Continuité en topologie symplectique

Notons qu’une conséquence immédiate — il suffit de l’appliquer dans le
cas où l’espace coisotrope est tout l’espace, la réduction étant donc réduite
à un point — de l’inégalité de réduction est :
Corollaire 1.47 (Viterbo [57]). Pour toute lagrangienne LÈLÔR 2nÕ,
1.2.4 La fonction uL
cÔ1, ˆ LÕ�0�cÔµ, ˆ LÕ.
Dans cette partie, nous allons associer canoniquement à toute sous-variété
lagrangienne de R 2n une fonction sur R n ayant des propriétés intéressantes.
Cette construction interviendra notamment de manière cruciale dans le chapitre
3, pour construire les solutions variationnelles de l’équation d’Hamilton-
Jacobi.
Définition 1.48. Soit L une lagrangienne de R2n qui admet une f.g.q.i.
S : Rn¢E�R. Notons 1x le générateur de H0ÔØxÙÕ. On pose alors, avec
les notations de la définition 1.9, uLÔxÕ�cÔTÔ1xÕ, S�ØxÙ¢EÕ.
Proposition 1.49 (Viterbo-Ottolenghi [45]). L’application uL de la définition
1.48 vérifie les propriétés suivantes :
1. uL est C-lipschitzienne pour tout réel C tel que L�ØÔx, pÕÈR 2n��p��
CÙ.
2. Il existe un fermé d’intérieur vide ZL�R n , tel que uL est de classe
C�sur Rn¡ZL. 3. En tout point xÈR n¡ZL, on aÔx, duLÔxÕÕÈL.
Remarque 1.50. Les points où la différentielle de uL subit un saut, sont
des points x, tels qu’il existe deux points distincts ξ, ξ de E, pour lesquels
uLÔxÕ�SÔx, ξÕ�SÔx, ξÕd’une part, mais d’autre part,
�S ξÕ��S ξÕet�S ξÕ��S ξÕ.
�ξÔx,
�ξÔx,
�xÔx,
�xÔx,
Ceci provient de manière évidente de la définition des fonctions génératrices.
Du fait que sur la lagrangienne, la 1-forme de Liouville s’écrit pdx�
�S
�xdx�dS, ces points s’interprètent géométriquement : en ces points, l’aire
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