Continuité en topologie symplectique

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pÈT¦x N ξÈE xµ S Fig. 1.2 – Niveaux de la fonction génératrice S, d’une lagrangienne L. Ici, la variété base N est un cercle S1, et l’espace "fibre" de la fonction génératrice E est de dimension 1. On voit clairement la correspondance entre les points intersection de L avec la section nulle et les points critiques de S. 20 L x1 xÈN xÈN
1.1.2 Distance de Viterbo Distance de Viterbo sur les lagrangiennes Nous allons utiliser les invariants de "min-max" construits dans la section 1.1.1 pour définir une distance sur l’espace LÔT¦NÕdes sous-variétés lagrangiennes isotopes à la section nulle. On dira qu’une variété N admet une compactification lisse, s’il existe une variété différentiable fermée ˆ N, et un plongement N�ˆ N tel que N est dense dans ˆ N. Par exemple, R 2n admet la sphère S2n pour compactification lisse. Proposition 1.17 (Viterbo [57]). Supposons que N est fermée et de dimension n. Notons 1 et µ les générateurs respectifs de H 0ÔNÕet H nÔNÕ. On pose alors γÔLÕ�cÔµ, LÕ¡cÔ1, LÕ. Si N admet une compactification lisse ˆ N et si L coïncide avec la section nulle hors d’un compact, alors L se prolonge en une sous-variété lagrangienne ˆL de T¦ˆ N, admettant une f.g.q.i., et l’on pose alors γÔLÕ�cÔµ, ˆ LÕ¡cÔ1, ˆ LÕ. Les réels γÔLÕne dépendent pas du choix de la fonction génératrice, sont positifs, et sont non-dégénérés : γÔLÕ�0implique que L coïncide avec la section nulle. Démonstration — Le fait que γÔLÕest bien défini résulte de la remarque 1.10. Son caractère positif et non dégénéré n’est qu’une conséquence de la troisième propriété de la proposition 1.11. Ð Rappelons que pour deux lagrangiennes L1 et L2 isotopes à la section nulle, on peut considérer leur composition L1�L2�ØÔx, p1¡p2Õ�Ôx, p1ÕÈL1,Ôx, p2ÕÈL2Ù, et lui appliquer les invariants cÔu, LÕ(remarque 1.12). Proposition 1.18 (Viterbo [57]). Soient L1 et L2 deux lagrangiennes isotopes — au moyen d’une isotopie hamiltonienne à support compact — à la section nulle du fibré cotangent T¦N d’une variété différentiable N supposée fermée ou admettant une compactification lisse. Alors, l’application γ : LÔT¦NÕ¢LÔT¦NÕ�R définie par γÔL1, L2Õ�γÔL1�L2Õ, 21
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Donc, si B est une boule centrée e
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Démonstration — SoitÔφνÕune
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Annexe D Une preuve de la non-dég
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Bibliographie [1] Augustin Banyaga.
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[28] Helmut Hofer and Eduard Zehnde
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[57] Claude Viterbo. Symplectic top
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2.3.2 À la recherche de l’image
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