Continuité en topologie symplectique

α� Pour tout H, KÈHam, on pose
ˆγÔH, KÕ�lim sup �γuÔˆ Hα, ˆ
α�
KαÕ,
et
ˇγÔH, KÕ�lim sup �γÔφHα ˇ , φKαÕ. ˇ
L’hamiltonien ˆ Hα n’est pas à support compact, mais pour deux hamiltoniens
H et K, la composition ˆ Hα�ˆ Kα l’est. Donc ˆγ est bien définie.
Remarque 1.27. Bien qu’à supports non compacts, les hamiltoniens ˆ H et
ˇH ont des flots qui s’expriment de manière assez simple en fonction de celui
de H. En effet, un calcul sans difficulté montre que
φ s HÔt, ˆ τ, xÕ�Ôt s , τ HÔt, xÕ¡HÔt s
s,ÔφHÕt tÔxÕÕ, s
(1.2)
tÔxÕÕ,ÔφHÕt φ s HÔt, ˇ τ, xÕ�Ôt , τ¡sHÔst,φ ts HÔxÕÕ, φ ts HÔxÕÕ. (1.3)
Proposition 1.28. Les applications ˆγ, ˇγ : HamcÔUÕ¢HamcÔUÕ�R sont
des distances sur HamcÔUÕ, invariantes sous l’action de HcÔUÕsur HamcÔUÕ
par composition à droite.
Démonstration — Le fait que ˆγ et ˇγ sont bien définies (c’est-à-dire finies),
résulte de la proposition 1.39 et du fait que l’énergie de déplacement e vérifie
eÔR2¢VÕ�eÔVÕ(cf. remarque 1.41). En effet, si V est un ouvert contenant
le support de H, R2¢V contient les supports de ˆ Hα et ˇ ÐHα, pour tout α.
L’inégalité triangulaire vérifiée par γ implique les inégalités triangulaires pour
ˆγ, ˇγ. L’axiome de séparation résulte quant à lui des inégalités γ�ˆγ et γ�ˇγ
(proposition 1.52). Enfin, la propriété d’invariance par composition à droite
est une conséquence directe de la bi-invariance de γ.
Remarque 1.29. En itérant le procédé, on peut définir d’autres distances
sur l’espace des fonctions hamiltoniennes.
1.1.3 Distance de Hofer
Il existe une autre distance bi-invariante bien connue sur le groupe des
difféomorphismes hamiltoniens à support compact. Il s’agit de la distance de
Hofer, dont nous allons rappeler la définition. Contrairement à la distance de
Viterbo, elle est définie sur toute variété symplectique.
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