Continuité en topologie symplectique

2.2.3 Le lemme principal
Nous énonçons ici le lemme qui est à la base des théorèmes 2.7 et 2.9. Il
nous a également amené à formuler la conjecture 2.6.
Lemme principal 2.15. Soit H1, H2 deux fonctions hamiltoniennes à support
compact. Pour tout ouvert U de R2n , et tout réel ε�0, tel que
Ôt, xÕÈÖ0, 1×¢ÔR 2n¡UÕ,�H1Ôt, xÕ¡H2Ôt, xÕ��ε,
on a
γÔφH1, φH2Õ�2ε 2 minØξ H1
cÔUÕ, ξ H2
cÔUÕÙ.
Le facteur 2 dans l’énoncé du lemme principal n’est peut-être pas optimal.
Commençons par démontrer le cas particulier suivant.
Lemme 2.16. Soit H un hamiltonien sur R2n , à support compact. Soient U
un ouvert de R2n et ε�0, tels que pour toutÔt, xÕÈÖ0, 1×¢ÔR2n¡UÕ, on
ait�HÔt, xÕ��ε. Alors, c ÔφHÕ�ε cÔUÕet¡c¡ÔφHÕ�ε cÔUÕ, donc
γÔφHÕ�2ε 2cÔUÕ.
Démonstration — Soient K1, K2 des hamiltoniens à support compact,
tels que 0�Ki�1, i�1, 2, K1 vaut 1 sur le support de H et K2 vaut 1
H�
sur
le support de K1. Remarquons au passage qu’alors, K1�K2. Notons ensuite
ψ1,ε le difféomorphisme engendré par H¡εK1, et ψ2,ε le difféomorphisme
engendré par εK2.
CommeÔψ2,εÕ¡1 coïncide avec Id hors du support de H¡εK1, la formule de
composition des hamiltoniens (lemme A.24) implique que εK2 H¡εK1 est
une fonction hamiltonienne qui engendre ψ2,ε¥ψ1,ε. Comme par ailleurs,
ÔH¡εK1Õ, εK2 la monotonie (proposition 1.21 7.), l’inégalité triangulaire
(proposition 1.21 6.), et le caractère C¡1 (proposition 1.34) nous donnent
c ÔφHÕ�c
Ôψ2,ε¥ψ1,εÕ�c
Ôψ2,εÕ c Ôψ1,εÕ�ε c Ôψ1,εÕ.
Notons à présent�ψ1,ε un difféomorphisme engendré par un hamiltonien positif,
à support dans U et plus grand que H¡εK1 (voir figure 2.2). La
monotonie nous donne, c Ôψ1,εÕ�c Ô�ψ1,εÕ. Et comme SuppÔ�ψ1,εÕ�U, on
Ð
obtient c Ô�ψ1,εÕ�cÔUÕ, et donc c ÔφHÕ�ε cÔUÕ.
En utilisant l’inégalité ÔH H�¡εK2 εK1Õ, on obtient l’inégalité
analogue pour c¡.
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