Continuité en topologie symplectique

Comparaison avec la distance C0 des hamiltoniens
Définition 1.33. Soit d une distance sur le groupe HcÔM, ωÕdes difféomorphismes
hamiltoniens à support compact. On dira qu’elle est de type C¡1 , si
l’application
HamcÔMÕ¢HamcÔMÕ�R
ÔH, KÕ��dÔφ 1 H, φ 1 KÕ
est continue lorsque l’on munit l’espace des fonctions hamiltoniennes à support
compact HamcÔMÕde la distance C0 .
Cette propriété interviendra de manière cruciale dans le chapitre 5.
Proposition 1.34 (Viterbo [57], Hofer [25]). La distance de Viterbo et la
distance de Hofer sont de type C¡1 . Plus précisément, pour tous hamiltoniens
H et K, on a
γÔφH, φKÕ��H¡K�C0, dHÔφH, φKÕ��H¡K�C
0.
Du fait de la remarque 1.32, un corollaire immédiat de la proposition 1.34
est :
Corollaire 1.35. Si U est un ouvert de R 2n , la distance de Viterbo sur U
est plus petite que la distance de Hofer sur U :
γ�dH.
Comparaison avec la distance C 0 des difféomorphismes
Les distances de Hofer et de Viterbo sont aussi contrôlées par la distance
C 0 des difféomorphismes, de la manière suivante.
Proposition 1.36 (Viterbo[57], Hofer [28]). Si V est un ouvert borné de
R 2n , alors, il existe une constante C dépendante du diamètre de V , telle que
pour tous difféomorphismes hamiltoniens φ et ψ, à support dans V , on ait
γÔφ, ψÕ�C¤d
C0Ôφ, ψÕet dHÔφ, ψÕ�C¤d
C0Ôφ, ψÕ,
où γ et dH désignent respectivement les distances de Viterbo et de Hofer sur
HcÔR 2nÕ.
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