Continuité en topologie symplectique

2.2.5 Un exemple instructif
S�
Nous allons donner ici un exemple qui montre que le théorème 2.7 (deuxième
hypothèse) et le lemme 2.15 sont faux si l’on remplace l’hypothèse ξÔKÕ�0
par l’hypothèse plus faible cÔKÕ�0 ou eÔKÕ�0.
Exemple 2.19. Rappelons que les capacités c et e de la sphère unité
ØxÈR 2n��x��1Ùsont égales à π.
Par conséquent, pour tout ε�0, il existe un hamiltonien H à support
U�
dans un petit voisinage U de S, tel que c ÔφHÕ�π¡ε. Par la propriété de
monotonie (proposition 1.21 7.), H peut être choisi positif. On choisit U
un voisinage de l’hémisphère nordØxÈS�x1�0Ùet U¡un voisinage de
l’hémisphère sudØxÈS�x1�0Ù, tels que U�U �U¡(voir figure 2.3).
Si U, U et U¡sont assez petits, on a eÔU¨Õ�ε donc aussi cÔU¨Õ�ε.
A l’aide d’une partition de l’unité subordonnée à la décomposition
U �U¡, on obtient deux fonctions H et H¡, à supports respectifs dans
U et U¡, et telles que H�H H¡.
On voit alors que H coïncide avec H hors de U¡, dont la capacité vérifie
cÔU¡Õ�ε, mais que par ailleurs, �γÔφHÕ¡γÔφÕ��γÔφH, H φÕ�π¡ε¡γÔφ H H¡Õ�π¡2ε.
Par conséquent, on ne peut remplacer les hypothèses du lemme 2.15 par
cÔKÕ�0ou eÔKÕ�0; sans beaucoup plus de travail, il en est de même
pour le théorème 2.7.
Remarque 2.20. On note en particulier sur cet exemple que la convergence
pour la distance de Viterbo n’est pas impliquée par la convergence presque
partout.
Remarquons aussi que l’existence d’un tel exemple repose sur le fait que
les capacités ne se comportent pas comme le volume : la capacité de l’union
de deux ensembles de capacités petites n’est pas nécessairement petite.
2.2.6 Démonstration du théorème 2.9
Commençons par remarquer que les propriétés 2 et 3 de la définition 2.8
impliquent que l’ensemble des discontinuités d’un élément de F est compact.
Nous allons faire la démonstration en plusieurs étapes.
1ère étape : L’application ι est bien définie et son image est dans Ham.
Supposons que HÈF, et notons K la projection sur R2n H¡1Ôب�ÙÕ de
l’ensemble des points de discontinuité de H. Par hypothèse, il existe une
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