Continuité en topologie symplectique

par ailleurs�Hp¡Hq��εß4 hors de Uk0. Donc par le lemme principal, on a
pour p, q suffisamment grands :
γÔφHp, φHqÕ�2 sup
R2n¡Uk0�Hp¡Hq� 2ξ Hp
cÔUk0Õ�ε.
La suiteÔφHkÕest donc bien de Cauchy pour γ.
Pour la seconde hypothèse, nous allons avoir besoin du lemme suivant.
Lemme 2.17. Pour tout hamiltonien H, ξ H est extérieurement régulier.
Autrement dit, pour tout ensemble V�R 2n , on a
ξ HÔVÕ�infØξ HÔUÕ�U ouvert contenant VÙ.
En revanche, étant donné que le ξ d’un ouvert est infini, il est clair que ξ
n’est pas extérieurement régulier.
Démonstration — Soit V une partie de R 2n . Par régularité extérieure de
c et e — qui résultent de leur construction —, il existe pour tout ε�0un
ouvert W qui contientätÈÖ0,1×φ t HÔVÕet tel que
et eÔWÕ�ξ H eÔVÕ¡ε
Comme le support de H est compact, il existe un ouvert W qui contient
V�supportÔHÕet tel que W contienneätÈÖ0,1×φ t HÔWÕ. La définition suivante
de U
U�W�ÔW¡supportÔHÕÕ,
donne ξHÔUÕ�ξ HÔVÕ¡ε.
Nous pouvons à présent prouver le théorème 2.7, sous la seconde hypothèse.
Notons HÈHamcÔR2nÕla limite presque partout deÔHkÕ. Par régularité
extérieure de ξH (lemme 2.17), on peut choisir un voisinage ouvert U
de K tel que ξH cÔUÕ�εß4. Les hypothèses impliquent de plus que pour k
assez grand,�Hk¡H��εß4 sur R2n¡U, et donc γÔφHk , φHÕ�ε.
Une fois la convergence pour γ établie, celle pour ˜γ est immédiate, étant
donnée l’inégalité ˜γ�γ. Les convergences deÔHkÕpour γu et ˜γu s’en déduisent
également.
Si LÈLÔR2nÕ, on a par définition
γÔφHpÔLÕ, φHqÔLÕÕ�˜γÔφHp, φHqÕ,
doncÔφHkÔLÕÕest bien de Cauchy.
cÔWÕ�ξ H cÔVÕ¡ε
Ð
Il nous reste à traiter le cas des distances suspendues, sous la deuxième
hypothèse. L’idée est similaire, mais nous allons avoir besoin du lemme suivant.
48