Oikeudellinen argumentaatio 2010 - Joensuu

4 Mitä päättelyt ovat?
1 Aksiomaattinen järjestelmä
Logiikan synnyn voi melkein ajoittaa siihen hetkeen, kun joku keksi aksiomaattisen järjestelmän idean. Se
tapahtui Kreikassa Platonin ja Aristoteleen aikoihin. Aksiomaattisen järjestelmän ideana on systematisoida
(ehkä jo olemassa oleva) tieto loogiseksi järjestelmäksi, jossa joitakin asioita pidetään todistamattomina
lähtökohtina (aksioomina) ja jossa muut tiedot (teoreemat) todistetaan johtamalla loogisesti ne
lähtökohdista. Ja tämä keksintö tehtiin Kreikassa.
Egyptiläiset ja babylonialaiset osasivat kyllä konstruoida suoran kulman liittämällä yhteen kolme keppiä,
joiden pituuksien suhde oli 3 : 4 : 5, mutta he eivät osanneet todistaa, että näin syntynyt kulma on suora —
puhumattakaan siitä, että olisivat osanneet todistaa, että missä tahansa suorakulmaisessa kolmiossa
kahden lyhyemmän sivujen neliöiden summa on yhtä kuin pisimmän sivun neliö. Tämä totuus on ilmaistu
kuuluisassa Pythagoraan lauseessa (joka ei luultavasti ole Pythagoraan keksimä):
A 2 + B 2 = C 2
Vielä Pythagoraan todistusta varhaisempi geometrinen todistus lienee ollut filosofi Thalesin keksimä. Hän
todisti, että mikä tahansa puoliympyrän sisään piirretty kolmio on suorakulmainen. (Tarkemmin sanottuna:
mikä tahansa kolmio, jonka pitkä sivu on puoliympyrän halkaisija ja jonka kärki on puoliympyrän kaarella,
on suorakulmainen.)
Kreikkalaiset keräsivät yhteen ja systematisoivat yhtenäiseksi rakennelmaksi kaikki ne hajanaiset tiedon
palaset, joita Lähi-idän kulttuurit olivat tuottaneet. Tämä yhtenäinen rakennelma on aksiomaattinen
järjestelmä, joka on systeemi, jossa:
(1) Joitakin lauseita pidetään tosina ilman todistusta. Näitä ovat lähtökohdat.
(2) Muut lauseet todistetaan eli johdetaan loogisesti lähtökohdista. Näitä ovat johtopäätökset.
(3) Johtamisessa käytetään vain ennalta ilmoitettuja päättelysääntöjä.
Jo tutuksi tulleen kaavion muodossa:
lähtökohdat ------- | päättelysäännöt | -------> johtopäätökset
Aksiomaattisen järjestelmän hyöty on siinä, että se tiivistää suuren joukon käsityksiä (teoreemoja)
johtamalla ne loogisesti pienestä joukosta lähtökohtia (aksioomia).
Ruuanlaittovertausta käyttäen voisi sanoa, että aksiomaattinen järjestelmä tarjoaa yksinkertaiset
perusainekset ja kertoo reseptin, jota noudattamalla noista perusaineksista voidaan tuottaa kaikki
hyväksyttävät lopputuotteet. Valmiin aksiomaattisen järjestelmän avulla voidaan myös helposti testata,
onko jokin ehdotettu tuote hyväksyttävä vai ei. Jos se on tehty sallituista aineksista annetun reseptin
mukaan, se on hyväksyttävä; jos ei, niin ei.
25