Continuité en topologie symplectique

Q �
Q¡�
Fig. 1.1 – Équivalence d’homotopieÔQ �, Q¡�Õ�ÔB,�BÕ. Sur le dessin,
l’espace négatif E¡est de dimension 1 et est horizontal.
X une variété différentiable et f : X�R une fonction de classe C2 vérifiant
une certaine condition de compacité, appelée condition de Palais-Smale (cf.
définition C.1). On note fλ�ØxÈX�fÔxÕ�λÙles sous-niveaux de f. Alors
pour deux valeurs régulières a�bde f, on peut associer à toute classe de
cohomologie non nulle uÈH¦Ôfb , faÕ, le réel
cÔu, fÕ�infØλÈ×a, bÖ�u est non nul dans H¦Ôf λ , f aÕÙ.
Les nombres cÔu, fÕsont des valeurs critiques de f, car la cohomologie (et
donc la topologie) des ensembles f λ change au passage du niveau λ�cÔu, fÕ
(cf. [41] ou l’annexe C).
Suivant [57], nous allons appliquer cette construction aux fonctions génératrices
pour définir des invariants associés à des sous-variétés lagrangiennes.
Soit donc L une lagrangienne admettant une f.g.q.i. S. A l’infini, celle-ci coïncide
avec une forme quadratique non-dégénérée Q sur un espace vectoriel E.
L’espace E admet une décomposition E �E¡en espaces positifs et négatifs
pour Q.
Pour λÈR et pour c assez grand, le type d’homotopie des pairesÔSc , SλÕ etÔSλ , S¡cÕne dépend pas de c et on les notera doncÔS�, SλÕetÔSλ , S¡�Õ.
Il existe alors un isomorphisme T : H¦ÔNÕ�H¦ÔS�, S¡�Õ.
En effet, S¨��N¢Q¨�. plus, si B est une boule de E¡, de bord
De
�B, la paireÔQ�, Q¡�Õest homotopiquement équivalente à la paireÔB,�BÕ
(cf. [42] et la figure 1.1). On a donc par la formule de Künneth
H¦ÔS�, S¡�Õ�H¦ÔNÕ�H¦ÔB,�BÕ�H¦ÔNÕ,
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