(ax) ∗ n =
n=0
∞∑
yn√ ∗ n + 1xn+1 .
n=0
†∑
(n + 1)|y n | 2 . (6.34)
n=0
Jos ||y † || < ∞, niin |〈y † |x〉 ≤ ∥ ∥y †∥ ∥ ‖x‖ < ∞, joten
{
} {
∞∑
D a † = x : (n + 1)|x n | 2 < ∞ = x :
n=1
sekä (a † y) n = y † n = √ ny n−1 eli a † ē n = √ n + 1ē n+1 ts.
}
∞∑
n|x n | 2 < ∞ = D a
n=1
a † y = (0, y 0 , √ 2y 1 , √ 3y 2 , . . . , √ n + 1y n , . . .). (6.35)
Sekä a että a † suljettuja, mutta R a † = {x ∈ l 2 : x 0 = 0} ≠ R a . Tarkastellaan vielä tuloja a † a ja aa † :
a † ax = a † (x 1 , √ 2x 2 , √ 3x 3 , . . .) = (0, x 1 , 2x 2 , 3x 3 , . . .) (6.36)
aa † x = a(0, x 0 , √ 2x 1 , √ 3x 2 , . . .) = (x 0 , 2x 1 , 3x 2 , . . .). (6.37)

63
Lisäksi
D a † a = {x ∈ l 2 : ∑ n
D aa † = {x ∈ l 2 : ∑ n
n 2 |x n | 2 < ∞} (6.38)
n 2 |x n | 2 < ∞} = D a † a (6.39)
Vähentämällä (6.36) ja (6.37) toisistaan saadaan:
[a, a † ]x := (aa † − a † a)x = x,
joten
[a, a † ] = (id l 2, D a † a) = (id l 2, l 2 ) = id l 2.
Helposti nähdään että jos (A, D A ) ja (B, D B ) ovat tiheästi määriteltyjä ja A ≤ B, niin B † ≤ A † :
Otetaan u ∈ D A ja v ∈ D B †:
〈v|Au〉 }{{} = 〈v|Bu〉 = 〈B † v|u〉,
A≤B
eli v ∈ D a † ja A † v = B † v, kun v ∈ D B †, joten D B † ⊂ D A † ja B † ≤ A † .
Määritelmä 6.5 Olkoon D A tiheä H:ssa.
• A on itseadjungoitu (engl. self-adjoint), jos (A, D A ) = (A † , D A †. (Huom. D A = D A †)
• A on symmetrinen jos A ≤ A † .
Lisäksi kertaus: A on hermiittinen jos A on rajoitettu, A † = A ja D a †
Hilbertin avaruudessa
= D A = H. Eli annetussa
{A : A hermiittinen} ⊂ {A : A itseadj.} ⊂ {A : A symmetrinen}.
Seuraava lause karakterisoi symmetriset operaattorit toisella tavalla.
Lause 6.6 A symmetrinen ⇐⇒ 〈u|Av〉 = 〈Au|v〉 ∀ u, v ∈ D A
Todistus 6.7 ”⇒”. u, v ∈ D A :
〈u|Av〉 }{{} = 〈A † u|v〉 }{{} = 〈Au|v〉.
D A =D A † A≤A †
”⇐”. Koska 〈u|Av〉 = 〈Au|v〉 ∀ u, v ∈ D A ja D A on tiheä, on oltava Au = A † u ∀ u ∈ H. Toisaalta
〈u|Av〉 = 〈A † u|v〉, joten u ∈ D A † ja A ≤ A † .
Esimerkki 6.10 H = L 2 (R), Tarkastellaa operaattoria (X, D(R)), missä X on kuten esimerkki 6.3:ssa
ja D(R) on määritelty yhtälöllä (6.27). Kun ϕ, ψ ∈ D(R), pätee
∫
〈ϕ|Xψ〉 =
R
dxϕ ∗ (x)xψ(x) =
∫
dx(xϕ(x)) ∗ ψ(x) = 〈Xϕ|ψ〉,
joten (X, D) on symmetrinen. X ei kuitenkaan ole itseadjungoitu: löytyy funktioita f /∈ D, joille on
olemassa f † s.e. 〈f|Xg〉 = 〈f † |g〉 ∀ g ∈ D, esim.
{ 1 , |x| ≤ 1
f(x) =
0 , |x| > 1 ,

64
jolloin
f † (x) =
{ x , |x| ≤ 1
0 , |x| > 1 .
Samalla tavalla osoitetaan, ettei myöskään (X, S(R)) ole itseadjungoitu. Mutta onko (X, D X )? Palautetaan
mieliin että
{ ∫
}
D X = f ∈ L 2 : dx|xf(x)| 2 < ∞ , (6.40)
R
joka on L 2 :n tiheä osajoukko. Kuten yllä (X, D X ) on symmetrinen, joten D X ⊂ D X †. Jotta D X = D X †
ja X olisi itseadjungoitu, riittää osoittaa inkluusio toiseen suuntaan.
{
D X † = f ∈ L 2 : ∃ f † s.e. 〈f|Xg〉 = 〈f † |g〉 ∀ g ∈ L 2} (6.41)
Olkoon g ∈ D X †. Jos ∀ f ∈ D X pätee
niin
∫
R
〈g|Xf〉 = 〈g † |f〉,
dx(xg ∗ (x) − g † (x))f(x) = 0, (6.42)
eli apulauseen 6.1 nojalla g † (x) = xg ∗ (x) m.k. x ∈ R. g † ∈ L 2 =⇒ Xg(x) ∈ L 2 eli g ∈ D X †. Pätee siis
D X † ⊂ D X , joten (X, D X ) on itseadjungoitu.
6.7 Käänteisoperaattorin yleistys
Olkoon A : D A → R A .
Määritellään operaattorin A ydin (engl. kernel)
Ker(A) = {u ∈ D A : Au = ¯0}. (6.43)
¯0 ∈ Ker(A) aina, mutta jos tämä on ainoa mahdollisuus, eli jos Ker(A) = {¯0}, niin voimme määritellä
operaattorin (A −1 , R A ) asettmalla
A −1 u = v ⇐⇒ Av = u, (6.44)
eli A −1 : R A → D A . Tämä on hyvin määritelty:
Av 1 = Av 2 = u
=⇒A(v 1 − v 2 ) = ¯0
=⇒v 1 − v 2 ∈ Ker(A) = ¯0
=⇒v 1 = v 2
6.8 Itseadjungoidun operaattorin spetkristä
(A, D A ) Itseadjungoitu ⇒ ominaisarvot (jos niitä on) ovat reaalisia ja erisuuria ominaisarvoja vastaavat
ominaisvektorit ovat ortogonaalisia (tod. kuten hermiittisille operaattoreille). Jokaiselle λ ∈ C
määritellään resolventtijoukko
∆ λ = R A−λid . (6.45)
Jos λ ei ole ominaisarvo ((A − λid) −1 , R A−λid ) on olemassa (u ∈ Ker(A − λid) =⇒ Au = λu, mutta
λ ei ole ominaisarvo, joten u = ¯0 ja Ker(A) = {¯0}) ja D (A−λid) −1 = R A−λid = ∆ λ .
λ ∈ C on säännöllinen arvo jos ∆ λ = H.
C \ {säännölliset arvot} = ∑ (A) = A:n spektri.
Lause 6.7 λ ∈ C on itseadjungoidun operaattorin ominaisarvo jos ja vain jos ∆ λ ei ole tiheä H:ssa.

65
Todistus 6.8 1) Jos Au = λu, ¯0 ≠ u ∈ D A , λ ∈ R pätee
0 = 〈(A − λid)u|v〉) = 〈u| (A − λid)v〉 ∀ v ∈ D
} {{ }
A
=:w∈∆ λ
eli 〈u|w〉 = 0 ∀ u ∈ ∆ λ . jos ∆ λ olisi tiheä, tästä seuraisi u = ¯0, mikä on ristiriita eli ∆ λ ei ole tiheä
(H:ssa).
2) Ol. ∆ λ ei ole tiheä. ∆ λ ( sulkeuma ) on H:n aliavaruus ja ∆ λ
⊥
≠ {¯0}. On siis olemassa ¯0 ≠ u s.e.
D A on tiheä, joten (A − λid)u = ¯0 eli Au = λu.
〈u|(A − λid)v〉 = 0 ∀ v ∈ D A
t.s. 〈(A − λid)u|v〉 = 0 ∀ v ∈ D A .
Spektraaliesityslause. Olkoon (A, D A ) itseadjungoitu. On olemassa operaattoriarvoinen funktio E A (λ) (λ ∈
R) s.e.
E A (−∞) = 0
E A (∞) = id
E A (λ 1 )E A (λ 2 ) = E A (min(λ 1 , λ 2 ))
∫
λdE A (λ) = A
∫
R
λd〈u|E A (λ)v〉 = 〈u|Av〉 ∀ u, v ∈ D A .
R
Todistus vaikea (sivuutetaan tässä). Spektraaliesitys mahdollistaa operaattorifunktioide määritelmän
∫
f(A) = f(λ)dE A (λ). (6.46)
6.9 Yhteys kvanttimekaniikkaan
6.10 Paikkaoperaattori
( ˆX, D ˆX)
D ˆX
=
( ˆX, D ˆX
itseadjungoitu. Spektraaliesitys:
Määr. operaattorit Êx, x ∈ R
eli
R
( ˆXΨ)(x) = xΨ(x) Ψ ∈ L 2 (R) (6.47)
{ ∫
}
ϕ ∈ L 2 : dx|xϕ(x)| 2 < ∞
R
(ÊxΨ)(y) =
(ÊxΨ)(y) =
{ Ψ(y) , y ≤ x
0 , y > x
∫ z
−∞
Huomaa, että Êx on projektio-operaattori aliavaruudelle
dzΨ(z)δ(y − z).
(6.48)
(6.49)
V x = {Ψ ∈ L 2 : Ψ(y) = 0, x < y} (6.50)
ja lisäksi Ê −∞ = 0 ja E ∞ = id.{Êx} toteuttaa spektraaliesityslauseen ehdot: Olkoon x ′ ≤ x, jolloin
{ { Ψ(y) , y ≤ x
(ÊxÊx ′)(y) = E ′ Ψ(y) , y ≤ x
′
x(
0 , y > x ′ ) =
0 , y > x ′

66
ja
{ { Ψ(y) , y ≤ x Ψ(y) , y ≤ x
(Êx ′Ê x )(y) = E x (
0 , y > x ) = ′
0 , y > x ′ ,
eli E x ′E x = E x E x ′ = E x ′′, missä x ′′ = min(x, x ′ ).
Väitämme nyt, että
∫
ˆX =
tarkoittaen
kaikille ϕ, Ψ ∈ L 2 . Tosiaan:
∫
〈ϕ|ÊxΨ〉 =
f differentioituva ja
R
R
∫
〈ϕ| ˆXΨ〉 =
R
dyϕ ∗ (y)(Êx)(y) =
xdÊx, (6.51)
xd〈ϕ|ÊxΨ〉 (6.52)
∫ x
−∞
dxϕ ∗ (y)Ψ(y) =: f(x)
f ′ (x) = df
dx (x) = ϕ∗ (x)Ψ(x)
∫
∫
=⇒ xd〈ϕ|ÊxΨ〉 = xdf(x)
R
∫R
= ϕ ∗ (x)xΨ(x)dx
∫R
= dxϕ ∗ (x)( ˆXΨ)(x)
R
= 〈ϕ| ˆXΨ〉.
Toimii!
Spektraaliesityksen avulla voidaan määritellä operaattori (F ( ˆX), D F ( ˆX)
)
jolle
laajimmillaan.
D F ( ˆX)
=
6.11 Diracin merkintätapa
∫
F ( ˆX) =
R
F (x)dÊx, (6.53)
{ ∫
}
Ψ ∈ L 2 : dx|F (x)Ψ(x)| 2 < ∞
R
Vektori H:ssa: |u〉 ”ket” ja vektori H ∗ :ssä (H:n duaaliavaruudessa): 〈v| ”bra”. Rieszin esityslauseesta:
v(u) =
(6.54)
〈v|u〉
} {{ }
. (6.55)
skalaaritulo
Olkoon H separoituva ja {|e i 〉} o.n. kanta: 〈e i |e j 〉 = δ ij . u:n esitys tässä kannassa on
joten
∞∑
|u〉 = |e 1 〉〈e 1 |u〉 = id H |u〉 (6.56)
n=1
∞∑
id H = |e 1 〉〈e 1 | (6.57)
n=1

67
”täydellisyysrelaatio”. Â operaattori
missä
Â|e i 〉 =
Voidaan siis kirjoittaa operaattorin matrisiiesitys
∞∑
|e j 〉a ji ,
j=1
a ji = 〈e j |Âe i〉 =: 〈e j |Â|e i〉.
 =
∞∑
|e j 〉a ji 〈e i |. (6.58)
i,j=1
Laajennetaan H sisältämää ”vektoreita” |x〉, x ∈ R, jotka toteuttavat
Ψ ∈ L ( R), merkitään
Tällöin voimme kirjoittaa
koska
(ÊxΨ)(y) = 〈y|ÊxΨ〉 =
〈x|y〉 = δ(x − y). (6.59)
Ψ(x) = 〈x|y〉.
Ê x =
∫ x
−∞
∫ x
−∞
dz|z〉〈z| (6.60)
dz 〈y|z〉 〈z|Ψ〉 =
} {{ } } {{ }
δ(y−z) Ψ(z)
∫ x
−∞
dzδ(y − z)Ψ(z).
Huom. E ∞ = id = ∫ R dx|x〉〈x| ”täydellisyysrelaatio”. Nyt dÊx = |x〉〈x| ja spektraaliesitys
Tarkistus
6.12 Impulssioperaattori
( ˆP , D ˆP
), = 1,
∫
ˆX =
R
∫
dxx|x〉〈x| =
∫
( ˆXΨ)(y) = 〈y| ˆX|Ψ〉) dx 〈y|x〉 x 〈x|Ψ〉 = yΨ(y).
R } {{ } } {{ }
δ(y−x) Ψ(x)
Dˆp =
R
dx|x〉x〈x|. (6.61)
( ˆP Ψ)(x) = −i dΨ
dx , (6.62)
{
∫ ∞
}
Ψ ∈ L 2 (R) : dx|Ψ ′ (x)| 2 < ∞ . (6.63)
−∞
ˆp itseadjungoitu. ˆp:n spektraaliesitys rakennetaan yksinkertaisimmin Fourier’n muunnoksen avulla:
Määritellään operaattori ˆF : L 2 (R) → R,
( ˆFΨ)(k) = √ 1 ∫
dxe −ikx Ψ(x) =: ˆΨ(k). (6.64)
2π
R
ˆFΨ todellakin kuuluu L 2 (R):ään, kun Ψ on L 2 (R):n alkio. Todistus epätriviaali, mutta löytyy useista
L p -avaruuksia käsittelevistä kirjoista. Fourier muunnokselle pätee Plancherelin kaava
〈ϕ|Ψ〉 = 〈 ˆFϕ| ˆFΨ〉, (6.65)

68
eli ˆF on isometrinen. Lisäksi ˆF:llä on käänteisoperaattori
∫
( ˆF −1 1
ˆΨ)(x) = √ dke ikx ˆΨ(k) = Ψ(x). (6.66)
2π
Nämä yhdistämällä seuraa, että ˆF on jopa unitaarinen. Honkonen, Lause 6.4:
eli
(
R
dΨ ˆF(−i ))(k) = k ˆΨ(k)
dx
( ˆF ˆP Ψ)(k) = k ˆΨ(k) = ( ˆX ˆΨ)(k) = ˆX ˆFΨ(k) (6.67)
operoimalla tähän ˆF −1 :llä ja huomaamalla, että Ψ ∈ L 2 on mielivaltainen, saadaan ˆP :n esitys:
ˆP = ˆF −1 ˆX ˆF. (6.68)
Lisäksi ˆX:n spektraaliesityksestä saadaan vastaava myös ˆP :lle:
∫
ˆP = kd( ˆF −1 ˆX ˆF). (6.69)
Lisäki
Konsinstenssi vaatii siis
∫
1
√
2π
R
R
∫
dxe −ikx Ψ(x) = ˆΨ(k) = 〈k|Ψ〉 =
R
dx〈k|x〉Ψ(x).
〈k|x〉 = 1 √
2π
e −ikx (6.70)
eli
ϕ k (x) = 〈x|k〉 = 1 √
2π
e ikx (6.71)
”impulssioperaattorin ominaisfunktio” (/∈ L 2 (R)).
Tarkistetaan vielä:
∫
〈ϕ| ˆP |Ψ〉 = kd〈ϕ| ˆF −1 Ê k ˆF|Ψ〉. (6.72)
Nyt (, koska ˆF † = ˆF −1 )
joten
〈ϕ| ˆF −1 Ê k ˆF|Ψ〉 = 〈 ˆFϕ| Ê k | ˆFΨ〉 =
∫
〈ϕ| ˆP |Ψ〉 =
R
R
∫
dk ˆϕ(k) ∗ k ˆΨ(k) =
R
∫ k
−∞
dk ′ ˆϕ(k ′ ) ∗ ˆΨ(k ′ ),
dxϕ(x) ∗ (
−i dΨ
dx (x) )
,
missä viimeineinen yhtäsuuruus seuraa Plancherelin kaavasta.
Diracin merkintätavassa otetaan käyttöön ”vektoreita” |k〉 s.e. 〈k|k ′ 〉 = δ(k − k ′ ) ja
ˆΨ(k) = 〈k|Ψ〉 = √ 1 ∫
dxe −ikx Ψ(x),
2π
sekä
∫
|Ψ〉 = id|Ψ〉 =
R
R
∫
dx|x〉〈x|Ψ〉 =
R
dx|x〉Ψ(x).

69
Tässä notaatiossa
〈ϕ| ˆF −1 Ê k ˆF|Ψ〉
= 〈 ˆFϕ|Êk| ˆFΨ〉
∫
= dk ′ ˆϕ(k ′ ) ∗ Ê k ˆΨ(k ′ )
=
=
R
∫ k
−∞
∫ k
−∞
dk ′ ˆϕ(k ′ ) ∗ ˆΨ(k ′ )
dk ′ 〈ϕ|k ′ 〉〈k ′ |Ψ〉
eli
Tarkistus:
Toimii!
∫
〈x ′ |x〉 =
R
ˆF −1 Ê k ˆF =
∫ k
ˆF −1 Ê ∞ ˆF =
∫
R
−∞
dk ′ |k ′ 〉〈k ′ | (6.73)
dk ′ |k ′ 〉〈k ′ | = id. (6.74)
dk〈x|k〉〈k|x ′ 〉 = 1 ∫
dke ik(x−x′) = δ(x − x ′ )
2π R