Continuité en topologie symplectique

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Chapitre 2 Extension de la dynamique hamiltonienne Dans ce chapitre, nous proposons une approche de l’extension de la dynamique hamiltonienne à un cadre où les objets sont très peu réguliers. Pour ce faire, nous introduisons le complété de l’espace des applications hamiltoniennes pour la distance de Viterbo (section 2.1). Notre résultat principal est un critère de convergence dans ce complété (section 2.2). Essentiellement, ce critère affirme que pour tout ensemble K "petit", les flots d’une suite d’hamiltoniens qui converge uniformément sur tout compact du complémentaire de K, convergent pour la distance de Viterbo. Nous l’utilisons pour représenter de manière concrète certains éléments du complété. Nous étudions ensuite les propriétés du complété (section 2.3). Comme on va le voir, cette étude soulève de nombreuses questions. 2.1 Complétés 2.1.1 Définitions et notations Sauf mention contraire, on se place dorénavant sur R2n , et l’on notera pour simplifier H�HÔR2nÕet Hamc�HamcÔR2nÕ. Rappelons que le complété d’un espace métriqueÔE, dÕest par définition l’espace quotient, noté E d ÔxkÕ�ÔykÕ�� ykÕk� � , de l’ensemble de ses suites de Cauchy par la relation d’équivalence donnée par dÔxk, ��0. La distance d s’étend canoniquement en une distance sur le complété E d , 38
également notée d et telle que : E d est un espace métrique complet, et E est dense dans E d . Si E admet de plus une structure de groupe pour laquelle la distance d est bi-invariante, alors E d admet une structure de groupe naturelle, pour laquelle E est un sous-groupe et d s’étend en une distance bi-invariante. Notation. On notera L, H,ÖH, H dH , Ham,�Ham,ÞHam et�Ham les complétés respectifs des espaces métriquesÔL, γÕ,ÔHc, γÕ,ÔHc, ˜γÕ,ÔHc, dHÕ,ÔHamc, γuÕ, ÔHamc, ˜γuÕ,ÔHamc, ˆγÕetÔHamc, ˇγÕ. Les ensembles H,ÖH et H dH ont des structures naturelles de groupes, munis de distances bi-invariantes. De plus, on note H0 c le groupe des homéomorphismes qui sont limites C 0 de suites de difféomorphismes hamiltoniens dont tous les termes sont l’identité hors d’un même compact. Dans le plan, ces homéomorphismes sont exactement les homéomorphismes à support compact et préservant l’aire. Enfin, on note Ham 0 c l’espace des hamiltoniens continus, c’est-à-dire l’espace des fonctions continues H sur R¢R 2n telles qu’il existe un compact K de R2n contenant tous les supports des application partielles HÔt,¤Õ, pour tÈR. Proposition 2.1. Il existe des applications continues naturelles Ham0 �� c �� et des homomorphismes de groupes H 0 c �Ham �� Ham �� ÞHam �� dH �� H H ��Ham, ��ÖH . Démonstration — Supposons que d1 et d2 soient des distances sur le même espace E vérifiant d1�d2. Alors, une suite de Cauchy pour d2 est également de Cauchy pour d1. De plus, deux suites de Cauchy équivalentes pour d2 le sont également pour d1. On a donc une application naturelle entre complétés d2��E E . Ð d1 distances données par les propositions 1.52, 1.34 et 1.36. Lorsque E est un groupe et que d1, d2 sont des distances bi-invariantes, cette application est un morphisme de groupe. Une fois ces remarques faites, la proposition résulte des inégalités entre 39
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[57] Claude Viterbo. Symplectic top
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2.3.2 À la recherche de l’image
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