Continuité en topologie symplectique

est une distance sur LÔT¦NÕ, appelée distance de Viterbo. De plus, pour
tout difféomorphisme hamiltonien ψ à support compact,
γÔψÔL1Õ, ψÔL2ÕÕ�γÔL1, L2Õ.
HcÔUÕ
Les exemples 1.15 et 1.16 donnent la valeur de γ dans des cas simples.
Distance de Viterbo sur les difféomorphismes hamiltoniens
Nous allons utiliser la distance γ construite sur l’espace des lagrangiennes
isotopes à la section nulle pour obtenir une distance sur les groupes
des difféomorphismes hamiltoniens de R2n , dont le support est compact et
inclus dans un ouvert U.
Introduisons quelques notations. Soit ψÈHcÔUÕ. Son graphe Γψ est une
sous variété lagrangienne de R2n¢R 2n — qui désigne, rappelons-le, la variété
R2n¢R 2n munie de la forme symplectiqueÔ¡ωÕ�ω —, et coïncide hors d’un
compact avec la diagonale ∆2n�ØÔx, xÕ�xÈR 2nÙ. En identifiant R2n¢R 2n
et T¦∆2n au moyen de l’application linéaire symplectique
Q
Φ :Ôq, p, Q, PÕ��¢q ,
2
p P
; P¡p, Q¡qª,
2
on voit que l’image�Γψ de Γψ s’identifie à la section nulle de T¦∆2n, en
dehors d’un compact. On peut maintenant compactifier la diagonale ∆2n en
une sphère S2n, et appliquer les constructions des paragraphes précédents à
la compactification de�Γψ.
Remarque 1.19. D’après la proposition B.7, ψ admet une fonction génératrice
quadratique à l’infini. Il est facile de vérifier que cette fonction est
une f.g.q.i. de�Γψ. Les points critiques de la f.g.q.i. correspondent aux intersections
du graphe de ψ avec la diagonale, c’est-à-dire aux points fixes de
ψ.
Définition 1.20 (Viterbo [57]). On pose
c ÔψÕ�cÔµ,�ΓψÕ,
c¡ÔψÕ�cÔ1,�ΓψÕ,
γÔψÕ�c ÔψÕ¡c¡ÔψÕ.
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